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. 21
( 63 .)



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i=1

und schließlich aus der Tatsache, daß {x1 , . . . , xm } linear unabhangig ist,
¨

a1 = . . . = am = 0 .

Also gilt dimIK Y ≥ dimIK X .
Anwendung des eben vorgefuhrten Schlusses auf L’1 fuhrt zu dimIK X ≥ dimIK Y .
¨ ¨


Bemerkung 4.7
In Beispiel 3.54 haben wir gezeigt, daß ein IK “Vektorraum der Dimension n isomorph zu
IK n ist. IK n ist also ein konkreter IK “Vektorraum der Dimension n. Er kann als Stan-
dardmodell eines n“dimensionalen Vektorraums angesehen werden. Alle Ph¨nomene,a
die in n“dimensionalen Vektorr¨umen auftreten und auf der linearen Struktur (Vektor-
a
raum/lineare Abbildung) beruhen, k¨nnen folglich in dem konkreten IK “Vektorraum IK n
o
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 82


untersucht werden. Man k¨nnte nun sich fragen, warum wir nicht von Anfang an nur den
o
n
konkreten Raum IK betrachtet haben, in dem eine Basis direkt hinschreibbar ist. Dazu
ist einzuwenden, daß in Anwendungen Vektor¨ume in allgemeinen nicht als IK n direkt er-
a
kennbar sind. Der Vorteil unseres Vorgehens besteht also gerade darin, daß wir fur unsere
¨
2
Untersuchungen nicht immer gleich eine Basis zur Hand haben mussen.
¨
¨
Sei X ein IK “Vektorraum und sei U ein linearer Teilraum. Wir de¬nieren eine Aquiva-
lenzrelation durch
x ∼ y : ⇐’ x ’ y ∈ U .
¨
(Daß in der Tat eine Aquivalenzrelation vorliegt, ist einfach zu veri¬zieren.) Damit de¬-
nieren wir wie ublich
¨
X/ U := X/ ∼ := {[x]|x ∈ X} .
Wir haben in X/ U wieder eine skalare Multiplikation und eine Addition, namlich
¨

IK —X/ U (a, [x]) ’’ [ax] ∈ X/ U ,

X/ U — X/ U ([x], [y]) ’’ [x + y] ∈ X/ U .
Diese De¬nition haben wir noch daraufhin zu uberprufen, ob Wohlde¬niertheit vorliegt,
¨ ¨
d.h. etwa im Fall der skalaren Multiplikation:

Ist [ax] = [ay], falls [x] = [y]?

Sei also [x] = [y] . Dann ist x ’ y ∈ U und daher auch ax ’ ay = a(x ’ y) ∈ U. Also gilt
[ax] = [ay].
Damit ist nun klar, daß X/ U ein IK “Vektorraum ist.


De¬nition 4.8
Sei X ein IK “Vektorraum und sei U ein linearer Teilraum. Der IK “Vektorraum
X/ U heißt der Faktorraum von X (faktorisiert) nach U.
2

Folgerung 4.9
Sei X ein IK “Vektorraum, sei U ein linearer Teilraum und sei W ein Komplement
von U. Dann gibt es einen Isomorphismus L : X/ U ’’ W .
Beweis:
Da W ein Komplement von U ist, gilt X = U •W . Also besitzt jedes x ∈ X eine eindeutig
bestimmte Darstellung x = xU + xW . Wir wollen L so erkl¨ren:
a

[x = xU + xW ] ’’ xW ∈ W .
L : X/ U

Die Wohlde¬niertheit folgt aus

[xU + xW ] = [yU + yW ] ⇐’ xW = yW
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 83


Die Linearitat ist klar, ebenso die Surjektivit¨t. Die Injektivit¨t folgt aus
a a
¨

L([x = xU + xW ]) = θ ⇐’ xW = θ ⇐’ x ∈ U ⇐’ [x] = θ .




Folgerung 4.10
Sei X ein IK “Vektorraum, sei U ein linearer Teilraum. Dann gilt

dimIK U + dimIK X/ U = dimIK X

(mit der Vereinbarung ∞ + ∞ = ∞, ∞ + n = ∞, n ∈ IN 0 ).
Beweis:
Sei dimIK X = ∞. Es ist zu beweisen, daß entweder dimIK U oder dimIK X/ U unendlich
ist.
Annahme: dimIK U = l < ∞ , dimIK X/ U = r < ∞ .
Sei {u1, . . . , ul } eine Basis von U und sei {[x1], . . . , [xr ]} eine Basis von X/ U .
Sei x ∈ X. Da [x] ∈ X/ U , gibt es a1, . . . , ar ∈ IK mit
r r
i
a i xi ] .
[x] = ai [x ] = [
i=1 i=1

r
Also ist x ’ ai xi ∈ U und damit gibt es b1, . . . , bl ∈ IK mit
i=1

r l
i
b i ui .
x= ai x +
i=1 i=1

Dies zeigt, daß {x1, . . . , xr , u1 , . . . , ul } ein Erzeugendensystem von X ist, im Widerspruch
zu dimIK X = ∞.
Ist dimIK X endlich, dann hat U nach Satz 3.67 ein Komplement W . Nach Folgerung 4.9
und Satz 4.6 ist dimIK W = dimIK X/ U . Mit Folgerung 3.66 folgt die Behauptung.



