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o

Die Beschaftigung mit Beispielen (kleinen Problemen) ist sehr wichtig. Zum einen kann ein
¨
gutes Beispiel Intention und Kernpunkte einer Theorie einpragsam vermitteln, zum ande-
¨
ren wachst aus der Beschaftigung mit Beispielen eine gewisse Vertrautheit mit der Theo-
¨ ¨
¨
rie. Im Skript kommen Beispiele etwas zu kurz, die Ubungsaufgaben zur Vorlesung und
Aufgaben in den Lehrbuchern (zum Teil mit L¨sungsskizzen) sind hierzu eine Erg¨nzung.
o a
¨

Mit der Vorlesung wird der Einstieg in Vorlesungen des zweiten Studienjahres, soweit es
Vorkenntnisse aus der Linearen Algebra betri¬t, m¨glich. Vorkenntnisse aus der Linearen
o
Algebra werden etwa unterstellt in den Vorlesungen uber Mannigfaltigkeiten, Algebra,
¨
Di¬erentialgleichungen, Funktionalanalysis und Numerische Mathematik.

Die Ausarbeitung folgt keiner speziellen Lehrbuchliteratur. Besonders geeignet dafur, den
¨
Sto¬ in kompakter Form nachzulesen, sind die Bucher [15, 16, 26, 37, 31, 48]. Als gerade-
¨
zu klassisches Lehrbuch uber Lineare Algebra kann [32] angesehen werden; Sprache und
¨
Formulierungen entsprechen nicht mehr ganz unserem heutigen Verst¨ndnis. Bei Verbin-
a
dungen zur Analysis oder Verwendung von deren Resultaten verweisen wir auf [17, 53];
uber Zahlen informiere man sich in [13]. Als weiterfuhrende Literatur kann [23, 52] an-
¨ ¨
gesehen werden, die Brucke zur angewandten Mathematik wird u.a. in [9, 21] und [48]
¨
deutlich.
Fast alles steht so oder ¨hnlich in irgendeinem der im Literaturverzeichnis aufgefuhrten
a ¨
(Lehr“)Buchern. Was das Skriptum vielleicht von anderen Buchern unterscheidet, ist in
¨ ¨
der Ausformulierung die starkere Betonung des konstruktiven Aspekts, in der Sto¬aus-
¨
wahl der Verzicht auf eine ausfuhrliche Darstellung der a¬nen und projektiven Geometrie,
¨
im Aufbau die Vermeidung von Determinanten bei der Diskussion von Eigenwerten und
Normalformen.

Die historischen Bezuge im Text entnehmen wir vorwiegend [14, 20, 31, 49]. Diese Anmer-
¨
kungen, festgemacht an Leistungen großer Geister, sollten nicht den Eindruck erwecken,
daß Geschichte der Mathematik sich nur entlang genialer Eingebungen entwickelt. Mathe-
matik war und ist auch Bestandteil der allgemeinen Entwicklung der Naturwissenschaften

III
und Technik: Die Anf¨nge der Analysis orientierten sich an der Himmelsmechanik “ wie
a
s¨he die Mathematik aus, wenn die Erde der einzige Planet der Sonne w¨re und die Erde
a a
keinen Mond h¨tte? “, das Buch, in dem Gauß die Grundlagen der Geometrie legt, ist
a
gleichzeitig eine Abhandlung uber Geod¨sie.
a
¨

Ohne zus¨tzliche Zeichen kommt die Mathematik nicht aus. Wir versuchen, neben den
a
noch einzufuhrenden Symbolen mit dem lateinischen und dem griechischen Alphabet aus-
¨
zukommen. Hier ist das griechische Alphabet:


A, ± Alpha I, ι Jota P, ρ Rho
B, β Beta K, κ Kappa Σ, σ, ‚ Sigma
“, γ Gamma Λ, » Lambda T, „ Tau
∆, δ Delta M, µ My Υ, … Ypsilon
E, , µ Epsilon N, ν Ny ¦, φ Phi
Z, ζ Zeta Ξ, ξ Xi X, χ Chi
H, · Eta O, o Omikron Ψ, ψ Psi
˜, θ, ‘ Theta Π, π Pi „¦, ω Omega




