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. 23
( 63 .)



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Wir wissen, daß bei linearen Abbildungen die Hintereinanderausfuhrung wieder linear ist.
¨
Wir gehen der Frage nach, was dies fur die zugeh¨rigen Matrizen bedeutet. Im obigen
o
¨
= ˜ wider in An+1 .
n+1
Beispiel spiegelt sich die Eigenschaft D D
Erinnert sei an die Matrixmultiplikation aus Abschnitt 2.2. Sie bekommt nun einen tiefe-
ren Sinn.

Satz 4.24
Seien X, Y, Z endlichdimensionale IK “Vektorraume und seien R : X ’’ Y ,
¨
S : Y ’’ Z IK “lineare Abbildungen. Seien in X, Y, Z Basen gewahlt.
¨
Sind dann AR , AS , AS—¦R die zu R bzw. S bzw. S —¦ R gehorenden Matrixdarstellun-
¨
gen, so gilt
AS—¦R = AS AR .
Beweis:
Seien {x1 , . . . , xn }, {y 1, . . . , y m}, {z 1 , . . . , z l } Basen von X bzw. Y bzw. Z.
Dann ist AR ∈ IK m,n, AS ∈ IK l,m , AS—¦R ∈ IK l,n . Setze

AR := (aij )i=1 (1 )m , j =1 (1 )n , AS := (bij )i=1 (1 )l , j =1 (1 )m .

Nach Konstruktion von AR und AS gilt:
m l
j i i
bki z k , i = 1(1)m .
R(x ) = aij y , j = 1(1)n , S(y ) =
i=1 k=1

Daraus folgt fur j = 1(1)n :
¨
m m l l m
(S —¦ R)(x ) = S(
j i k
bki aij )z k
aij y ) = aij ( bki z ) = (
i=1 i=1 k=1 i=1
k=1

Also besteht AS—¦R aus den Spaltenvektoren
« 
m
b1iaij
¬ ·
¬ ·
i=1
¬ ·
.
.
¬ · , j = 1(1)n .
.
¬ ·
 
m
bli aij
i=1
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 91


Dies sind aber gerade die Spaltenvektoren des Matrixprodukts AS AR .

Gehen wir von einem Isomorphismus L : X ’’ Y mit der zugeh¨rigen Matrix AL (bei
o
gew¨hlter Basis in X und Y ) aus, so haben wir
a

idX = L’1 —¦ L , idY = L —¦ L’1 .

Dies bedeutet dann nach Satz 4.24

E = AL’1 AL , E = AL AL’1 .

Dies nehmen wir zum Anlaß fur
¨


De¬nition 4.25
Sei IK K¨rper und sei A ∈ IK n,n . A heißt regul¨r oder invertierbar, falls es
o a
B ∈ IK n,n
gibt mit
E = AB = B A,
anderenfalls heißt A singular oder nicht invertierbar.
¨
Fur die Matrix B “ sie ist eindeutig bestimmt “ schreiben wir A’1 und nennen diese
¨
2
Matrix die Inverse von A.


Die Eindeutigkeit von A’1 folgt wie die Eindeutigkeit des inversen Elements bei Grup-
pen. Allerdings sollte man zur Kenntnis nehmen, daß wir dabei die Kommutativit¨t der
a
Multiplikation nicht nutzen k¨nnen (siehe Beispiel 2.5). Wir wiederholen den Schluß:
o
¨
Aus
E = AB = B A, E = AB = B A,
folgt
B = B E = B AB = EB = B .


Bemerkung 4.26
Wir haben in Kapitel 2 die Matrizen von oberer Dreiecksgestalt kennengelernt und dort
dafur Regularit¨t einer solchen Matrix de¬niert. Mit Hilfe des Gaußschen Eliminations-
a
¨
verfahrens “ die Gleichung A B = E ist zu l¨sen “ sieht man, daß die dortige De¬nition
o
2
mit der nun gegebenen De¬nition ubereinstimmt.
¨


Folgerung 4.27
Seien A, B ∈ IK n,n regular. Dann gilt:
¨

(A’1 )’1 = A , (A B)’1 = B ’1 A’1
Beweis:
Folgt wie bei den Gruppen.
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 92


Seien X, Y IK “Vektorr¨ume und sei L : X ’’ Y eine IK “lineare Abbildung. Seien
a
¦X , ¦Y Basen in X bzw. Y . Dann haben wir eine Matrixdarstellung von L bzgl. die-
ser Basen. Wie “transformiert“ sich nun diese Matrix, wenn wir einen Basiswechsel von
¦X , ¦Y zu Basen ¦X , ¦Y vornehmen? Eine Voruberlegung, die wesentlich zur De¬nition
¨
4.25 gefuhrt hat, ist:
¨