4.2 Rang und Defekt
Seien X, Y IK “Vektorr¨ume. Wir setzen
a

Hom IK (X, Y ) := {L : X ’’ Y |L IK ’linear}

Die Bezeichnung Hom IK (X, Y ) ist abgeleitet aus der Tatsache, daß wir IK “lineare Abbil-
dungen auch Homomorphismen nennen wollen. Hom IK (X, Y ) tragt selbst wieder die
¨
Struktur eines IK “Vektorraums, doch dazu spater.
¨
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 84


De¬nition 4.11
Seien X, Y IK “Vektorr¨ume und sei L ∈ Hom IK (X, Y ).
a
Wir nennen Kern(L) := L’1 (θ) den Kern von L und def (L) := dimIK Kern(L) den
2
Defekt von L.



Folgerung 4.12
Seien X, Y IK “Vektorr¨ume und sei L ∈ Hom IK (X, Y ). Dann ist L injektiv genau
a
dann, wenn def (L) = 0 ist.
Beweis:
Dies ist nur eine Umformulierung der De¬nition des Defektes.


De¬nition 4.13
Seien X, Y IK “Vektorr¨ume und sei L ∈ Hom IK (X, Y ).
a
Wir nennen Bild (L) := L(X) das Bild von L und rg(L) := dimIK Bild (L) den
Rang von L.
2

Folgerung 4.14
Seien X, Y IK “Vektorr¨ume, sei dimIK Y < ∞, und sei L ∈ Hom IK (X, Y ). Dann
a
ist L surjektiv genau dann, wenn rg(L) = dimIK Y ist.
Beweis:
Dahinter verbirgt sich nur eine Umformulierung der De¬nition des Ranges. Die Vorausset-
zung “dimIK Y < ∞“ ist n¨tig um aus dimIK Bild (L) = dimIK Y die Tatsache Bild (L) = Y
o
folgern zu k¨nnen.
o

Nun ist es Zeit, weitere gebrauchliche Bezeichnungsweisen fur die Abbildungen zwischen
¨ ¨
Vektorr¨umen aufzuschreiben.
a


De¬nition 4.15
Seien X, Y IK “Vektorr¨ume und sei L ∈ Hom IK (X, Y ).
a

(i) L Monomorphismus : ⇐’ L injektiv.

(ii) L Epimorphismus : ⇐’ L surjektiv.

(iii) L Endomorphismus : ⇐’ X = Y.

(iv) L Automorphismus : ⇐’ X = Y , L bijektiv.
2
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 85


Fur einen Endomorphismus L : X ’’ X de¬nieren wir induktiv:
¨

L0 := idX , Ln+1 := L —¦ Ln , n ∈ IN 0 .


Satz 4.16
Seien X, Y IK “Vektorr¨ume und sei L ∈ Hom IK (X, Y ). Dann gilt:
a

x ’’ [x] ∈ X/ Kern(L) ist ein Epimorphismus.
(a) πL : X

[x] ’’ L(x) ∈ Y ein Monomorphismus.
(b) fL : X/ Kern(L)

(c) fL —¦ πL = L.
Beweis:
Zu (a). Linearit¨t und Surjektivit¨t sind o¬ensichtlich.
a a
Zu (b). Die Wohlde¬niertheit folgt aus

[x] = [x ] ⇐’ L(x ’ x ) = θ .

Die Linearitat ist klar, die Injektivit¨t folgt aus
a
¨

[x] = θ ⇐’ L(x) = θ .

Zu (c).
Ergibt sich aus der De¬nition von fL , πL .

Der obige Satz, genauer (b) in obigem Satz, heißt Homomorphiesatz. Er ist verbunden
mit dem folgenden Diagramm:

L
’’
X Y
¦
¦
πL ¦ fL

X/ Kern(L)


Ein wichtiges Ergebnis ist nun die folgende Dimensionsformel fur lineare Abbildungen.
¨

Satz 4.17
Seien X, Y IK “Vektorr¨ume und sei L ∈ Hom IK (X, Y ). Dann gilt
a

dimIK X = def (L) + rg(L) . (4.2)
Beweis:
Sei U := Kern(L) , V := Bild (L) . Nach Satz 4.16 ist

[x] ’’ L(x) ∈ V
gL : X/ U
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 86


ein Isomorphismus und aus Folgerung 4.10 und Satz 4.6 folgt die Behauptung.
¨
Uberraschenderweise h¨ngt also die Summe def (L) + rg(L) von der linearen Abbildung
a
L gar nicht ab. Man ger¨t in Versuchung, im Fall X = Y zu beweisen, daß Kern(L) •
a
Bild (L) = X gilt. Wie das nachfolgende Beispiel zeigt, ist dies im allgemeinen falsch.


Beispiel 4.18
Setze IK n [x] := {p ∈ IK [x]| deg p ¤ n} , n ∈ IN 0 .
Betrachte nun die “zweite Ableitung“ als Abbildung auf IK 3 [x], d.h.

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