Wahrlich es ist nicht das Wissen, sondern das
Lernen, nicht das Besitzen sondern das Erwer-
ben, nicht das Da“Seyn, sondern das Hinkom-
men, was den gr¨ßten Genuss gew¨hrt. Wenn ich
o a
eine Sache ganz ins Klare gebracht und erschopft
¨
habe, so wende ich mich davon weg, um wieder
ins Dunkle zu gehen; so sonderbar ist der nim-
mersatte Mensch, hat er ein Geb¨ude vollendet,
a
so ist es nicht um nun ruhig darin zu wohnen,
sondern ein andres anzufangen.
(Gauß an Bolyai, 2.9.1808)




IV
Kapitel 1

Mengen und Abbildungen

In diesem Kapitel geben wir eine Einfuhrung in die heute ubliche Sprache der Mathematik,
¨ ¨
soweit sie hier Verwendung ¬ndet, und stellen im Kontext einige Objekte vor, die allgemein
bekannt sein durften.
¨


1.1 Aussagen
Fur die Formulierung unserer Aussagen von mathematischem Gehalt benotigen wir Verab-
¨ ¨
redungen, Sprechweisen, Symbole und eine gri¬ge Notation. Dabei wollen wir aber nicht
in die Tiefen der mathematischen Grundlagen (Mengenlehre, Logik) eintauchen, sondern
geben uns mit einem “naiven“ Standpunkt zufrieden. Er fuhrt zu keinerlei Kon¬‚ikten, da
¨
wir uns stets mit ziemlich konkreten Objekten besch¨ftigen.
a
Als logische Verknupfungen (Junktoren) verwenden wir:
¨

Junktor Sprechweise Symbol
¬
Negation . . . nicht . . .
§
Konjunktion . . . und . . .

Alternative . . . oder . . .
Implikation . . . wenn, dann . . . =’
⇐’
¨
Aquivalenz . . . genau dann, wenn . . .

¨
Beachte, daß die Aquivalenz bereits mit den daruberstehenden Junktoren formuliert wer-
¨
den kann.

In De¬nitionen weisen wir mathematischen Objekten manchmal Eigenschaften mit einem
de¬nierenden Aquivalenzzeichen : ⇐’ zu, etwa:
¨

Objekt O hat Eigenschaft E : ⇐’ Aussage A uber das Objekt O ist wahr (gilt).
¨

Ein Beweis eines Satzes mit Voraussetzung (V) und Behauptung (B) ist eine Kette von
Implikationen, ausgehend von der Aussage (V) bis zur Aussage (B):

1
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 2


(V ) =’ . . . =’ (B)

Das indirekte Beweisverfahren stellt sich dann so dar:

¬(B) =’ . . . =’ ¬(V )

Es basiert auf der Beobachtung

(P =’ Q) ⇐’ (¬Q =’ ¬P ),

wenn P,Q Aussagen sind.


1.2 Mengen
Den Begri¬ der Menge wollen und k¨nnen und sollten wir hier ebenso wie die obigen
o
Junktoren nicht im Sinne der mathematischen Grundlagen einfuhren. Er dient uns nur
¨
als Hilfsmittel fur eine m¨glichst kurze Notation von konkreten Mengen. Von G. Cantor
o
¨
(1845 “ 1912), dem Begrunder der Mengenlehre, haben wir folgende De¬nition:
¨

Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objek-
te unserer Anschauung oder unseres Denkens “ welche Elemente der Menge
genannt werden “ zu einem Ganzen.

