<<

. 29
( 63 .)



>>

Eigenschaft, daß jedes Polynom mit Koe¬zienten in C in Linearfaktoren zerf¨llt, große
a
Bedeutung fur die Existenz von Eigenwerten besitzt.
¨
Die Tatsache, daß nicht immer eine Basis aus Eigenvektoren erreicht werden kann, selbst
im Fall des Skalark¨rpers C , erkennt man sehr schnell an folgendem
o

Beispiel 5.10
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 117


Betrachte auf C 2,1 die lineare Abbildung, die durch die Matrix

01
∈ C 2,2
A :=
00

vermittelt wird. Sie hat nur den Eigenwert » = 0 und die zugeh¨rigen Eigenvektoren
o
spannen einen eindimensionalen Vektorraum auf, n¨mlich E := L({e1}). Wir beobachten
a
aber, daß fur e2 gilt:
¨
(A ’ » id)2 (e2) = θ .
2
e2 ist Eigenwert in einem weiteren Sinne und e1, e2 stellt eine Basis von IK 2 dar.


De¬nition 5.11
Sei X ein IK “Vektorraum, sei L : X ’’ X ein Endomorphismus und sei » ∈ IK
ein Eigenwert von L. Ein Vektor x ∈ X\{θ} heißt verallgemeinerter Eigenvek-
tor zum Eigenwert », falls es ein k ∈ IN gibt mit

(L ’ » idX )k (x) = θ.

Wir setzen H(») := L({x ∈ X|x verallgemeinerter Eigenvektor zu »}) und nennen
H(») den zu » gehorenden verallgemeinerten Eigenraum oder Hauptraum.
¨
2

Lemma 5.12
Sei X ein n “ endlichdimensionaler IK “Vektorraum, L : X ’’ X Endomorphis-
mus und sei » ∈ IK ein Eigenwert von L. Dann gilt:

(a) H(») = Kern(L ’ » idX )n .

(b) L(H(»)) ‚ H(»), d.h. H(») ist invariant unter L.
Beweis:
Zu (a).
O¬enbar ist Kern(L ’ » idX )n ‚ H(»).
Sei x ein verallgemeinerter Eigenvektor. Nach De¬nition gibt es k ∈ IN mit

(L ’ » idX )k (x) = θ.

Sei k ∈ IN mit dieser Eigenschaft schon miminal gewahlt, d.h.
¨

(L ’ » idX )j (x) = θ, 0 ¤ j ¤ k ’ 1.

Sind
x, (L ’ » idX )(x), . . . , (L ’ » idX )k’1 (x)
linear unabhangig, dann ist k ¤ n und x ∈ Kern(L ’ » idX )n ist gezeigt, da nun
¨

x ∈ Kern(L ’ » idX )k ‚ Kern(L ’ » idX )n
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 118


ist.
Wir zeigen die lineare Unabhangigkeit von
¨
x, (L ’ » idX )(x), . . . , (L ’ » idX )k’1 (x).
Sei
k’1
ai (L ’ » idX )i (x) = θ
i=0

mit a0 , . . . , ak’1 ∈ IK . Wenn wir (L ’ » idX )k’1 auf jede Seite der obigen Identit¨t an-
a
wenden, erhalten wir
a0 (L ’ » idX )k’1 (x) = θ,
also a0 = 0. Anwendung von (L ’ » idX )k’2 auf beiden Seiten fuhrt auf a1 = 0. So
¨
fortfahrend, erhalten wir insgesamt a0 = · · · = ak’1 = 0.
Da Kern(L’» idX )n ein linearer Teilraum von X ist, folgt aus der eben gezeigten Tatsache,
daß jeder verallgemeinerte Eigenvektor in Kern(L ’ » idX )n liegt, schließlich H(») ‚
Kern(L ’ » idX )n .
Zu (b).
Folgt aus (a), da L —¦ (L ’ » idX ) = (L ’ » idX ) —¦ L ist.

