<<

. 22
( 63 .)



>>


p ’’ D —¦ D ∈ IK 3 [x] ;
L : IK 3 [x]

hierbei ist D die Ableitung (siehe Beispiel 4.3).
2
Es ist einfach zu sehen, daß Kern(L) = Bild (L) = IK 1 [x] ist.

Folgerung 4.19
Seien X, Y endlichdimensionale IK “Vektorr¨ume mit dimIK X = dimIK Y < ∞ und
a
sei L ∈ Hom IK (X, Y ). Dann sind ¨quivalent:
a

(a) L ist injektiv.

(b) L ist surjektiv.

(c) L ist bijektiv.
Beweis:
Folgt aus der Dimensionsformel (4.2).

Die obige Folgerung ist ohne die Voraussetzung, daß X, Y endlichdimensional sind, im
allgemeinen falsch. Fur ein Gegenbeispiel schaue man sich bei IK [x], dem einzigen Bei-
¨
spiel fur einen unendlichdimensionalen Vektorraum, das wir bisher konkret kennen, um.
¨
Hier ist ein Hinweis:

Dem uberragenden Mathematiker an der Wende des Jahrhunderts D. Hilbert (1862 “ 1943) wird
¨
folgende kleine Geschichte zugeschrieben. Ein Mann kommt sp¨t nachts in ein Hotel und fragt nach
a
einem Zimmer. Der Besitzer bedauert, es sei kein Zimmer mehr frei. Nach kurzem Nachdenken sagt
er jedoch: “Mal sehen, was sich machen l¨ßt. Vielleicht ¬ndet sich ja doch noch ein Zimmer fur
a ¨
sie.“ Er verl¨ßt die Rezeption, beginnt seine G¨ste zu wecken und bittet sie, jeweils ein Zimmer
a a
weiter zu ziehen. Der Gast auf Zimmer 1 bekommt Zimmer 2, der Inhaber von Zimmer 2 erh¨lt a
Zimmer 3 und so weiter, bis schließlich jeder umgezogen ist. Zur Verblu¬ung des sp¨ten Gastes
a
¨
ist das Zimmer 1 auf einmal frei; uberaus glucklich bezieht er es und will sich schlafen legen. Ein
¨ ¨
nagender Gedanke l¨ßt ihn jedoch nicht zur Ruhe kommen: Wie konnte es sein, daß durch das
a
bloße Umziehen jedes Hotelgastes in das n¨chste Zimmer das erste Zimmer frei geworden war?
a
Und dann d¨mmerte es unserem Reisenden: dies mußte Hilberts Hotel sein, das einzige Hotel in
a
der Stadt, das unendlich viele Zimmer besaß!
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 87


Folgerung 4.20
Seien X, Y, Z endlichdimensionale IK “Vektorr¨ume und sei L ∈ Hom IK (X, Y ) ,
a
R ∈ Hom IK (Y, Z). Dann gilt

dimIK (Bild (L) © Kern(R)) = rg(L) ’ rg(R —¦ L) = def (R —¦ L) ’ def (L) .
Beweis:
Setze Q := R|Bild (L) . Dann folgt mit Satz 4.17:

dimIK Bild (L) = dimIK Bild (Q) + dimIK Kern(Q)
= dimIK Bild (R —¦ L) + dimIK (Bild (L) © Kern(R))

Die zweite Behauptung folgt daraus mit

dimIK Bild (R —¦ L) + dimIK Kern(R —¦ L) = dimIK X = dimIK Bild (L) + dimIK Kern(L) .




4.3 Matrizen
Nun wollen wir den engen Zusammenhang zwischen einem IK “Vektorraum X der Di-
mension n und dem IK “Vektorraum IK n etwas genauer studieren. Dieser Zusammenhang
basiert auf der Tatsache, daß jeder Vektor x ∈ X nach Wahl einer Basis {x1, . . . , xn } in
X eine eindeutige Darstellung
n
a j xj
x=
i=1

besitzt. Dabei nennen wir den Vektor (a1, . . . , an) ∈ IK n den Koordinatenvektor von x
bzgl. der gew¨hlten Basis. Diese Begri¬sbildung deckt sich mit dem ublichen Vorgehen
a ¨
2
bei der Wahl von Koordinaten in der Ebene IR :

Man w¨hlt einen Punkt O (“Ursprung“) und zwei (gerichtete) Geraden g1 und
a
g2 , die sich in O schneiden. Zu jedem Punkt P der Ebene ziehe man nun die
Parallelen durch P zu g1 und g2 . Ihre Schnittpunkt P1 mit g1 und P2 mit g2
kann man nun als Koordinatenpaar fur den Punkt P verwenden, wenn man
¨
die Punkte auf g1 bzw. g2 in umkehrbar eindeutiger Weise den reellen Zahlen
zuordnet. Man hat dazu lediglich noch auf jeder Gerade eine Einheit festzule-
gen, welche der Einheit 1 in IR entspricht.
Verwendet man aufeinander senkrecht stehende Geraden (Koordinatenach-
sen), spricht man von einem kartesischen Koordinatensystem. Wir kom-
men im Kapitel uber Geometrie auf diese Konstruktion zuruck. Dort geben
¨ ¨
wir den umgangssprachlichen Begri¬en etwas mehr formalen Gehalt.

