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( 63 .)



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(b) A = B : ⇐’ (A ‚ B , B ‚ A) (Gleichheit)

(c) A © B := {x|x ∈ A und x ∈ B} := {x|x ∈ A, x ∈ B} (Durchschnitt)

(d) A ∪ B := {x|x ∈ A oder x ∈ B} (Vereinigung)
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Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 4


Das Symbol “ :=“ haben wir als de¬nierendes Gleichsetzen von Mengen eingefuhrt.
¨

Die Nutzlichkeit der leeren Menge … wird deutlich bei der De¬nition des Durchschnitts.
¨
Hier ist ja der Fall, daß A © B kein Element enth¨lt, sicherlich nicht auszuschließen.
a

Nun ist es nutzlich, einige abkurzende Rechenregeln zur Hand zu haben.
¨ ¨

Rechenregeln: Seien A, B, C Mengen.

(R1) A ‚ B, B ‚ C =’ A ‚ C (Transitivitat)
¨
(R2) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (Assoziativgesetz)

(R3) A © (B © C) = (A © B) © C (Assoziativgesetz)

(R4) A ∪ B = B ∪ A (Kommutativgesetz)

(R5) A © B = B © A (Kommutativgesetz)

(R6) A © (B ∪ C) = (A © B) ∪ (A © C) (Distributivgesetz)

(R7) A ∪ (B © C) = (A ∪ B) © (A ∪ C) (Distributivgesetz)

Beweis von (R6):
Wir haben zu zeigen: A © (B ∪ C) ‚ (A © B) ∪ (A © C), (A © B) ∪ (A © C) ‚ A © (B ∪ C) .
Sei x ∈ A © (B ∪ C). Dann gilt: x ∈ A, x ∈ B ∪ C . Daraus folgt: x ∈ A © B oder x ∈ A © C,
je nachdem, ob x ∈ B und/oder x ∈ C. Daraus schließen wir: x ∈ (A © B) ‚ (A © C).
Fur den Beweis der anderen Inklusion lese man die eben vorgefuhrten Beweisschritte
¨ ¨
ruckw¨rts.
a
¨

Ein wichtiges Konstruktionsverfahren f ur Mengen ist die Produktbildung:
¨

De¬nition 1.2
Seien A, B Mengen.

(a) Sind a ∈ A, b ∈ B, so heißt (a, b) das zugeordnete geordnete Paar (bezogen
auf die Reihenfolge “zuerst A, dann B“).

(b) Zwei Paare (a, b), (a , b ) mit a, a ∈ A, b, b ∈ B, heißen gleich genau dann,
wenn a = a , b = b .

(c) Die Menge A — B := {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B} heißt das kartesische Produkt
von A, B.
2

Wir haben folgende Rechenregeln: Seien A, B, C Mengen:
(R8) A — (B ∪ C) = (A — B) ∪ (A — C) .

(R9) A — (B © C) = (A — B) © (A — C) .
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Als Kurznotation verwenden wir (A Menge):

A1 := A , An+1 := A — An , n ∈ IN .

Hierbei haben wir die induktive De¬nition verwendet:

Induktiver Beginn: A1 := A .
Induktiver Schluß: (An de¬niert =’ An+1 := A — An ist de¬niert)

Diese Art zu de¬nieren basiert auf der vollstandigen Induktion, die wir hier ohne
¨
weitere Erl¨uterung anfuhren, eine intensive Besch¨ftigung damit ¬ndet in der Analysis
a a
¨
statt:

Eine Aussage A(n) ist fur alle n ∈ IN wahr, wenn gilt:
¨
• A(1) ist wahr ; (Induktionsbeginn)
• Fur alle k ∈ IN gilt:
¨
Ist A(k) wahr, dann ist A(k + 1) wahr. (Induktionsschluß)


Beispiel 1.3
Beweise, daß fur jede naturliche Zahl n gilt:
¨ ¨

(n + 3)2 > 3(n + 3) + n

Wir betrachten dazu die Aussage

A(n) : (n + 3)2 > 3(n + 3) + n

und beweisen die Gultigkeit der Aussage fur jedes n ∈ IN nach dem Induktionsprinzip.
¨ ¨
2
Induktionsbeginn: A(1) ist wahr, da 4 > 12 + 1 ist.
Induktionsschluß: Sei A(n) wahr.