Wir erweitern nun die Aussage von Lemma 5.7.

Lemma 5.13
Sei X IK “ Vektorraum und sei L : X ’’ X ein Endomorphismus. Sind
x1 , . . . , xr ∈ X verallgemeinerte Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigen-
werten »1 , . . . , »r ∈ IK , so sind x1 , . . . , xr linear unabh¨ngig.
a
Beweis:
Vollst¨ndige Induktion nach r. Ist r = 1, so ist x1 linear unabh¨ngig, da x1 = θ ist.
a a
Sei die Behauptung nun fur r ’ 1 richtig. Sei
¨
r
aixi = θ.
i=1

Sei k ∈ IN minimal so gewahlt, daß (L ’ »1 idX )k (x1) = θ ist. Wende
¨
(L ’ »1 idX )k’1 —¦ (L ’ »2 idX )n —¦ · · · —¦ (L ’ »r idX )n
auf die obige Identitat an. Dies ergibt mit Lemma 5.12
¨
a1(L ’ »1 idX )k’1 —¦ (L ’ »2 idX )n —¦ · · · —¦ (L ’ »n idX )n (x1) = θ. (5.3)
Wenn wir
(L ’ »2 idX )n —¦ · · · —¦ (L ’ »r idX )n
als
((L ’ »1 idX ) + (»1 ’ »2 ) idX )n —¦ · · · —¦ ((L ’ »1 idX ) + (»1 ’ »2 ) idX )n
schreiben und jede Potenz nach dem Binomialsatz ausmultiplizieren“, bleibt in (5.3)

lediglich der Term
a1(»1 ’ »2 )n · · · (»1 ’ »r )n (L ’ »1 idX )k’1 (x1) = θ
ubrig. Also ist a1 = 0. Mit der Induktionsvoraussetzung folgt a2 = · · · = ar = 0.
¨
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 119


5.2 Das Minimalpolynom
Zunachst eine Verabredung.
¨
Sei X ein IK “ Vektorraum und sei L ∈ Hom IK (X, X). Dann ist zu jedem Polynom
n
aixi ∈ IK [x] eine lineare Abbildung pL : X ’’ X erkl¨rt durch
p= a
i=0

n
aiLi (x) , x ∈ X .
pL (x) :=
i=0

Wir schreiben dafur kurz p(L) , d.h. p(L)(·) := pL (·) . (Wir haben hier den Standpunkt
¨
“Polynomfunktion“ eingenommen.)


Lemma 5.14
Sei X ein endlichdimensionaler IK “ Vektorraum und sei L : X ’’ X ein
Endomorphismus.
Dann gibt es eindeutig bestimmte Zahlen k ∈ IN , a0, . . . , ak’1 ∈ IK mit

a0 idX + a1 L + · · · + ak’1 Lk’1 + Lk = ˜ ,

q(L) = ˜ fur alle Polynome q ∈ IK [x]\{θ} mit deg(q) < k .
¨
Beweis:
Sei dimIK X = n.
Der IK “ Vektorraum HomIK (X, X) hat die Dimension n2 . Also sind
2
idX , L, . . . , Ln

linear abhangig in HomIK (X, X). Daher gibt es eine kleinste Zahl k ∈ IN derart, daß
¨

idX , L, . . . , Lk

linear abhangig sind. Dann gibt es aber Zahlen a0, a1 , . . . , ak’1 ∈ IK mit
¨

a0 idX + a1 L + · · · + ak’1 Lk’1 + Lk = θ

(ak = 1 kann O.E. angenommen werden, da wir k minimal gew¨hlt haben).
a
Da k ∈ IN minimal gew¨hlt ist in obigem Sinne, ist auch die zweite Eigenschaft erfullt.
a ¨
Der Grad k ist damit eindeutig bestimmt. Auch a0 , . . . , ak’1 sind eindeutig bestimmt,
denn:
Es gelte auch b0 idX + b1L + · · · + bk’1 Lk’1 + Lk = ˜ . Dann gilt auch

(b0 ’ a0 ) idX + (b1 ’ a1)L + · · · + (bk’1 ’ ak’1 )Lk’1 = ˜ .