Es ist klar, daß fur n = 2 die Geraden g1 , g2 durch die Basisvektoren x1 , x2 gem¨ß De¬ni-
a
¨
tion 2.19 so gegeben sind:

g1 := {x = a1 x1|a1 ∈ IK } , g2 := {x = a2x2|a2 ∈ IK }
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 88


Der Vektor x = a1 x1 + a2 x2 ∈ X entspricht im Koordinatensystem der Punkt P , den man
so erh¨lt:
a
Trage von θ aus a1 Einheiten auf g1 , a2 Einheiten auf g2 ab und hefte das enstehende
Geradensegment auf g2 durch Parallelverschiebung an das Geradensegment auf g1 an; der
Endpunkt des angehefteten Segments ist der Punkt P .


Lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorr¨umen kann man konkret mit
a
Hilfe von Matrizen beschreiben.
Seien X, Y endlichdimensionale IK “Vektorr¨ume und sei
a

L : X ’’ Y (4.3)

eine IK “lineare Abbildung. Sei n := dimIK X, m := dimIK Y, und seien

{x1, . . . , xn }, {y 1, . . . , y m} (4.4)

Basen von X bzw. Y . Ist n
a j xj ,
x=
j=1

dann ist wegen der Linearitat von L das Bild L(x) gegeben durch
¨
n
aj L(xj ) .
L(x) =
j=1

Man sieht daran zweierlei:

• Die Abbildung L ist vollst¨ndig angeben, wenn die Werte L(xj ) , j = 1(1)n , fest-
a
gelegt sind.

• Der Vektor L(x) l¨ßt sich in der Basis {y 1, . . . , y m } darstellen, wenn die Bilder
a
L(xj ) , j = 1(1)n , in der Basis {y 1, . . . , y m} dargestellt sind.

Seien also m
j
aij y i , j = 1(1)n .
L(x ) =
i=1

Dann ist n m m n
i
aij aj )y i .
L(x) = aj ( aij y ) = (
j=1 i=1 i=1 j=1

Dies zeigt uns, daß wir die Abbildung L : X ’’ Y bei gegebenen Basen vollst¨ndig mit
a
Hilfe der Matrix
AL = (aij )i=1 (1 )m , j =1 (1 )n (4.5)
beschreiben k¨nnen: Ist
o « 
a1
¬.·
a = ¬ . · ∈ IK n,1
.
an
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 89


der Koordinatenvektor von x, so ist

b := AL a ∈ IK m,1

der Koordinatenvektor von L(x).
Die Spaltenvektoren «  « 
a11 a1n
¬.· ¬.·
¬ . · , ... ,¬ . ·
. .
am1 amn
von AL stellen gerade die Koordinatenvektoren der Bilder L(x1 ), . . . , L(xn ) dar.

De¬nition 4.21
Die Matrix AL aus (4.5) heißt die Matrix(darstellung) der linearen Abbildung
L aus (4.3) bzgl. der Basen (4.4).
2

Beispiel 4.22
Sei X := IR 2 , Y := IR1 , L : IR 2 (x ’ 1, x2 ) ’’ x1 + x2 ∈ IR .
Wahle als Basis in X {(1, 1), (0, 1)} und als Basis in IR1 {(1)}. Wegen
¨

L((1, 1)) = 1 + 1 = 2 = 2 · (1) , L((0, 1)) = 0 + 1 = 1 = 1 · (1) ,

folgt
A= 21 .
2

Beispiel 4.23
Betrachte wieder die Ableitung D in X := IK n [x]. Als Basis in X haben wir die Monome
1n
u0 := 1, u1 := x, . . . , un := x.
n!
Man sieht, daß
Du0 = θ , Dui = ui’1 , i = 1(1)n ,
gilt. Daher ist die Matrixdarstellung AD dieser linearen Abbildung gegeben durch
« 
0 ···
0 10 0
¬ ·
0 ···
¬ ·
0 01 0
¬ ·
¬ ·
. . .. .. .. .
. . .
=¬ ·
. . .
. . .· ∈ IK
n+1,n+1
¬
AD .
¬0 ·
0 ··· 0 1 0·
¬
¬ ·
0 ··· ··· 0
0 1
0 ··· ··· ···
0 0
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 90


Seien X, Y endlichdimensionale IK “Vektorr¨ume und sei L : X ’’ Y IK “linear. Ist
a
dann A die Matrixdarstellung von L bei gew¨hlten Basen und TA die von A := AL
a
induzierte Abbildung
IK n,1 a ’’ A a ∈ IK m,1 ,
dann haben wir

L L
’’ ’’
X Y X Y
¦ ¦ ¦ ¦
¦ ¦ ¦ ¦
kX ¦ ¦kY kX ¦ ¦kY
kY —¦ L = TA —¦ kX kY —¦ L = A —¦ kX
oder kurz
T A
’’ ’’
IK n,1 IK m,1 IK n,1 IK m,1
A




<<

. 22
( 63 .)



>>