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. 26
( 63 .)



>>

Dann gilt wegen (4.12)
0 =< », xj >= bj , j = 1(1)n .
Dies zeigt, daß ¦X := {»1 , . . . , »n } linear unabhangig ist.
¨
n
Sei » ∈ X . Dann gilt fur alle x = aj xj ∈ X wegen (4.12)
¨
j=1

n n n
j j j
< », xj > »j , x > .
< », x >= aj < », x >= < » , x >< », x >=<
j=1 j=1 j=1

n
< », xj > »j ∈ L(¦X ) ist. Also ist ¦X auch ein Erzeugendensy-
Dies zeigt, daß » =
j=1
stem von X ist. Damit ist ¦X eine Basis in X .
Zur Eindeutigkeit: Ist ΨX := {µ1, . . . , µn } eine weitere Basis mit der Eigenschaft 4.12,
dann gilt fur i ∈ {1, . . . , n} < »i ’ µi , xj >= 0 , 1 ¤ j ¤ n. Daraus folgt o¬enbar
¨
< »i ’ µi , x >= 0 fur alle x ∈ X. Also »i = µi .
¨
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 104


De¬nition 4.53
Sei X ein IK “Vektorraum und sei ¦X := {x1 , . . . , xn } eine Basis in X. Dann heißt
eine Basis ¦X := {»1 , . . . , »n } ‚ X mit

< »i , xj >= δij , i, j = 1(1)n ,

2
die duale Basis zu ¦X .




Folgerung 4.54
Sei X ein endlichdimensionaler IK “Vektorraum. Dann gibt es zu jedem x ∈ X\{θ}
ein » ∈ X \{θ} mit
< », x > = 0 . (4.13)
Beweis:
Wahle eine Basis ¦X = {x1, . . . , xn} in X und dazu eine duale Basis ¦X = {»1 , . . . , »n }
¨
n
a j xj
in X . Da fur x =
¨
j=1
aj =< »j , x > , j = 1(1)n ,
gilt, gibt es zu x ∈ X\{θ} ein j mit < »j , x >= 0.


Beispiel 4.55
Wahle in X := IK n,1 die Standardbasis e1, . . . , en und KX die zugehorige Koordinaten-
¨ ¨
a ’’ kX (a)i ∈ IK aus der dualen Basis
n,1
i
abbildung. Jede Linearform X » : IK
konnen wir somit so hinschreiben:
¨
t
< »i , a >= (ei ) .

Also k¨nnen wir den Dualraum X von X := IK n,1 gleichsetzen mit IK n,1 , wenn wir
o
< ·, · > noch erkl¨ren durch < », a >:= »t a , », a ∈ IK n,1 .
a
Verzichten wir auch noch auf die “Feinheit“ IK n,1 statt IK n zu schreiben, k¨nnen wir den
o
Dualraum X von X := IK gleichsetzen mit IK , wenn wir < ·, · > durch < », a >:=
n n

2
n
»i ai erkl¨ren.
a
i=1



Bemerkung 4.56
Ist X ein n“dimensionaler IK “Vektorraum, dann wissen wir nun, daß auch X ein n“
dimensionaler IK “Vektorraum ist. Beide R¨ume sind dann isomorph zu IK n . Dies nutzen
a
wir so:
Sei {x1, . . . , xn} eine Basis in X und sei {»1 , . . . , »n } eine duale Basis in X . Mit den
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 105


Koordinatenabbildungen kX : X ’’ IK n , kX : X ’’ IK n erhalten wir nun fur
¨
» ∈ X ,x ∈ X :
n
< », xi >< »i , x >
< », x > =
i=1
n
= kX (»)i kX (x)i
i=1
= kX (»)t kX (x) .

Auf diese Weise k¨nnen wir dann eine Gleichung
o

< », x > = b (» ∈ X , x ∈ X , b ∈ IK )

mit einer Gleichung
at x = b (a ∈ IK n , x ∈ IK n )
identi¬zieren; siehe Beispiel 4.55. Damit ist die Brucke zu den Gleichungssystemen ge-
¨
2
schlagen.


Satz 4.57
Sei X ein IK “Vektorraum. Dann gilt:

(a) F¨r jedes x ∈ X ist die Abbildung
u

» ’’ gx (») :=< », x > ∈ IK
gx : X

ein Element von (X ) .

(b) Die Abbildung
x ’’ gx ∈ (X )
jX : X
ist injektiv und ein Element von Hom IK (X, (X ) ) .
Beweis:
Zu (a): Trivial.
Zu (b): Fur alle x, y ∈ X, a, b ∈ IK gilt
¨

jX (ax + by)(») =< », ax + by >= a < », x > +b < », y > fur alle » ∈ X ,
¨

d.h. jX (ax + by) = ajX (x) + bjX (y) . Damit ist die Linearit¨t von jX klar. Die Injektivit¨t
a a
folgt aus Folgerung 4.54.


