<<

. 31
( 63 .)



>>

Folgerung 5.25
Sei X ein endlichdimensionaler IK “ Vektorraum und sei der Endomorphismus
L : X ’’ X split uber IK . Sind »1 , . . . , »r ∈ IK die paarweise verschiedenen
¨
Eigenwerte mit zugeh¨rigen Vielfachheiten β1, . . . , βr , dann gilt:
o
r
βl = dimIK X
l=1

Beweis:
Folgt aus Satz 5.21.
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 126


De¬nition 5.26
Sei X ein endlichdimensionaler IK “ Vektorraum und sei der Endomorphismus
L : X ’’ X split uber IK . Sind »1 , . . . , »r ∈ IK die paarweise verschiedenen
¨
Eigenwerte von L mit zugeh¨rigen Vielfachheiten β1 , . . . , βr , dann heißt das Polynom
o
r
(z ’ »l )βl , z ∈ IK ,
χL (z) :=
l=1

das charakteristische Polynom von L.
2

Beispiel 5.27
Betrachte erneut « 
’2 1 1
¬
1 · ∈ IR 3,3
A :=  1 ’2 
1 ’2
1
(siehe Beispiel 5.22). Man liest aus der Tatsache, daß zum Eigenwert »2 = ’3 zwei linear
unabh¨ngige Eigenvektoren existieren, ab, daß ±2 = 1 und β2 = 1 ist. Also
a

»1 = 0, ±1 = β1 = 1, »2 = ’3, ±2 = 1, β2 = 2,

χA (z) = (z + 3)2 z, µA (z) = (z + 3)z.
2

Satz 5.28
Sei X ein endlichdimensionaler IK “ Vektorraum und sei der Endomorphismus
L : X ’’ X split ¨ber IK . Ist χL das charakteristische Polynom von L, so gilt
u
χL (L) = ˜.
Beweis:
Seien »1 , . . . , »r ∈ IK die (paarweise verschiedenen) Eigenwerte von L mit Vielfachheiten
β1, . . . , βr ∈ IN . Seien ferner ±1 , . . . , ±r ∈ IN die kleinsten Zahlen mit

(L ’ »j idX )±i |H(»i) = θ , 1 ¤ i ¤ r.

Aus Lemma 5.12 und Satz 5.21 wissen wir ±j ¤ βj , 1 ¤ j ¤ r. Also ist nach Satz 5.23 das
Minimalpolynom ein Teiler von χL und daher χL (L) = ˜.

Satz 5.28 geht auf A. Cayley zuruck; er bewies das Ergebnis nur fur n = 2 und n = 3. Die
¨ ¨
Verallgemeinerung “ der Skalark¨rper ist dann beliebig “ wird als Satz von Cayley “ Hamilton
o
bezeichnet.

Der obige Satz wird als Satz von Cayley “ Hamilton bezeichnet. Im Kapitel uber ¨
Determinanten kommen wir darauf zuruck, auch von der Anwendungsseite her. Dort ha-
¨
ben wir dann auch ein Hilfsmittel bereit, das es erlaubt, das charakteristische Polynom
“einfach“ zu ¬nden.
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 127


Wir fassen die bisherigen Ergebnisse zusammen:




Voraussetzungen und Bezeichnungen:

• X ein IK “ Vektorraum, dimIK X < ∞ .

• L : X ’’ X Endomorphismus, L split uber IK .
¨

• »1 , . . . , »r ∈ IK paarweise verschiedene Eigenwerte von L.

• β1, . . . , βr Vielfachheiten der Eigenwerte: βi := dimIK H(»i ) , 1 ¤ i ¤ r.

• ±1, . . . , ±r wie in Satz 5.23: H(»i ) = Kern((L ’ »i idX )±i ) , 1 ¤ i ¤ r.

Ergebnisse:

• X = H(»1 ) • · · · • H(»r ).

• (L ’ »i idX )±i |H(»i) = ˜ , 1 ¤ i ¤ r.
r
• µL (z) = (z ’ »i )±i , z ∈ IK . Minimalpolynom von L.
i=1

r
• χL (z) = (z ’ »i )βi , z ∈ IK . Charakteristisches Polynom von L.
i=1

• µL (L) = χL (L) = ˜.




Das zweite Ergebnis (L ’ »i idX )±i |H(»i) = ˜ gibt Anlaß zu


De¬nition 5.29
Sei X ein IK “ Vektorraum und L ∈ Hom IK (X, X). Dann heißt L nilpotent, falls
es k ∈ IN gibt mit Lk = ˜.
2

Folgerung 5.30
Sei X ein endlichdimensionaler IK “ Vektorraum und sei der Endomorphismus
L : X ’’ X split ¨ber IK . Ist » = 0 der einzige Eigenwert von L, so ist L
u
nilpotent.
Beweis:
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 128


Sei n := dimIK X. Nach Lemma 5.20 ist jedes x ∈ X ein verallgemeinerter Eigenvektor
zum Eigenwert » = 0, also X ‚ Kern(Ln ) nach Lemma 5.12.

