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gilt, ist B sogar eine Basis von V, also auch ein Erzeugendensystem von V . Daraus folgt
V = L(B) = U + W .

Satz 3.67
Sei V ein endlichdimensionaler IK “Vektorraum und sei U ein linearer Teilraum von
V . Dann gibt es einen linearen Teilraum W von V , sodaß V = U • W gilt.
Beweis:
Ist U = {θ}, w¨hle W = V . Ist U = V , w¨hle W = {θ}.
a a
Nun sei dimIK U = k mit 0 < k < dimIK V . Wahle eine Basis BU von U und erganze diese
¨ ¨
Basis mit B zu einer Basis B von V . De¬niere W := L(B ). Dann gilt V = U • W .

Der lineare Teilraum aus Folgerung 3.67 heißt direkter Summand zu U. Er ist keines-
wegs eindeutig bestimmt, ebensowenig wie Basen eindeutig bestimmt sind.

Beispiel 3.68
Sei IK ein K¨rper. Betrachte e1 := (1, 0), e2 := (0, 1), x := (1, 1) ∈ IK 2 .
o
Dann sind {e1 , e2} und {e1 , x} Basen von IK 2 . Die Basis {e1, e2} nennt man die Stan-
dardbasis von IK 2 .
Setzt man
U := L({e1}), W := L({e2 }), W := L({x}),
2
so sind W, W direkte Summanden von U.

De¬nition 3.69
Sei V ein IK “Vektorraum und seien V , U1 , . . . , Uk lineare Teilr¨ume von V .
a
V heißt direkte Summe der linearen Teilr¨ume U1, . . . , Uk , falls es zu jedem
a
k
v ∈ V eindeutig bestimmte Elemente u ∈ U1, . . . , u ∈ Uk gibt, sodaß v =
1 k
ui
i=1
gilt.
Wir schreiben dann
k
V= Ui .
2
i=1
Kapitel 4

Lineare Abbildungen

Nun fugen wir der Struktur “Vektorraum“ die zur Vektorraumstruktur passenden Ab-
¨
bildungen hinzu. Damit erscheinen dann die Matrizen und Gleichungssysteme in neuem
Licht.


4.1 De¬nition und Beispiele
De¬nition 4.1
Seien X, Y IK “Vektorr¨ume. Eine Abbildung L : X ’’ Y heißt IK “linear genau
a
dann, wenn

L(x1 + x2 ) = L(x1 ) + L(x2) , L(ax) = aL(x) fur alle x1 , x2, x ∈ X , a ∈ IK (4.1)
¨

gilt.
2

Man beachte, daß in (4.1) auf der linken Seite die Addition und skalare Multiplikation in
X, auf der rechten Seite die Addition und skalare Multiplikation in Y Verwendung ¬ndet.
Ist L : X ’’ Y eine Abbildung, so haben wir auch die Abbildungen
idIK — L : IK —X (a, x) ’’ (a, L(x)) ∈ IK —Y ,
L—L:X —X (x1, x2 ) ’’ (L(x1 ), L(x2)) ∈ Y — Y .
Damit k¨nnen wir die Diagramme
o

idIK —L L—L
IK — X ’’ — X—X ’’ Y —Y
IK ¦ Y
¦ ¦ ¦
¦ ¦
¦ ¦
•¦ ¦•
¦ ¦
L
L
’’ ’’
X Y X Y

betrachten. Die Linearit¨t von L ist nun o¬enbar damit ¨quivalent, daß die Diagramme
a a
kommutieren, d.h. daß
—¦ (idIK — L) = L —¦ , • —¦ (L — L) = L —¦ •

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Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 79


gilt. Hierbei haben wir der besseren Lesbarkeit wegen fur die Addition + das Symbol •
¨
und fur die skalare Multiplikation · das Symbol (wie fruher) eingesetzt.
¨ ¨
(Diagramme erfreuen sich in der Algebra großer Beliebtheit.)

Es sollte klar sein, daß die Hintereinanderausfuhrung (Komposition) von linearen Abbil-
¨
dungen selbst wieder linear ist.


Beispiel 4.2
Sei IK ein Korper. IK “lineare Abbildungen sind:
¨
• idIK : IK ’’ IK ,

• ˜IK : IK a ’’ θ ∈ IK ,

• + : IK — IK (a, b) ’’ a + b ∈ IK ,

• S : IK — IK (a, b) ’’ (a, ’b) ∈ IK — IK (Spiegelung),

• πj : IK n (x1, . . . , xj , . . . , xn) ’’ xj ∈ IK (Projektion),

• TA : IK n,1 x ’’ Ax ∈ IK m,1 , wobei A eine Matrix in IK m,n ist.

