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. 30
( 63 .)



>>

K¨rper, der dies leistet, heißt Zerf¨llungsk¨rper. Die damit zusammenh¨ngenden Fragen munden
o a o a ¨
ein in die Theorie der endlichen K¨rpererweiterungen, die von E. Galois (E. Galois, 1811 “ 1832)
o
in seiner aufregenden Theorie erfaßt wurde.



Lemma 5.19
Sei X endlichdimensionaler IK “ Vektorraum und sei der Endomorphismus L :
X ’’ X split ¨ber IK . Sei » ∈ IK ein Eigenwert von L . Dann gilt:
u

(a) X = Kern(L ’ » idX )n • Bild (L ’ » idX )n = H(») • Bild (L ’ » idX )n .

(b) Ist L split ¨ber IK , dann ist auch
u

L : X := Bild(L ’ » idX )n x ’’ L(x) ∈ X

split ¨ber IK .
u
Beweis:
Zu (a).
Sei x ∈ Kern(L ’ » idX )n © Bild (L ’ » idX )n. Dann ist (L ’ » idX )n (x) = θ und es gibt
y ∈ X mit (L ’ » idX )n (y) = x. Daraus folgt (L ’ » idX )2n (y) = θ. Aus Lemma 5.12 folgt
(L ’ » idX )n (y) = θ, also x = θ.
Dies zeigt Kern(L ’ » idX )n © Bild (L ’ » idX )n = θ. Aus der Dimensionsformel 4.39 folgt

X = Kern(L ’ » idX )n • Bild (L ’ » idX )n .

Beachte noch Kern(L ’ » idX )n = H(») (siehe Lemma 5.12).
Zu (b).
Ist deg(µL ) ≥ deg(µL ), dann ist µL = µL auf Grund der De¬nition von µL .
Ist deg(µL ) < deg(µL ), dann erhalten wir mit Division mit Rest

µL = µL f + r

mit Polynomen f, r, wobei deg(r) < deg(µL ) ist. Aus

˜ = µL (L ) = µL (L )f(L ) + r(L ) = r(L )
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 122


folgt r(L ) = ˜ und wegen deg(r) < deg(µL ) schließlich r = θ. Also ist µL ein Teiler von
µL und L ist split uber IK .
¨


Lemma 5.20
Sei X endlichdimensionaler IK “ Vektorraum und sei der Endomorphismus L :
X ’’ X split uber IK . Dann gilt:
¨

X = L({H(»)|» Eigenwert von L})
Beweis:
Sei n := dimIK X. Der Beweis erfolgt mittels Induktion nach n.
Der Induktionsbeginn n = 1 ist trivial.
Sei n > 1. Sei » ein Eigenwert von L. Ein Eigenwert existiert, da das Minimalpolynom
uber IK in Linearfaktoren zerf¨llt. Betrachte
a
¨

L : X := Bild(L ’ » idX )n x ’’ L(x) ∈ X .
Jeder verallgemeinerte Eigenvektor von L ist auch ein verallgemeinerter Eigenvektor von
L und L ist split uber IK nach Lemma 5.19. Nach Induktionsvoraussetzung gilt
¨

X = L({H(» )|» Eigenwert von L }).

Da jeder Vektor in Kern (L ’ » idX )n ein verallgemeinerter Eigenvektor von L ist, ist der
Induktionsschluß abgeschlossen.

Nun setzen wir die bisherigen Ergebnisse zu einem ersten Hauptergebnis zusammen. O¬en
bleibt noch die Konstruktion des Minimalpolynoms.


Satz 5.21
Sei X ein endlichdimensionaler IK “ Vektorraum und sei der Endomorphismus
L : X ’’ X split ¨ber IK . Seien »1 , . . . , »r ∈ IK die paarweise verschiedenen
u
Eigenwerte von L und seien H(»1 ), . . . , H(»r ) die zugeh¨rigen verallgemeinerten
o
Eigenr¨ume. Dann gilt:
a

(a) X = H(»1 ) • · · · • H(»r ).

(b) L(H(»j )) ‚ H(»j ); 1 ¤ j ¤ r.
k
(c) (L ’ »j idX )|H(»j) = θ fur ein kj ∈ IN ; 1 ¤ j ¤ r.
j
¨

(d) L|H(»j ) hat den einzigen Eigenwert »j ; 1 ¤ j ¤ r.
Beweis:
Zu (a) :
Folgt aus Lemma 5.13 und Lemma 5.20.
Zu (b) :
Schon in Lemma 5.12 gezeigt.
Zu (c) :
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 123


Folgt aus der De¬nition von verallgemeinerten Eigenvektoren und aus Lemma 5.12.
Zu (d) :
Sei » ein Eigenwert von L := L|X , X := H(»j ).
Sei x ∈ H(»j ). Dann gilt

(L ’ »j idX )(x) = (L ’ »j idX )(x) = (» ’ »j )x

und
(L ’ »j idX )k (x) = (L ’ »j idX )k (x) = (» ’ »j )k x
fur jedes k ∈ IN . Da x ein verallgemeinerter Eigenvektor von L zum Eigenwert »j ist,
¨
gibt es kj ∈ IN mit (L ’ »j idX )kj (x) = θ. Also (» ’ »j )kj x = θ, d.h. » = »j .


