<<

. 32
( 63 .)



>>

Der Fall n = 1 ist trivial. Der Induktionsschluß sieht so aus (n > 1):
Sei » ∈ IK ein Eigenwert von A; die Existenz ist klar, da TA split uber IK ist. Setze
¨
B := A ’ »E. Nun sieht man:

• B ist nicht injektiv, d.h. Kern(B) = {θ}, dim Bild (B) < n.

• Eine Jordanbasis zu B ist auch eine Jordanbasis zu B + »E, also zu A.

Betrachte die Kette
Bild (B 0) ⊃ Bild (B 1 ) ⊃ Bild (B 2) ⊃ . . .
Es gibt dann p ∈ IN mit

Bild (B p+1) = Bild (B p ) = Bild (B p’1 ).

Dann ist
Bild (B p) © Kern(B) = {θ} , Bild (B p’1 ) © Kern(B) = {θ}
“ dies sieht man an der Formel

dimIK Bild (B p) = dimIK Bild (Q) + dimIK Kern(Q) ,

wobei Q := B|Bild(B p) ist “ , also

B p (Bild (B p)) = Bild (B p ) .

Setze

Si := Bild (B i’1 ) © Kern(B) = {y = B i’1 z|z ∈ Kern(B i )}, i = 1, 2, . . . ,

und betrachte die Kette

Kern(B) = S1 ⊃ S2 ⊃ . . . ⊃ Sp ⊃ Sp+1 = {θ} ,


wobei Sp = {θ} gilt.
Starte mit einer Basis xp,1,1, . . . , xp,1,lp von Sp . Dazu gibt es xp,p,j mit B p’1 xp,p,j = xp,1,j ,
j = 1, . . . , lp . Damit setze xp,k,j := B p’k xp,p,j , j = 1, . . . , lp , k = 1, . . . , p ’ 1. Wir haben
nun
Bxp,k+1,j = xp,k,j , j = 1, . . . , lp , k = 1, . . . , p ’ 1 .
Setze βp := {xp,k,j |j = 1, . . . , lp , k = 1, . . . , p ’ 1}.
Erg¨nze {xp,1,1, . . . , xp,1,lp } zu einer Basis von Sp’1 durch {xp’1,1,1, . . . , xp’1,1,lp’1 }. Kon-
a
struiere dazu wie oben xp’1,p’1,1, . . . , xp’1,p’1,lp’1 mit

Bxp’1,k+1,j = xp’1,k,j , j = 1, . . . , lp’1 , k = 1, . . . , p ’ 2 .

Setze βp’1 := {xp’1,k,j |j = 1, . . . , lp’1 , k = 1, . . . , p ’ 2}.
So fortfahrend, haben wir nun βp , . . . , β1 gew¨hlt.a
Hier ist ein Diagramm dazu:
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 131


B p’1xp,p,j = xp,1,j

xp,p’1,j := Bxp,p,j B p’2xp’1,p’1,j = xp’1,1,j

xp,p’2,j := B 2xp,p,j xp’1,p’2,j := Bxp’1,p’1,j B p’3 xp’2,p’2,j = xp’2,1,j
. . .
. . .
. . .

xp,2,j := B p’2xp,p,j xp’1,2,j := B p’2 xp’1,p’1,j xp’2,2,j := B p’2xp’2,p’2,j

xp,1,j , 1 ¤ j ¤ lp xp’1,1,j , 1 ¤ j ¤ lp’1 xp’2,1,j , 1 ¤ j ¤ lp’2 . . . x1,1,j , 1 ¤ j ¤ l1

Sp Sp’1 Sp’2 ... S1

βp βp’1 βp’2 ... β1

Beachte, daß nach Konstruktion β := ∪p βi eine Teilmenge von Kern(B p ) ist.
i=1
Erg¨nze β durch eine Basis β0 := {x |j = 1, . . . , l0} von Bild (B p ). Damit haben wir
0,0,j
a
nun βp , . . . , β1, β0 gew¨hlt.
a
Wir haben
p p p p p
t
tlt = lt = lj = dim Sj .
t=1 t=1 j=1 j=1 t=j j=1