Keine IK “lineare Abbildung ist

(x1 , x2) ’’ x1 x2 ∈ IK .
IK 2

2
Die Schreib“ und Sprechweise “L IK “linear“ verkurzen wir meist zu “L linear“, da in
¨
der Regel klar ist, welcher K¨rper gemeint ist.
o

Sei X ein IK “Vektorraum mit Basis {x1, . . . , xn}. Dann haben wir die Abbildung
n
ai xi ’’ (a1 , . . . , an ) ∈ IK n
kX : X x=
i=1

oder n
ai xi ’’ (a1 . . . an ) ∈ IK 1,n
kX : X x=
i=1

oder « 
a1
n
¬.·
aixi ’’ ¬ . · ∈ IK n,1 .
kX : X x= .
i=1
an
Jede dieser Abbildungen heißt Koordinatenabbildung. Wir sprechen aus naheliegenden
Grunden von der Koordinatenabbildung und verwenden jede “Realisierung“ ihrem Zweck
¨
entsprechend. Sie ist wohlde¬niert, da die Darstellung eines Elementes x ∈ X durch die
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 80


Basis eindeutig bestimmt ist. Diese Abbildung ist linear und bijektiv. Die Umkehrabbil-
dung ist o¬enbar gegeben durch
n
(a1, . . . , an) ’’ x = a i xi ∈ X
n
IK
i=1

und ist o¬enbar selbst wieder linear.


Beispiel 4.3
Sei IK ein Korper. Die “Ableitung“
¨

p ’’ Dp ∈ IK [x] ,
D : IK [x]
n n
i’1
a i xi ,
Dp := iaix falls p =
i=1 i=0

ist o¬enbar IK “linear. Sie ubernimmt im Raum der Polynomfunktionen PIR die Rolle der
¨
2
Ableitung.


Folgerung 4.4
Seien X, Y IK “Vektorr¨ume und sei L : X ’’ Y linear. Es gilt dann:
a

(i) L(θ) = θ ; L(’x) = ’L(x) fur alle x ∈ X .
¨
(ii) Das Bild L(X) ist ein linearer Teilraum von Y .

(iii) Das Urbild L’1 ({θ}) ist ein linearer Teilraum von X .

(iv) L ist injektiv genau dann, wenn L’1 ({θ}) = {θ} gilt.
Beweis:
(i) folgt aus L(θ) = L(θ + θ) = L(θ) + L(θ) und θ = L(θ) = L(x + (’x)) = L(x) + L(’x) .
Die Aussagen (ii), (iii) sind nahezu trivial. Wir beweisen exemplarisch (iii) .
Seien u, v ∈ L’1 (θ), d.h. L(u) = L(v) = θ , und seien a, b ∈ IK . Aus L(au + bv) =
aL(u) + bL(v) = aθ + bθ = θ folgt au + bv ∈ L’1 (θ) . Damit ist die Aussage auch schon
bewiesen.
Die Aussage uber die Injektivit¨t folgt aus der Tatsache, daß dank der Linearit¨t L(x) =
a a
¨
L(x ) genau dann gilt, wenn L(x ’ x ) = θ erfullt ist.
¨


De¬nition 4.5
’’ Y . L heißt Isomorphismus
Seien X, Y IK “Vektorr¨ume und sei L : X
a
genau dann , wenn L linear und bijektiv ist.
2

Ist L : X ’’ Y ein Isomorphismus, so nennen wir die R¨ume X, Y isomorph (bzgl.
a
L); wir drucken dies auch durch ∼ aus.
¨ =
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 81


Beachte: Ist L : X ’’ Y ein Isomorphismus, so ist auch die Umkehrabbildung ein
Isomorphismus. Dazu ist lediglich die Linearit¨t zu uberprufen.
a ¨ ¨
Seien u, v ∈ Y, a, b ∈ IK . Dann folgt aus

L(L’1 (au + bv) ’ aL’1 (u) ’ bL’1 (v)) = θ ,

wobei die Linearitat von L Verwendung fand, mit der Injektivit¨t von L
a
¨

L’1 (au + bv) ’ aL’1 (u) ’ bL’1 (v) = θ .

Dies war zu zeigen.


Satz 4.6
Seien X, Y IK “Vektorr¨ume. Dann gilt:
a

(a) Ist dimIK X = dimIK Y < ∞ , dann gibt es einen Isomorphismus
L : X ’’ Y .

(b) Sind X, Y isomorph, so gilt dimIK X = dimIK Y .
Beweis:
Zu (a).
Wahle Basen {x1 , . . . , xm }, {y 1, . . . , y m } in X bzw. Y .
¨
m m
ai xi ’’ y = ai y i ∈ Y ist ein Isomorphismus.
L:X x=
i=1 i=1
Zu (b).
Sei {x1, . . . , xm } ‚ X linear unabh¨ngig. Dann ist {L(x1 ), . . . , L(xm )} linear unabh¨ngig,
a a
denn aus m m
ai L(xi ) = L( a i xi )
θ=
i=1 i=1

folgt mit der Injektivitat
¨
m
a i xi
θ=

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