<<

. 25
( 63 .)



>>

Dann gilt also
A(z0, . . . , zn ) a = θ ,
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 99


wobei
«  « 
1 z0 z02 · · · z0n a0
¬ · ¬ ·
1 z1 z12 · · · z1n
¬ · ¬ ·
a1
A(z0, . . . , zn) := ¬ · ∈ IK , a := ¬ · ∈ IK n+1,1 ,
n+1,n+1
. . .
¬ · ¬ ·
. . .
   
. . .
1 zn zn2 · · · znn an

ist. Dieses Gleichungssystem besitzt nur die triviale L¨sung, da wir zeigen k¨nnen:
o o

rg(A(z0, . . . , zn )) = n + 1 .

Der Beweis dazu geht so:
Wir wenden elementare Umformungen auf A(z0, . . . , zn ) an. Fur k = (n + 1)(’1)1 subtra-
¨
hiere das z0 “ fache der (k ’ 1)“ten Spalte von der k“ten Spalte. Dies ergibt eine Matrix
A , die e1 als erste Zeile und

(1, zi ’ z0, zi2 ’ z0 zi, . . . , zin ’ z0 zin’1 )

als i“te (i > 1) Zeile hat. Dann ist

rg(A(z0, . . . , zn)) = rgz (A(z0, . . . , zn)) = rgz (A ) = rgs (A ) = 1 + rgs (B) = 1 + rg(B) ,

wobei

mit b ∈ IK n,1
A=
bB
ist. Der Rang ¨ndert sich nicht, wenn wir die i“te Zeile von B mit (zi ’z0)’1 multiplizieren;
a
1 ¤ i ¤ n . Dann entsteht aus B die Matrix A(z1, . . . , zn) ∈ IK n,n . Induktiv erhalten wir
also
rg(A(z0, . . . , zn )) = 1 + rg(A(z1 , . . . , zn )) = n + 1 .


Wir k¨nnen aus Beispiel 3.38 ableiten, daß der Identit¨tssatz in endlichen K¨rpern nicht
o a o
gilt.


4.5 Die allgemeine lineare Gruppe

De¬nition 4.46
Die Menge
GLn (IK ) := {A ∈ IK n,n |A invertierbar }
heißt die allgemeine lineare Gruppe (general linear group).
2

Die De¬nition unterstellt, daß GLn (IK ) eine Gruppe ist. Welche Verknupfung ist gemeint?
¨
Die Addition von Matrizen kann nicht gemeint sein, denn GLn (IK ) ist nicht abgeschlossen
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 100


bzgl. der Addition (Beachte A + (’A) = ˜ fur alle A ∈ IK n,n). Die Multiplikation ist
¨
gemeint!


Satz 4.47
GLn (IK ) ist eine Gruppe bzgl. der Matrixmultiplikation; Einselement ist die Ein-
heitsmatrix E.
Beweis:
Wir haben in Folgerung 4.27 schon notiert: (AB)’1 = B ’1 A’1 . Also ist GLn (IK ) abge-
schlossen bzgl. der Multiplikation. Alle anderen Bedingungen sind einfach zu veri¬zieren.



Beispiel 4.48
Sei A := (aij )i=1 (1 )n , j =1 (1 )n ∈ IK n,n . A gehort zu GLn (IK ),
¨
• falls A regul¨re Matrix von oberer Dreiecksgestalt ist;
a

• falls A = B t und B regul¨re Matrix von oberer Dreiecksgestalt ist;
a

• falls n = 2 und ∆ := a11a22 ’ a12a21 = 0 ist, denn:
Wir wissen aus Abschnitt 2.1, daß bei ∆ = 0 das Gleichungssystem

Ax = b

eindeutig fur alle b ∈ IK 2,1 l¨sbar ist. Also ist Kern(A) = {θ} und A ist in GL2 (IK ).
o
¨


Betrachte die Elementarmatrizen

Ekl := (δik δlj )i=1 (1 )r , j =1 (1 )r ∈ IK r,r , 1 ¤ k, l ¤ r ,

und damit die Gaußmatrizen

Ekl (a) := E + aEkl , 1 ¤ k, l ¤ r , a ∈ IK .

Man sieht:
• Multiplikation einer Matrix A ∈ IK m,n von links mit Ekl (a) ∈ IK m,m bedeutet, das
a“fache der l“ten Zeile von A zur k“ten Zeile von A zu addieren.

• Multiplikation einer Matrix A ∈ IK m,n von rechts mit Ekl (a) ∈ IK n,n bedeutet, das
a“fache der k“ten Spalte von A zur l“ten Spalte von A zu addieren.

Damit sind die elementaren Zeilenumformungen als Matrixmultiplikation beschrieben.
Zeilen“ und Spaltenvertauschungen lassen sich ebenfalls als Matrixmultiplikation verste-
hen: Seien
Pkl := E + Ekl + Elk ’ Ekk ’ Ell , 1 ¤ k, l ¤ r .
Es gilt:
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• Multiplikation einer Matrix A ∈ IK m,n von links mit Pkl ∈ IK m,m bedeutet, die l“te
Zeile von A mit der k“ten Zeile von A zu vertauschen.

• Multiplikation einer Matrix A ∈ IK m,n von rechts mit Pkl ∈ IK n,n bedeutet, die k“te
Spalte von A mit der l“ten Spalte von A zu vertauschen.

