<<

. 27
( 63 .)



>>

E = {(x1, x2, x3 ) ∈ IK 3 |a1x1 + a2x2 + a3x3 = b} .
Beweis:
Zu (a) =’ (b).
Ist E eine Ebene, dann ist E ein a¬ner Teilraum der Dimension 2, da der Richtungsraum
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 108


nach De¬nition zweidimensional ist. Also haben wir E = x0 + U, wobei U ein zweidimen-
sionaler Teilraum von IK 3 ist. Aus Folgerung 4.63 folgt die Existenz von » ∈ IK 3 \{θ}
mit < », x >=< », x0 > fur alle x ∈ E. Aus Bemerkung 4.56 folgt dann b).
¨
Zu (b) =’ (a).
Sei a := (a1, a2, a3) ∈ IK 1,n und sei V := L({a}), U := {u ∈ IK 3,1 |at u = 0}. Nun ist
dimIK V = 1, U = V a , dimIK U = 2 und x ∈ E genau dann, wenn at (x ’ x0 ) = 0 gilt. Also
ist x ∈ E genau dann, wenn x ∈ x0 + U gilt (beachte Bemerkung 4.56). Daher ist E ein
zweidimensionaler a¬ner Raum und damit eine Ebene.


De¬nition 4.66
Sei X ein IK “Vektorraum. Sei » ∈ X \{θ} und sei b ∈ IK . Dann heißt

H»,b := {x ∈ X| < », x >= b}

eine Hyperebene.
2

Bemerkung 4.67
Die Folgerung 4.54 besagt, daß der Punkt x0 = θ nicht auf der Hyperebene H»,0 liegt.
Im Kapitel 9 (Konvexit¨t) gehen wir genauer auf die Diskussion von Hyperebenen ein.
a
Erw¨hnt sei hier aber noch, daß die Existenz von Linearformen mit der Eigenschaft aus
a
Folgerung 4.54 in unendlichdimensionalen R¨umen keine Trivialit¨t ist. Hierzu liefert der
a a
Satz von Hahn“Banach, einer der drei Haupts¨tze der Funktionalanalysis, Ergebnisse. Die
a
geometrische Fassung dieses Satzes hat mit trennenden Eigenschaften von Hyperebenen zu
tun. (Die “Ebene“ IK n wird durch eine Hyperebene H»,b aufgespalten in zwei Halbr¨ume.)
a
2
Daß folgende De¬nition sinnvoll ist, belegt das nachfolgende Lemma.


De¬nition 4.68
Seien X, Y IK “Vektorr¨ume und sei L : X ’’ Y IK “linear. Die Abbildung
a

µ ’’ L (µ) ∈ X mit < L (µ), x >:=< µ, L(x) > , x ∈ X ,
L :Y

heißt die (zu L) adjungierte Abbildung.
2

Lemma 4.69
Seien X, Y ein IK “Vektorr¨ume und sei L : X ’’ Y IK “linear. Dann ist L eine
a
wohlde¬nierte IK “lineare Abbildung.
Beweis:
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 109


Ist die Wohlde¬niertheit gezeigt, ist alles klar, denn die Linearit¨t ist o¬ensichtlich.
a
Sei µ ∈ Y . Dann wird durch
x ’’ < µ, L(x) > ∈ IK
X
o¬enbar eine IK “lineare Abbildung de¬niert. Also gibt es » ∈ X mit
< µ, L(x) >=< », x > , x ∈ X .
Ist » ∈ X eine weitere Linearform mit
< µ, L(x) >=< » , x > , x ∈ X ,
dann ist < » ’ » , x >= 0 fur alle x ∈ X , also » ’ » = θ. Die Setzung L (µ) := » ist also
¨
sinnvoll.

Satz 4.70
Seien X, Y endlichdimensionale IK “Vektorr¨ume, seien ¦X , ¦Y Basen in X bzw.
a
Y und seien ¦X , ¦Y die zugeh¨rigen dualen Basen in X bzw. Y . Ist dann
o

A := (aij )i=1 (1 )m , j =1 (1 )n ∈ IK m,n

die Matrixdarstellung der IK “linearen Abbildung L : X ’’ Y bzgl. ¦X , ¦Y , dann
ist
At = (aji )j =1 (1 )n , i=1 (1 )m ∈ IK n,m
’’ X bzgl. ¦X , ¦Y .
die Matrixdarstellung von L : Y
Beweis:
Seien ¦X = {x1, . . . , xn }, ¦Y = {y 1, . . . , y m}, ¦X = {»1 , . . . , »n }, ¦Y = {µ1, . . . , µm }.
Wir wissen: m
L(xj ) = asj y s , j = 1(1)n .
s=1

Fur i = 1(1)m folgt nun
¨
n
i
< L (µi ), xj > »j
L (µ ) =
j=1
n
< µi , L(xj ) > »j
=
j=1
m n
asj < µi , y s >)»j
= (
j=1 s=1
m
aij »j
=
j=1

Daraus liest man nun die Spalten der Matrixdarstellung von L in der behaupteten Form
ab.