Nun gilt mit Folgerung 4.20

dim Sj = dim(Bild (B j’1 ) © Kern(B)) = dim Kern(B j ) ’ dim Kern(B j’1 ) , j = 1, . . . , p ,

also p
dim(Sj ) = dimIK Bild (B p) + dimIK Kern(B p ) = dimIK IK n,1 .
l0 +
j=1

Aus der Dimensionsformel 4.39 folgt, daß wir nun eine Basis von IK n,1 haben, wenn die
so gefundene Menge von Vektoren linear unabh¨ngig ist. Sei
a
p t lt
dt,i,j xt,i,j = θ
f+ (5.6)
t=1 i=1 j=1


mit f ∈ Bild (B p). Wende B p auf (5.6) an. Dann folgt B p(f) = θ aus der Konstruktion
von βp , . . . , β1. Da wegen B p(Bild (B p)) = Bild (B p)

B p|Bild(B p ) : Bild (B p ) ’’ Bild (B p) ,

surjektiv und damit auch injektiv ist, ist Kern(B p |Bild(B p) ) = {θ}. Also ist f = θ. Wende
nun sukzessvie B k , k = p ’ 1, . . . , 1 auf (5.6 ) an. Wir erhalten so, daß alle Koe¬zienten
dt,i,j der Linearkombination verschwinden. Damit ist die lineare Unabh¨ngigkeit gezeigt.
a
p+1 p
Betrachte nun G := B|Bild(B p) . Wegen Bild (B ) = Bild (B ) haben wir

G : Bild (B p) ’’ Bild (B p).
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 132


Da Bild (B p) ein echter Teilraum von IK n,1 ist, besitzt nach Induktionsannahme die Ab-
bildung
G : Bild (B p) ’’ Bild (B p )
eine Jordanbasis v 1 , . . . , v s . Diese Jordanbasis v 1, . . . , v s stellt nun zusammen mit den Vek-
toren aus βp, . . . , β1 eine Jordanbasis in X = IK n,1 dar, da IK n,1 = Bild (B p) • Kern(B p )
gilt; siehe Aussage uber G.
¨
Damit ist der Induktionsschluß abgeschlossen und der Beweis erbracht.

Bemerkung 5.37
Wir haben oben den “kurzen“ Beweis der Jordanschen Normalform nach H. V¨liaho1 wie-
a
dergegeben. Dies ist ein gewisser Endpunkt in einer Reihe von “elementaren“ Beweisen
zur Jordanschen Normalform.
Die Jordansche Normalform J einer Matrix A ∈ IK n,n ist bis auf die Reihenfolge der
2
Jordanbl¨cke in J eindeutig bestimmt. Wir verzichten auf den Beweis.
o


5.4 Komplexi¬zierung
Bisher haben wir an entscheidenden Stellen stets vorausgesetzt, daß die vorliegende Ab-
bildung split war; im Skalark¨rper C ist dies sichergestellt. Wir wollen nun einen “Trick“
o
beschreiben, der uns hilft, entsprechende Resultate auch fur den Skalark¨rper IR abzulei-
o
¨
ten.
Sei X ein Vektorraum uber dem Skalark¨rper IR. Wir de¬nieren einen Vektorraum X C
o
¨
uber dem Skalark¨rper C , der die Komplexi¬zierung von X genannt wird, durch
o
¨
X C := {x + iy|x, y ∈ X},

wobei Addition und skalare Multiplikation folgendermaßen erkl¨rt sind:
a

(x + iy) + (x + iy ) := (x + x ) + i(y + y ), x, y, x , y ∈ X,
(± + iβ)(x + iy) := (±x ’ βy) + i(±y + βx), ±, β ∈ IR, x, y ∈ X

(Eigentlich sollten wir XC zun¨chst als Tupelraum erkl¨ren wie dies auch bei der Einfuhrung
a a ¨
von C ausgehend von IR geschehen ist. Die Vorgehensweise ist uns aber schon vertraut.)
Wir “¬nden“ den Vektorraum X wieder als Teilraum

U := {x + iy|x ∈ X, y = θ}.

Ist nun {x1, . . . , xm } eine Basis des reellen Vektorraumes X, so ist o¬enbar {x1 , . . . , xm }
auch eine Basis des komplexen Vektorraums X C , d.h. dimIR X = dimC XC .