Beispiel 5.22
Sei « 
’2 1 1
¬
1 · ∈ IR 3,3 .
A :=  1 ’2 
1 ’2
1
In der Standardbasis von IR3,1 ist bekanntlich A die Matrixdarstellung des Endomorphis-
mus L : IR 3,1 x ’’ Ax ∈ IR 3,1 .
Sicherlich sind A0 und A1 linear unabh¨ngig in IR3,3 . Weiter ist
a
« 
6 ’3 ’3
¬
6 ’3 · .
A :=  ’3
2

’3 ’3 6

Somit gilt A2 = ’3A. Also ist das Minimalpolynom µA von A, genauer von L, gegeben
durch µA(z) := z 2 + 3z = (z + 3)z , z ∈ IR . Als Eigenwerte lesen wir ab: »1 = 0, »2 = ’3 .
Der Hauptraum H(»1 ) wird erzeugt durch den Eigenvektor
« 
1
x := ¬ 1 · .
1
 
1

Der Hauptraum H(»2 ) wird erzeugt durch die Eigenvektoren
«  « 
0 1
x :=  1  , x :=  0 · .
¬ · ¬
2 3

’1 ’1

2
Als Konsequenz wissen wir, daß A auf dieser Basis sehr einfach operiert.
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Satz 5.23
Sei X ein endlichdimensionaler IK “ Vektorraum und sei der Endomorphismus
L : X ’’ X split ¨ber IK . Seien »1 , . . . , »r ∈ IK die paarweise verschiede-
u
nen Eigenwerte von L, seien H(»1 ), . . . , H(»r ) die zugeh¨rigen verallgemeinerten
o
Eigenr¨ume und seien ±1 , . . . , ±r ∈ IN die kleinsten Zahlen mit
a

(L ’ »j idX )±j (v) = θ fur alle v ∈ H(»j ), 1 ¤ j ¤ r.
¨

Sei das Polynom p erklart als
¨
r
(z ’ »j )±j , z ∈ IK .
p(z) :=
j=1

Dann gilt:

(a) Der Grad von p ist hochstens gleich der Dimension von X.
¨

(b) p ist das Minimalpolynom µL von L.

(c) Ist q ein Polynom mit q(L) = ˜, dann ist µL ein Teiler von q.
Beweis:
Zu (a) :
Sei 1 ¤ j ¤ r. Wende (a) aus Lemma 5.12 auf X := H(»j ), L := L|X unter Beachtung
von (b) aus Lemma 5.12 an. Dann ist H(»j ) = Kern(L ’ »j idX )n mit n = dim H(»j ).
Also ist ±j ¤ n = dim H(»j ).
r
Nach Satz 5.21 gilt X = H(»1 ) • · · · • H(»r ), also ±j ¤ dimIK X.
j=1
Als Vorbereitung zu (b) und (c) zeigen wir:
Ist q = θ ein Polynom, das uber IK in Linearfaktoren zerf¨llt, mit q(L) = ˜, dann ist p
a
¨
ein Teiler von q.
Sei also q = θ ein Polynom mit q(L) = ˜, das uber IK in Linearfaktoren zerf¨llt. Es a
¨
genugt zu zeigen, daß fur jedes j ∈ {1, . . . , r} das Polynom (z ’ »j ) ein Teiler von q ist.
±j
¨ ¨
Sei j ∈ {1, . . . , r}. Da q uber IK in Linearfaktoren zerf¨llt, l¨ßt sich q so schreiben:
a a
¨
m
(z ’ ξl )γl (z ’ »j )γ , z ∈ IK ;
q(t) = c
l=1

hierbei sind c, ξ1, . . . , ξm ∈ IK , γ1 , . . . , γm ∈ IN , γ ∈ IN 0, c = 0.
O.E k¨nnen wir ξ1 , . . . , ξm , »j als paarweise verschieden annehmen.
o
Sei v ∈ H(»j ). Dann ist nach Satz 5.21 (L ’ »j idX )γ (v) ∈ H(»j ) und wir haben
m
(L ’ ξl idX )γl (L ’ »j idX )γ (v) = q(L)(v) = θ .
c
l=1

Da m
(L ’ ξl idX )γl |H(»j )
c
l=1
injektiv ist, folgt (L ’ »j idX )γ (v) = θ. Da v ∈ H(»j ) beliebig war, gilt nach Konstruktion
von ±j nun ±j ¤ γ.
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 125


Zu (b) :
Da µL ein Polynom ist, das uber IK in Linearfaktoren zerf¨llt und fur das µL (L) = ˜
a
¨ ¨
¨
gilt, folgt aus der obigen Uberlegung, daß p ein Teiler von µL ist.
Sei j ∈ {1, . . . r}. Sei v ∈ H(»j ). Wir haben
r
(L ’ »l idX )±l (v) = (L ’ »l idX )±l (L ’ ±j idX )±j (v) = p(L)(v) = θ.
l=1 l=j


Wegen X = H(»1 ) • · · · • H(»r ) folgt damit p(L)(x) = θ fur alle x ∈ X, also p(L) = ˜.
¨
Da also p ein Teiler von µL ist, muß p das Minimalpolynom sein.
Zu (c) :
Ist deg(q) < deg(µL ), dann ist q = θ auf Grund der De¬nition von µL . Ist deg(q) ≥
deg(µL ), dann erhalten wir mit Division mit Rest

q = µL f + r

mit Polynomen f, r, wobei deg(r) < deg(µL ) ist. Aus

˜ = q(L) = µL (L)f(L) + r(L) = r(L)

folgt r(L) = ˜ und wegen deg(r) < deg(µL ) schließlich r = θ. Also ist µL ein Teiler von
q.


De¬nition 5.24
Sei X ein endlichdimensionaler IK “ Vektorraum und sei L : X ’’ X ein
Endomorphismus. Sei » ∈ IK ein Eigenwert mit zugeh¨rigem verallgemeinerten
o
Eigenraum H(»). Dann heißt β := dimIK H(») die Vielfachheit von ».
2

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