Den Inhalt dieses Kapitels k¨nnen wir nun ziemlich gut durch ein Diagramm wiedergeben.
o
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 110


Seien X, Y IK “Vektorr¨ume mit dimIK X = n , dimIK Y = m .
a
Seien ¦X , ¦Y Basen in X bzw. Y und seien ¦X , ¦Y duale Basen in X bzw.
Y.
Sei L : X ’’ Y IK “linear und sei A die Matrixdarstellung bzgl. der gew¨hl-
a
ten Basen.
Damit haben wir:

L L
’’ ←’
X Y X Y
¦ ¦ ¦ ¦
¦ ¦ ¦ ¦
kX ¦ ¦kY ¦ ¦kY
kY —¦ L = A —¦ kX kX —¦ L = At —¦ kY
kX
At
A
’’ ←’
n,1 m,1 n,1
IK m,1
IK IK IK



4.7 Fredholm“Alternative *
Abschließend nochmal ein Blick auf die linearen Gleichungssysteme. Eine Charakterisie-
rung der L¨sbarkeit eines Gleichungssystems ist auch unter Zuhilfenahme der adjungierten
o
Abbildung moglich. Dazu eine Vorbereitung.
¨


Lemma 4.71
’’ Y linear.
Sei X ein endlichdimensionaler IK “Vektorraum. und sei L : X
Dann gilt:

(a) Kern(L ) = Bild (L)a .

(b) Bild (L ) = Kern(L)a .
Beweis:
Sei » ∈ Y mit L (y) = θ. Dann ist < », L(x) >=< L (»), x >= 0 fur alle x ∈ X. Also ist
¨
» ∈ Bild (L) . Die Umkehrung ist daraus auch ablesbar. Damit ist (a) gezeigt, (b) beweist
a

man entsprechend.

Als Verallgemeinerung von Lemma 4.40 haben wir


Folgerung 4.72
Seien X, Y endlichdimensionale IK “Vektorr¨ume, sei L : X ’’ Y linear. Dann
a
gilt rg(L) = rg(L ).
Beweis:
rg(L ) = dim Bild (L ) = dim Kern(L)a = dim X ’ dim Kern(L) = dim Bild (L) = rg(L).


Der folgende Satz wird als Fredholm“Alternative (in endlichdimensionalen R¨umen)
a
bezeichnet.
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 111


Satz 4.73
Seien X, Y endlichdimensionale IK “Vektorr¨ume, sei L : X ’’ Y linear. Betrach-
a
te die folgenden vier Gleichungen:
(1) L(x) = y (3) L(x) = θ
(2) L (») = µ (4) L (») = θ
Damit gilt:
Entweder sind beide Gleichungen (1), (2) l¨sbar f¨r alle », µ, und in diesem Falle
o u
sind sie eindeutig l¨sbar, oder die Gleichungen (3), (4) haben diesselbe Anzahl von
o
linear unabh¨ngigen L¨sungen x1, . . . , xl und »1 , . . . , »l , und in diesem Falle ist (1)
a o
(bzw. (2)) l¨sbar genau dann, wenn < »1 , y >= · · · =< »l , y >= 0 (bzw. < µ, x1 >=
o
· · · =< µ, xl >= 0) gilt.
Beweis:
L¨sbarkeit von (1), (2) fur alle », µ bedeutet, daß Bild (L) = Y, Bild (L ) = X , d.h. daß
o ¨
Kern(L ) = Y, Kern(L )a = X ist; also Kern(L ) = {θ}, Kern(L) = {θ}.
a

Ist Kern(L) = {θ}, dann ist dim Kern(L ) = dim Kern(L ) und y ∈ Bild (L) genau dann,
wenn y ∈ Kern(L )a ist, d.h. wenn < »1 , y >= · · · =< »l , y >= 0 gilt. Entsprechend
erh¨lt man µ ∈ Bild (L ) genau dann, wenn < µ, x1 >= · · · =< µ, xl >= 0 gilt.
a

Im Abschnitt uber Euklidische Vektorraume werden wir auf obigen Satz zuruckkommen.
¨ ¨ ¨

Die Fredholm“Alternative (Fredholm, I., 1866 “ 1927, Schwede) in unendlichdimensionalen R¨u- a
men ist von uberragender Bedeutung in der Theorie der linearen Integralgleichungen. Die lineare
¨
Abbildung kommt hier als kompakte Storung der Identitat daher. Der besondere Wert liegt darin,
¨ ¨
daß aus der Injektivit¨t einer Abbildung (Eindeutigkeit) auf Surjektivit¨t (Existenz) geschlossen
a a
werden kann. Mit Integralgleichungen k¨nnen u.a. Randwertaufgaben ¨quivalent beschrieben wer-
o a
den.
Kapitel 5

Eigenwerte und Eigenvektoren

Wir studieren hier die linearen Teilraume eines Raumes X, auf denen eine lineare Abbil-
¨
dung L : X ’’ X besonders einfach operiert. Von besonderer Bedeutung ist dabei auch
der zugehorige Skalarkorper. Mit dem Skalarkorper C konnen alle wesentlichen Fragen
¨ ¨ ¨ ¨
abschließend diskutiert werden, am Ende des Kapitels diskutieren wir auch den Fall des
Skalark¨rpers IR . Stets setzen wir voraus, daß kein endlicher Skalark¨rper IK vorliegt.
o o
Dann k¨nnen PIK und IK [x] gleichberechtigt verwendet werden.
o


5.1 De¬nition
Vor einem hinfuhrenden Resultat noch eine Bezeichnung:
¨
Mit »1 , . . . , »n ∈ IK , IK Korper, setzen wir:
¨
« 
»1 0 · · · · 0
¬ ·
0 »2 0 · · ·
¬ ·
0
diag(»1 , . . . , »n ) := ¬ ·.
. .
¬ ·
. .
 
. .
· · · · · »n
0



Lemma 5.1
Sei X ein n“dimensionaler IK “Vektorraum und sei L : X ’’ X ein Endomor-
phismus. Sei A = (aij )i=1 (1 )n , j =1 (1 )n die Matrixdarstellung von L bzgl. der Basis
{x1 , . . . , xn} ‚ X. F¨r »1 , . . . , »n ∈ IK sind dann ¨quivalent:

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