De¬nition 4.58
Sei X ein IK “Vektorraum. Der IK “Vektorraum (X ) heißt Bidualraum zu X und
wir schreiben daf¨r X .
u
2
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 106


Folgerung 4.59
Sei X ein endlichdimensionaler IK “Vektorraum. Dann ist der Bidualraum X iso-
morph zu X.
Beweis:
Folgt aus Satz 4.52 unter Beachtung von Bemerkung 4.56

De¬nition 4.60
Sei X ein IK “Vektorraum und sei U ‚ X ein linearer Teilraum. Dann heißt

U a := {» ∈ X | < », u >= 0 fur alle u ∈ U}
¨

2
der Annihilator von U.



Satz 4.61
Sei X ein IK “Vektorraum und sei U ‚ X ein linearer Teilraum. Dann gilt:

(a) U a ist ein linearer Teilraum von X .

(b) Ist dimIK X < ∞, dann ist dimIK U + dimIK U a = dimIK X .
Beweis:
Zu (a).
Folgt entweder durch direktes Nachrechnen oder mit Hilfe von Folgerung 4.4.
Zu (b).
W¨hle eine Basis {x1, . . . , xr } von U und erg¨nze diese zu einer Basis ¦X = {x1, . . . , xn } in
a a
X. W¨hle dazu eine duale Basis ¦X = {» , . . . , »n } in X . Wir zeigen, daß {»r+1 , . . . , »n }
1
a
eine Basis von U a ist.
Da {»r+1 , . . . , »n } sicherlich linear unabh¨ngig ist, ist nur zu zeigen, daß {»r+1 , . . . , »n }
a
a
ein Erzeugendensystem von U ist.
n
Sei » ∈ U . Da {» , . . . , » } eine Basis in X ist, gibt es (b1, . . . , bn ) ∈ IK mit » =
n
a 1 n
bi»i .
i=1
n
bi »i , also » ∈ L({»r+1 , . . . , »n }) .
Wegen 0 =< », xj >= bj , j = 1(1)r , folgt » =
i=r+1



Folgerung 4.62
Sei X ein endlichdimensionaler IK “Vektorraum und sei U ‚ X ein linearer Teil-
raum. Dann ist j|U (siehe Folgerung 4.59) ein Isomorphismus von U auf

(U a )a := {µ ∈ X | < µ, » >= 0 fur alle » ∈ U a } .
¨
Beweis:
’1
Sei jX : X ’’ X der Isomorphismus gem¨ß Folgerung 4.59 und sei W := jX ((U a )a ).
a
Sei u ∈ U. Dann ist

< jX (u), » >=< », u >= 0 fur alle » ∈ U a ,
¨
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 107


also jX (u) ∈ (U a )a , d.h. u ∈ W. Damit wissen wir, daß U ‚ W gilt. Aus

dimIK U + dimIK U a = dimIK X = dimIK X = dimIK U a + dimIK (U a )a ,

(siehe 4.61) folgt dimIK U = dimIK (U a )a = dimIK W, also U = W.


Folgerung 4.63
Sei X ein endlichdimensionaler IK “Vektorraum, x0 ∈ X und sei U ein linearer
Teilraum von X. Sei l := dimIK U a und sei »1 , . . . , »l ∈ X eine Basis von U a .
Damit sind f¨r x ∈ X ¨quivalent sind:
u a

(a) < »i , x >=< »i , x0 > , i = 1(1)l .

(b) x ∈ x0 + U .
Beweis:
Es gilt o¬enbar fur x ∈ X :
¨

x ’ x0 ∈ U ⇐’ < jX (x ’ x0 ), »i >= 0 , i = 1(1)l ,
⇐’ < »i , x ’ x0 >= 0 , i = 1(1)l .




De¬nition 4.64
Eine Teilmenge A von X heißt a¬ner Teilraum (der Dimension r), wenn es
x0 ∈ X und einen linearen Teilraum (der Dimension r) gibt mit A = x0 + U.
2

Nun ist wegen Folgerung 4.63 klar, daß jeder a¬ne Teilraum als L¨sungsraum eines linea-
o
ren Gleichungssystem auftritt; die Umkehrung kennen wir schon aus Satz 4.44. Beachte
hierzu Bemerkung 4.56. Mehr noch, wir k¨nnen nun ganz einfach den noch ausstehenden
o
Beweis von Satz 2.22 fuhren. Dieser Satz uber Ebenen lautet:
¨ ¨


Satz 4.65
Sei IK ein Korper und sei E ‚ IK 3, E = …. Dann sind ¨quivalent:
a
¨
(a) E ist Ebene.

(b) Es gibt a ∈ IK 3 , a = θ, und b ∈ IK mit

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