Wir haben in Abschnitt 2.3 Matrizen von oberer Dreiecksgestalt kennengelernt. Wir
versch¨rfen zu
a


De¬nition 5.31
Eine Matrix A ∈ IK n,n von oberer Dreiecksgestalt heißt von strikter oberer Drei-
ecksgestalt, falls die Elemente in der Diagonalen von A verschwinden.
2

Lemma 5.32
Sei X ein endlichdimensionaler IK “ Vektorraum und sei L ∈ Hom IK (X, X) nilpo-
tent. Dann besitzt X eine Basis, bez¨glich der L eine Matrixdarstellung von strikter
u
oberer Dreiecksgestalt besitzt.
Beweis:
W¨hle eine Basis von Kern(L) und erweitere diese Basis zu einer Basis von Kern(L2 ).
a
Fahre in dieser Weise fort. Da Lk = ˜ ist fur ein k ∈ N, erh¨lt man so eine Basis von X.
a
¨
Klar, bezuglich dieser Basis hat L eine Matrixdarstellung von oberer Dreiecksgestalt.
¨

Satz 5.33
Sei X ein endlichdimensionaler IK “ Vektorraum und sei der Endomorphismus
L : X ’’ X split ¨ber IK . Seien »1 , . . . , »r ∈ IK die paarweise verschiedenen
u
Eigenwerte von L. Dann besitzt X eine Basis bez¨glich der L eine Matrixdarstellung
u
A der Form
A = diag(D1 , . . . , Dr ), (5.4)
Di = »i E + Ni , Ni von strikter oberer Dreiecksgestalt, 1 ¤ i ¤ r, (5.5)
hat.
Beweis :
Dies folgt aus Satz 5.21 nach Lemma 5.32.


Bemerkung 5.34
Der obige Satz stellt eine Normalform eines Endomorphismus bereit: Jeder Endomor-
phismus kann trianguliert werden. Eine sch¨rfere Normalform stellt die Jordansche
a
Normalform dar. Sie besagt, daß jedes Ni in (5.5) in eine Form gebracht werden kann,
bei der h¨chstens in der oberen Nebendiagonalen Eintr¨ge von Null verschieden sind; falls
o a
sie von Null verschieden sind, sind es Einsen. Diese Normalform werden wir im folgenden
2
Abschnitt ableiten.

Liegt eine Matrixdarstellung A eines Endomorphismus L : X ’’ X in der Form (5.4),
(5.5) vor, dann liest man die Eigenwerte von L in der Diagonalen von A direkt ab.
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 129


5.3 Jordansche Normalform
Wir wollen nun eine Normalform beweisen, die die gewunschte Versch¨rfung der Trian-
a
¨
gulierung darstellt. Dazu zun¨chst eine
a

Bezeichnung: Sei IK ein Korper, sei σ ∈ IK . Eine Matrix
¨
« 
···
σ 1 0 0
¬ .·
...
¬ .·
0σ1 .
¬ ·
¬ ·
. .. .. ..
Jk (σ) := ¬ 0 · ∈ IK
k,k
. . . .
¬ ·
.
¬ ·
¬ ·
. .. ..
.
 1
. .
.
0 ··· ··· 0 σ

mit J1 (σ) := (σ) ∈ IK 1,1 wird als Jordanblock bezeichnet.

Eine Matrix J := diag(Jk1 , ..., Jkr ) ∈ IK n,n mit Jordanbl¨cken Jk1 , . . . , Jkr in der Diago-
o
nale wird Jordanmatrix genannt.

Die Jordansche Normalform stellt einen H¨hepunkt der Linearen Algebra dar. In seinen “Trait´
o e
des substitutions“ hat C. Jordan (1838 “ 1922) sich mit der Frage besch¨ftigt, wann zwei Matrizen
a
mit Eintr¨gen aus Z p kommutieren. Dazu fuhrte er eine Normalform von Matrizen ein. Sp¨ter
a Z a
¨
ubertrug er die Methode auf C und wendete die Normalform bei linearen Di¬erentialgleichungen
¨
an. (Wir werden dies spater auch tun.)
¨



De¬nition 5.35
Sei A ∈ IK n,n . A heißt split ¨ber IK , wenn der Endomorphismus
u

x ’’ A x ∈ IK n,1 =: Y
TA : X := IK n,1

split ¨ber IK ist. Statt µTA schreiben wir kurz µA und nennen µA das Minimalpo-
u
lynom von A.
2

Der folgende Satz stellt die Jordansche Normalform bereit:


Satz 5.36
Sei A ∈ IK n,n split ¨ber IK , dann gibt es eine nichtsingul¨re Matrix P ∈ IK n,n , so
u a
’1
daß J := P AP eine Jordanmatrix ist.
Beweis:
Der Satz ist o¬enbar bewiesen, wenn wir in IK n,1 eine Basis ¬nden k¨nnen, so daß die
o
lineare Abbildung
TA : X := IK n,1 z ’’ A z ∈ IK n,1 =: Y
von der wir wissen, daß sie split uber IK ist, bzgl. dieser Basis (in X und Y ) eine Jor-
¨
danmatrix als darstellende Matrix besitzt. Wir beweisen die Existenz einer solchen Basis
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 130


“ wir nennen sie Jordanbasis “ mit vollst¨ndiger Induktion nach n.
a

<<

. 31
( 63 .)



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