Eine Menge besteht also aus Elementen, kennt man alle Elemente der Menge, so kennt
man die Menge. Beispiele:

IN := Menge der naturlichen Zahlen
¨
Z Z := Menge der ganzen Zahlen
Q := Menge der rationalen Zahlen
IR := Menge der reellen Zahlen

Die oben eingefuhrten Zahlen IN , Z , Q, IR tragen zus¨tzliche Strukturen: In IN k¨nnen
Z a o
¨
wir ohne Einschr¨nkung addieren und multiplizieren, in Z k¨nnen wir ohne Einschr¨nkun-
a Zo a
gen addieren, subtrahieren und multiplizieren, in Q, IR k¨nnen wir addieren, subtrahieren,
o
multiplizieren und mit Zahlen = 0 dividieren. Wir werden insbesondere diese zus¨tzliche
a
Struktur von Q, IR noch zum Anlaß fur umfangreiche Betrachtungen nehmen.
¨

Man kann eine Menge dadurch bezeichnen, daß man ihre Elemente zwischen zwei ge-
schweifte Klammern (Mengenklammern) schreibt. Die Zuordnung eines Elements zu einer
Menge erfolgt mit dem Zeichen “ ∈“.
Es hat sich als zweckm¨ßig erwiesen, den Mengenbegri¬ so aufzufassen, daß eine Menge
a
aus gar keinem Element bestehen kann. Dies ist dann die leere Menge, das Zeichen dafur
¨
ist
… = leere Menge .
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 3


Das Hinschreiben der Elemente kann auf dreierlei Weise geschehen: Hat die Menge nur
ganz wenige Elemente, so kann man sie einfach alle hinschreiben, durch Kommata ge-
trennt, auf die Reihenfolge kommt es dabei nicht an, etwa:

{1, 2, 3} = {2, 3, 1} = {3, 3, 1, 2} .

Die zweite M¨glichkeit ist, Elemente, die man nicht nennt, durch Punkte anzudeuten,
o
etwa:
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = {1, 2, . . . , 8} = {1, . . . , 8} .
Die dritte Moglichkeit besteht darin, Objekte einer Menge als Elemente dadurch zuzuord-
¨
nen, daß man ihnen eine charakterisierende Eigenschaft zuweist. Ist E eine Eigenschaft,
die jedes Objekt x einer Menge M hat oder nicht hat, so bezeichne

{x ∈ M|x hat die Eigenschaft E}

die Menge aller Elemente von M, die die Eigenschaft E haben; etwa

IN 0 := {x ∈ Z |x nicht negativ} .
Z

Wichtig beim Hinschreiben von Mengen ist, daß stets nachgepruft werden kann, ob ein
¨
spezielles Objekt einer in Frage stehenden Menge angeh¨rt oder nicht; in der De¬nition
o
von Cantor ist dies festgehalten. (Dies korrespondiert mit dem ausgeschlossenen Dritten).

Nun haben wir schon viele Worte zu einem recht einfachen Sachverhalt gemacht.
¨
... Ahnlich ist es mit der Notation der Mengenlehre. Sie ist so einfach, daß sie schon an der
Grundschule gelehrt werden kann. Was manchmal seitenlang in einem Vorwort zu einem Lehrbuch
steht, paßt schon in ganz wenige S¨tze: Mit p ∈ F wird ausgedruckt, daß p ein Element der Menge
a ¨
F ist, und mit F ‚ G, daß jedes Element von F ebenso ein Element von G ist. Haben wir zwei
Mengen A und B, dann ist A © B die Menge, die jene Elemente enth¨lt, die sowohl zu A als auch
a
zur Menge B geh¨ren; mit A ∪ B ist die Menge gemeint, die jene Elemente enth¨lt, die zur Menge
o a
A, B oder zu beiden geh¨ren; und A ist die Menge jener Elemente, die nicht zu A geh¨ren. Eine
o o
Menge, die keine Elemente enthalt, ist eine leere Menge und wird mit …, manchmal auch mit {}
¨
angegeben, geschweifte Klammern ohne Inhalt. Ende des Mini-Kurses.
Poulos, J.A.: Von Algebra bis Zufall, Campus, Frankfurt, 1992

Den obigen Mini-Kurs bringen wir noch in eine “anst¨ndige“ Form:
a

De¬nition 1.1
Seien A, B Mengen.

(a) A ‚ B : ⇐’ (x ∈ A =’ x ∈ B) (Teilmenge)

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