Da k in obigem Sinne minimal gew¨hlt ist, muß b0 ’ a0 = · · · = bk’1 ’ ak’1 = 0 gelten.
a
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 120


De¬nition 5.15
Sei X ein endlichdimensionaler IK “ Vektorraum und sei L : X ’’ X ein
Endomorphismus. Das nach Lemma 5.14 eindeutig bestimmte Polynom
k’1 k’1
alx ∈ IK [x]
k l k
alLl = ˜
x+ mit L+
l=0 l=0

heißt das Minimalpolynom von L; wir schreiben dafur µL .
2
¨



Satz 5.16
Sei X ein endlichdimensionaler IK “ Vektorraum und sei L : X ’’ X ein
Endomorphismus mit Minimalpolynom µL . Aquivalent f¨r » ∈ IK sind:
¨ u

(a) » ist Eigenwert von L.

(b) » ist Nullstelle von µL , d.h. µL (») = 0.
Beweis:
Zu (a) =’ (b).
Sei » Eigenwert von L mit Eigenvektor x. Dann gilt θ = µL (L)(x) = µL (»)x, und da
x = θ ist, haben wir µL (») = 0.
Zu (b) =’ (a).
Sei » ∈ IK mit µL (») = 0. Division mit Rest zeigt µL (z) = (z ’ »)q(z) mit einem Polynom
q mit deg(q) < deg(µL ). Wegen θ = µL (L) = (L ’ » idX ) —¦ q(L) folgt q(L) = θ, da sonst
µL nicht Minimalpolynom w¨re. Also gibt es x ∈ X mit x := q(L)(x ) = θ. Daraus folgt
a

θ = (L ’ » idX )q(L)(x ) = (L ’ » idX )x .

Also ist x ein Eigenvektor zu ».


Beispiel 5.17
Betrachte auf C 2,1 die lineare Abbildung L, die durch die Matrix

21
∈ C 2,2
A :=
01

vermittelt wird. Sie hat die Eigenwerte » = 2, » = 1 . Mit Lemma 5.16 schließt man
daraus, daß fur das Minimalpolynom µL von L gilt:
¨

µL (z) = (z ’ 2)(z ’ 1) q(z) mit einem Polynom q .

2
Man stellt fest, daß (A ’ 2E)(A ’ E) = ˜ gilt. Also ist q(z) = 1 .

Wir haben schon gesehen, daß die Eigenschaft, daß Eigenwerte im “gew¨hlten“ Skalar-
a
k¨rper existieren, wesentlich bei der Frage der Diagonalisierbarkeit ist. Hier ist die ent-
o
sprechende Begri¬sbildung.
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 121


De¬nition 5.18
Sei X ein endlichdimensionaler IK “ Vektorraum, sei L : X ’’ X ein Endo-
morphismus. L heißt split uber IK genau dann, wenn das Minimalpolynom µL
¨
von L ¨ber IK in Linearfaktoren zerf¨llt, d.h. wenn es »1 , . . . , »r ∈ IK gibt mit
u a
µL (z) = (z ’ »1 ) · · · (z ’ »r ) , z ∈ IK .
2

Wir wissen auf Grund des Fundamentalsatzes der Algebra, daß jeder Endomorphismus
uber C split ist.
¨

Die Frage, ob ein Endomorphismus split uber IK ist, kann auch dahingehend abgewandelt werden,
¨
ob es zu einem Polynom p ∈ IK [x] stets einen K¨rper IK derart gibt, daß das gegebene Polynom
o
uber diesem K¨rper in Linearfaktoren zerf¨llt. Dies kann positiv beantwortet werden. Der “kleinste“
o a
¨

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