Folgerung 4.28
Sei X ein endlichdimensionaler IK “Vektorraum und seien ¦X , ¦X Basen in X. Ist
A die Matrixdarstellung der Identit¨t, wenn wir im De¬nitionsbereich X die Basis
a
¦X und im Wertebereich X die Basis ¦X w¨hlen, dann ist A invertierbar und A’1
a
ist die Matrixdarstellung der Identit¨t, wenn wir im De¬nitionsbereich X die Basis
a
¦X und im Wertebereich X die Basis ¦X w¨hlen.a
Beweis:
Sei B die Matrixdarstellung der Identit¨t, wenn wir im De¬nitionsbereich X die Basis ¦X
a
und im Wertebereich X die Basis ¦X w¨hlen. Da A die Matrixdarstellung der Identit¨t
a a
ist, wenn wir im De¬nitionsbereich X die Basis ¦X und im Wertebereich X die Basis ¦X
w¨hlen, folgt aus Satz 4.24 E = A B = B A .
a

De¬nition 4.29
Sei X ein endlichdimensionaler IK “Vektorraum und seien ¦X , ¦X Basen in X. Die
Matrixdarstellung der Identit¨t bzgl. der Basis ¦X im De¬nitionsbereich und ¦X im
a
¨
Wertebereich heißt Ubergangsmatrix von ¦X nach ¦X .
2

Beispiel 4.30
Sei X := IR 2 , L := idX . Wahle als Basis in X {(1, 0), (0, 1)} bzw. {(2, 0), (1, 1)}. Wegen
¨
L((1, 0)) = 1/2 · (1, 0) , L((0, 1)) = 1/2 · (2, 0) + 1 · (1, 1) ,
folgt
1/2 ’1/2
A= .
0 1
2
Satz 4.31
Seien X, Y endlichdimensionale IK “Vektorraume und sei L : X ’’ Y eine IK “
¨
lineare Abbildung. Seien ¦X , ¦X Basen in X und seien ¦Y , ¦Y Basen in Y . Ist dann
A die Matrixdarstellung von L bzgl. der Basen ¦X , ¦Y in X bzw. Y , dann gibt es
invertierbare Matrizen T, S, sodaß

A := T A S ’1 (4.6)

die Matrixdarstellung von L bzgl. der Basen ¦X , ¦Y in X bzw. Y ist.
Beweis:
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 93


Betrachte die Sequenz
id id
L
{X, ¦X } ’’ {X, ¦X } ’’ {Y, ¦Y } ’’ {Y, ¦Y }
X Y



wobei vermerkt ist, welche Basis jeweils gew¨hlt ist. Nach Folgerung 4.28 gibt es inver-
a
tierbare Matrizen S, T die
id id
{X, ¦X } ’’ {X, ¦X } bzw. {Y, ¦Y } ’’ {Y, ¦Y }
X Y



darstellen. Daraus lesen wir mit Satz 4.24 unter Verwendung von Folgerung 4.28 ab, daß
T A S ’1 die Abbildung
L
{X, ¦X } ’’ {Y, ¦Y }
darstellt.

Bemerkung 4.32
Die Darstellung A = T A S ’1 und nicht A = T A S mit einer invertierbaren Matrix S ist
˜ ˜
Konvention. Sie ist allerdings durch die Sequenz im Beweis zu Satz 4.31 nahegelegt, denn
¨ ¨
S ist die Ubergangsmatrix von ¦X nach ¦X und T ist die Ubergangsmatrix von ¦Y nach
2
¦Y .

Bemerkung 4.33
Liegt ein Endomorphismus vor, so lautet (4.6)
A := S A S ’1 ,
2
falls man in Satz 4.31 mit X = Y die Gleichheit ¦X = ¦Y , ¦X = ¦Y hat.

Bemerkung 4.34
Jede Matrix A ∈ IK m,n kommt als Matrixdarstellung einer linearen Abbildung vor. Man
a ’’ A a ∈ IK n,1 und ihre
hat dazu nur die lineare Abbildung L := TA : IK m,1
Matrixdarstellung bezuglich der Standardbasis zu betrachten. Dann gilt o¬enbar A = AL.
¨
2
De¬nition 4.35
Sei A ∈ IK m,n und sei dazu TA : IK n,1 a ’’ A a ∈ IK m,1 .

(a) Bild (A) := Bild (TA) , rg(A) := rg(TA) .

(b) Kern(A) := Kern(TA) , def (A) := def (TA) .

(c) rg s (A) := Maximale Anzahl linear unabhangiger Spalten in A.
¨

(d) rg z (A) := Maximale Anzahl linear unabhangiger Zeilen in A.
¨
rg(A) heißt Rang von A, rg s (A) heißt Spaltenrang von A und rg z (A) heißt Zei-
lenrang von A.
2
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 94


Nutzlich im Zusammenhang mit Spalten“ und Zeilenrang ist die Einfuhrung der trans-
¨ ¨
ponierten Matrix. In der Theorie der Linearformen und der euklidischen Vektorr¨ume
a
bekommt diese Begri¬sbildung eine tiefere Bedeutung.


De¬nition 4.36
Sei A := (aij )i=1 (1 )m , j =1 (1 )n ∈ IK m,n . Die Matrix

At := (aji)j =1 (1 )n , i=1 (1 )m ∈ IK n,m

heißt die zu A transponierte Matrix.
2

Sofort klar ist fur A ∈ IK m,n neben der Tatsache, daß stets
¨

rg(A) ¤ min{m, n} , rg s (A) ¤ n , rg z (A) ¤ m ,

gilt, auch

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