Seien X, Y Vektorr¨ume uber IR und seien XC , Y C die Komplexi¬zierungen. Ist dann
a ¨
L : X ’’ Y eine IR “ lineare Abbildung, dann wird durch

x + iy ’’ L(x) + iL(y) ∈ Y C
LC : XC
1
H. V¨liaho: An elementary approach to the Jordan form of a matrix, Amer. Math. Monthly 93 (1986),
a
711 “ 714
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 133


o¬enbar eine C “ lineare Abbildung de¬niert. W¨hlen wir eine Basis in X, Y und betrach-
a
ten wir diese Basen auch als Basen in XC , Y C (siehe oben), so stimmen die Matrixdar-
stellungen von L und der Komplexi¬zierung L C uberein.
¨

Sei X ein Vektorraum uber IR und sei L : X ’’ X eine IR “ lineare Abbildung mit
¨
Komplexi¬zierung L C : XC ’’ X C . Ist » ∈ IR ein Eigenwert von L C , dann ist » auch
ein Eigenwert von L, denn aus

L C (x + iy) = »(x + iy)

folgt
Lx = »x, Ly = »y.
Ist » = ± + iβ ∈ C ein Eigenwert von L C , dann ist auch » := ± ’ iβ ∈ C ein Eigenwert
von L C ; genauer gilt fur k ∈ IN
¨
(L C ’ » idX )k (x + iy) = θ

genau dann, wenn
(L C ’ » idX )k (x ’ iy) = θ
gilt.
Man beweist dies mit vollst¨ndiger Induktion. Ist also » ∈ C ein Eigenwert von L C mit
a
Vielfachheit β, so ist die Vielfachheit von » ∈ C auch β. Da die Summe der Vielfachheiten
der Eigenwerte von L C die Dimension von X C also, auch von X ergibt, besitzt L, falls
die Dimension von X ungerade ist, einen Eigenwert in IR.

Folgerung 5.38
Sei X ein IR “ Vektorraum und sei L : X ’’ X IR “ linear. Ist die Dimension
von X ungerade, dann besitzt L einen reellen Eigenwert.
Beweis:
Siehe obige Herleitung. .

Das Minimalpolynom und charakteristische Polynom von L sind de¬niert als Minimalpo-
lynom bzw. charakteristisches Polynom der Komplexi¬zierung L C von L. Beide Polynome
haben o¬enbar reelle Koe¬zienten. Da ein Polynom ungeraden Grades mit reellen Koef-
¬zienten stets eine reelle Nullstelle besitzt “ dies ist eine einfache Folgerung aus dem
Zwischenwertsatz fur stetige Funktionen “, folgt das Resultat aus Folgerung 5.38 erneut.
¨


5.5 Einfuhrung der Determinante
¨
Abschließend fuhren wir auf die n¨chsten Kapitel hin, in denen wir uns mit Determinan-
a
¨
ten in ihrer algebraischen Darstellung besch¨ftigen wollen.
a

Bezeichnung: Zu x = (x1 , . . . , xn ) ∈ C n setzen wir x := (¯1 . . . , xn ), wobei mit u die zu
¯ x ¯ ¯
u komplex konjugierte Zahl gemeint ist.
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 134


Aus dem Kapitel uber Euklidische Vektorr¨ume nehmen wir vorweg:
a
¨


De¬nition 5.39
(a) Die Abbildung

< ·, · > : C n — C n (x, y) ’’ xt y ∈ C
¯

heißt das euklidische Skalarprodukt auf C n .

(b) Zwei Vektoren x, y ∈ C n heißen orthogonal, falls < x, y > = 0 gilt.
2

Die Einschr¨nkung des euklidischen Skalarprodukts auf IRn — IR n bezeichnen wir als eu-
a
klidisches Skalarprodukt in IR n . Es ist damit klar, daß wir von Orthgogonalit¨t auch in
a
n
IR reden k¨nnen.
o

Betrachte nun den Fall, daß eine Matrix A ∈ IR n,n , aufgefaßt als lineare Abbildung

x ’’ Ax ∈ IR n ,
TA : IRn
nur reelle Eigenwerte {»1 , . . . , »n } besitzt und eine Basis von Eigenvektoren {x1, . . . , xn }
in IR n bestimmt. Sind diese Eigenvektoren paarweise orthogonal, dann ist das “Volumen“
des Quaders
n

<<

. 32
( 63 .)



>>