Damit sind alle elementaren Umformungen, die das Gaußsche Eliminationsverfahren aus-
machen, durch Matrixmultiplikation unter Verwendung der Matrizen Ekl (a), Pkl , 1 ¤
k, l ¤ r , k = l , beschrieben.
Es gilt:

• Ekl (a)Ekl (b) = Ekl (a + b) , 1 ¤ k, l ¤ r , k = l .

• Ekl (a) ∈ GLr (IK ) und Ekl (a)’1 = Ekl (’a) , 1 ¤ k, l ¤ r , k = l .
’1
• Pkl ∈ GLr (IK ) , Pkl = Pkl , 1 ¤ k, l ¤ r .

Da also die bei elementaren Umformungen ben¨tigten Ekl (a), Pkl invertierbar sind, sehen
o
wir erneut, daß elementare Umformungen der Rang einer Matrix nicht ver¨ndern.
a
Ist
BC x1 c
=
˜˜ x2 d
die Endform des Gaußschen Eliminationsverfahrens, angewendet auf das Gleichungssy-
stem (4.10), so konnen wir die Rechenschritte als Berechnungsverfahren fur eine LU“
¨ ¨
Zerlegung einer permutierten Matrix interpretieren. Die Matrix

BC
˜˜

ensteht namlich als
¨
BC
Gs Ps · · · G1 P1 AΠ1 · · · Πs = (4.11)
˜˜
wobei G1 , . . . , Gs Gaußmatrizen und P1 , . . . , Ps , Π1 , . . . , Πs Permutations“ oder Einheits-
matrizen sind.

De¬nition 4.49
Sei A ∈ IK m,n . Dann heißt A = LU eine LU“Zerlegung von A, wenn U, Lt Ma-
trizen von oberer Dreiecksgestalt sind.
2
Aus (4.11) liest man die LU“Zerlegung von A ab, falls keine Zeilen“ und Spaltenvertau-
schungen ben¨tigt werden:
o

BC
A = LU mit L = (Gs · · · G1 )’1 , U = .
˜˜

Man sieht sofort, daß in der Tat eine LU“Zerlegung vorliegt.
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Das vorliegende Gleichungssystem (4.10)

Ax = b , d.h. LUx = b ,

l¨ßt sich dann zweistu¬g durch Vorwarts“ und Ruckw¨rtssubstitution l¨sen:
a a o
¨ ¨

Ly = b , Ux = y ,

In der numerischen Mathematik besch¨ftigt man sich mit Stabilit¨ts“ und Speicherfragen.
a a
Soviel sei hier gesagt: U ben¨tigt die obere H¨lfte einer n — n “ Matrix, die untere H¨lfte
o a a
ohne Diagonale kann L aufnehmen, da wir sowieso wissen, daß in der Diagonalen von L
lauter Einsen stehen (Beweis!).


4.6 Linearformen und Dualraum
De¬nition 4.50
Sei X ein IK “Vektorraum.
Der IK “Vektorraum X := Hom IK (X, IK ) := {L : X ’’ IK |L IK ’linear} heißt
(algebraischer) Dualraum von X. Jedes Element » ∈ X heißt eine Linearform
oder lineares Funktional auf X.
2

Beispiel 4.51
Sei IK ein Korper. Die Abbildung
¨
n n
ai x ’’ aiti ∈ IK (t0 ∈ IK )
i
δt0 : IK [x] p= 0
i=0 i=0

2
ist eine Linearform auf IK [x] , d.h. δt0 ∈ IK [x] .

Sei X ein IK “Vektorraum.
Die Anwendung eines Elements » ∈ X auf ein Element x ∈ X schreiben wir allgemeiner
Gewohnheit folgend anders wie wir es bei (gew¨hnlichen) Abbildungen sonst tun:
o

< », x > := »(x) .

Wir haben damit eine Abbildung

< ·, · >: X — X (», x) ’’ < », x > ∈ IK ,

die in beiden Argumenten o¬enbar IK “linear ist. Wir nennen diese Abbildung die kano-
nische Paarabbildung.
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Satz 4.52
Sei X ein IK “Vektorraum. Dann gilt:

(a) X ist ein IK “Vektorraum.

(b) Hat X Dimension n, dann hat X ebenfalls Dimension n.

(c) Ist ¦X := {x1 , . . . , xn } eine Basis in X, dann hat X eine Basis
¦X = {»1 , . . . , »n } ‚ X mit

< »i , xj >= δij , i, j = 1(1)n . (4.12)

Diese Basis ¦X ist durch die Eigenschaft 4.12 eindeutig bestimmt.
Beweis:
(a) ist ein Spezialfall: Hom K (X, Y ) ist ein Vektorraum, falls X, Y Vektorr¨ume sind.
a
Zu (b). Wird unter (c) mitbewiesen.
Zu (c).
Wir schreiben »i als Projektion auf die i-te Koordinate von x bzgl. der Basis ¦X , d.h.
n
aj xj ’’ ai ∈ IK ; i ∈ {1, . . . , n}.
i
» :X x=
j=1


Diese Elemente »i sind wohlde¬niert, da die Darstellung eines Elements x ∈ X durch die
Basis eindeutig ist. Sie sind o¬enbar auch IK “linear. Die Eigenschaft (4.12) ist o¬ensicht-
lich. Bleibt zu zeigen, daß {»1 , . . . , »n} eine Basis von X darstellt.
Sei n
bi »i = θ .
» :=
i=1

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