((n + 1) + 3)2 = ((n + 3) + 1)2
(n + 3)2 + 2(n + 3) + 1
=
> 3(n + 3) + n + 2(n + 3) + 1
> 3(n + 3) + n + 1 + 3
= 3(n + 4) + n + 1

Also folgt aus der Gultigkeit der Aussage A(n) die Gultigkeit der Aussage A(n + 1).
¨ ¨
Die Aussage A(n) ist nach dem Induktionsprinzip nun fur alle n ∈ IN bewiesen.
¨
Man sieht, daß die Ungleichung

(n + 3)2 > 3(n + 3) + n , n ∈ IN ,

direkt auch ohne den Ruckgri¬ auf das Induktionsprinzip bewiesen werden kann!
¨
Die Aufgabe kann o¬enbar auch so formuliert werden: Beweise

A (n) : n2 > 3n + n ’ 3 , n ∈ IN , n > 3 .
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Der Induktionsbeginn sieht dann so aus:
2
A (4) ist richtig, da 42 > 12 + 1 ist.

Als weiteres Beispiel fur die induktive De¬nition fuhren wir die De¬nition des Summen-
¨ ¨
zeichens an. Wir setzen:
n n+1 n
ai , fur n ≥ 1 ;
ai := a1 , fur n = 1 , ai := an+1 +
¨ ¨
i=1 i=1 i=1

dabei sind etwa a1, . . . , an+1 ∈ IR .

Damit sind nun die Mengen
IN n , Z n , Q n , n ∈ IN ,
Z
erkl¨rt. Ebenso etwa
a
N49 := {1, . . . , 49} , N49 := (N49)6 ,
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NLotto := {x = (x1, . . . , x6) ∈ N49|x1 , . . . , x6 paarweise verschieden}.
6



Ist A eine Menge und x ∈ An , n ∈ IN , so gibt es x1 , . . . , xn ∈ A mit x = (x1, . . . , x2). Dies
ist die Schreibweise als n-Tupel der Elemente in An . Dabei haben wir die Schreibweise
schon naheliegend verkurzt; wir haben ja zun¨chst nur zweistellige Paarklammern (·, ·)
a
¨
de¬niert.


De¬nition 1.4
Sei A eine Menge. Die Potenzmenge von A ist die Menge der Teilmengen von A
einschließlich der leeren Menge:

P(A) := {B|B ‚ A} .
2

Mitunter benotigen wir
¨


De¬nition 1.5
|
Sei X eine Menge und seien A, B Teilmengen von X. Dann heißt die Menge CA :=
|
{x ∈ X|x ∈ A} das Komplement von A in X und A\B := {x ∈ A|x ∈ B} die
/ /
Di¬erenzmenge von A, B .
2


1.3 Abbildungen
Mit Abbildungen drucken wir den mathematischen Sachverhalt aus, daß es zwischen zwei
¨
Objekten eine klar de¬nierte Abbh¨ngigkeit gibt. Wiederum behandeln wir den Begri¬
a
auf der Ebene einer naiven Au¬assung, auf der Ebene einer fundierten Mengenlehre l¨ßt
a
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 7


sich der Begri¬ der Abbildung ebenso wie der Umgang mit Mengen auf eine sicherere
Basis stellen.


De¬nition 1.6
Seien A, B, C, D Mengen.

(a) Eine Abbildung f von A nach B ist eine Vorschrift, durch die jedem a ∈ A
genau ein f(a) ∈ B zugeordnet wird; A heißt De¬nitionsbereich, B heißt
Wertebereich von f.

(b) Zwei Abbildungen f : A ’’ B, g : C ’’ D heißen gleich, wenn

A = C, B = D, f(x) = g(x) fur alle x ∈ A
¨

gilt.
2

Sei f eine Abbildung von A nach B. Wir schreiben dafur
¨

f : A ’’ B , x ’’ f(x)

oder
x ’’ f(x) ∈ B
f :A
oder kurz
f : A ’’ B .
(Wir verwenden meist fur Abbildungen zwischen Mengen von Zahlen das Wort “Funk-
¨
tion“. Dahinter steckt kein Tiefsinn.)


De¬nition 1.7
Sei f : A ’’ B eine Abbildung. Die Menge

graph(f) := {(a, b) ∈ A — B|a ∈ A, b = f(a)}

heißt der Graph von f.
2

Satz 1.8
Seien A, B Mengen und sei G ‚ A — B. Dann sind folgende Aussagen ¨quivalent:
a

(i) Es gibt eine Abbildung f : A ’’ B mit graph(f) = G.

(ii) Zu jedem a ∈ A gibt es genau ein b ∈ B mit (a, b) ∈ G.
Beweis:
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Dies ist eine triviale1Umformulierung der De¬nitionen 1.6 und 1.7.

Wir fuhren noch Quantoren ein. Damit k¨nnen wir dann viele Resultate und De¬nitionen
o
¨
noch kompakter hinschreiben.

Notation Sprechweise
∀a ∈ A “fur alle Elemente a in A“
¨
∃a ∈ A “es existiert a in A“
∃1 a ∈ A “es existiert genau ein a in A“
∀a (P ) “fur alle Elemente a in A ist P wahr“
¨
∀a (P ) “fur alle Elemente a in A gilt P“
¨

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