<<

. 33
( 63 .)



>>

Q := { aj xj |0 ¤ aj ¤ 1, 1 ¤ j ¤ n}
j=1

gleich
« 1/2
n
 (xj )t xj  ,
j=1

wahrend das Volumen des Bildes
¨
± 
 
n
aj L(xj )|0 ¤ aj ¤ 1, 1 ¤ j ¤ n
L(Q) := 
j=1


von Q unter L sich als
« 1/2
n
 »j (xj )t »j xj 
j=1
n
|»j |. Diese Beobachtung nehmen
ergibt. Also ist der “Streckungsfaktor“ das Produkt
j=1
wir zum Anlaß fur2
¨


2
Im Abschnitt 5.2 haben wir uns von dem Aufsatz “Down with determinants!“ von S. Axler aus
American Math. Monthly 1995 leiten lassen.
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 135


De¬nition 5.40
Sei X ein IK “ Vektorraum und sei der Endomorphismus L : X ’’ X split ¨ber u
IK . Seien »1 , . . . , »r ∈ IK die Eigenwerte von L mit Vielfachheiten β1 , . . . , βr . Dann
heißt
r
»βi
det(L) := i
i=1

2
die Determinante von L .



Folgerung 5.41
Sei X ein endlichdimensionaler IK “ Vektorraum und sei der Endomorphismus
L : X ’’ X split ¨ber IK . Dann sind ¨quivalent
u a

a) L ist injektiv.

b) L ist bijektiv.

c) det(L) = 0.
Beweis:
Zu a) ⇐’ b) : Siehe Folgerung 4.19
Zu a) ⇐’ c) : O¬ensichtlich.

Lemma 5.42
Sei X ein endlichdimensionaler IK “ Vektorraum und sei der Endomorphismus
L : X ’’ X split uber IK . Dann ist das charakteristische Polynom χL von L
¨
gegeben durch
χL (z) := det(z idX ’ L), z ∈ IK .
Beweis:
Seien »1 , . . . , »r ∈ IK die paarweise verschiedenen Eigenwerte von L mit Vielfachheiten
β1, . . . , βr . Also sind die Eigenwerte von z idX ’ L gegeben durch z ’ »1 , . . . , z ’ »r mit
Vielfachheiten β1 , . . . , βr . Also gilt
m
det(z idX ’ L) = (z ’ »j )βj .
j=1




Bemerkung 5.43
Wir wissen nun, daß sich die Eigenwerte einer Matrix A ∈ IK n,n aus der Polynomgleichung
det(z idX ’ A) = 0
berechnen lassen, vorausgesetzt, das Minimalpolynom ist split uber IK . Diese Gleichung
¨
entspricht der Gleichung, an die wir schon im Anschluß an die De¬nition der Eigenwerte
uber die Gaußsche Elimination herangefuhrt hatten. Im Kapitel uber Determinanten wer-
¨ ¨ ¨
den wir auf die “l¨stige“ Voraussetzung, daß A split uber IK ist, auf der Berechnungsseite
a ¨
2
verzichten k¨nnen.
o
Kapitel 6

Geometrie

Geometrie ist die mathematische Behandlung anschaulich motivierter Strukturen. Hier
¨
verscha¬en wir uns lediglich einen Uberblick uber verschiedene Auspragungen von Geo-
¨ ¨
metrie: Euklidische, a¬ne, projektive Geometrie.


6.1 Geometrie, Symmetrie, Invarianz
Es lassen sich drei Entwicklungsphasen der Geometrie erkennen:
Die erste Phase fuhrte zur synthetischen Geometrie. Hier werden die Strukturen ohne
¨
Bezuge zu anderen Disziplinen direkt oder rein geometrisch“ in einer eigenen Axiomatik
¨

eingefuhrt, in der nur mengentheoretisch deutbare Operationen ( Verbinden“, Schnei-
¨
” ”
den“) vorkommen.

Die zweite Phase fuhrte zur Analytischen Geometrie, in der man sich der Sprache der
¨
linearen Algebra bedient. Punkte und geometrische Figuren der synthetischen Geometrie
werden durch Koordinaten bzw. Gleichungen in den Koordinaten gegeben. Die Resulta-
te werden erzielt durch algebraisches Rechnen mit den Gleichungen. In ihrer modernen
Fortentwicklung ist die analytische Geometrie zu dem geworden, was heute mit der Al-
gebraischen Geometrie umschrieben wird.

Die dritte Phase l¨ßt sich schließlich in der Entwicklung der Di¬erentialgeometrie
a
festmachen. Hier bedient man sich auch der Sprache der Analysis, und zwar u.a. zur Be-
schreibung von Tangenten an Kurven und Fl¨chen, Arbeitsmittel sind Ableitung“ und
a

Integral“ . Fur die mathematische Physik ist dieser Entwicklungszweig der Geometrie
¨

besonders fruchtbar (Hamiltonsche Mechanik, Relativit¨tstheorie).
a

Spezielle Geometrien sind die euklidische Geometrie, die a¬ne Geometrie und die
projektive Geometrie. Zur Geometrie wird man im allgemeinen auch die Topologie
oder aber zumindest Teile der algebraischen Topologie und Di¬erentialtopologie z¨hlen.
a

Auf eine Axiomatik der Geometrie gehen wir nicht ein. Als Leitlinie bevorzugen wir die
Einordnung unter das Erlanger Programm von F. Klein. Die geometrischen Strukturen
werden danach geordnet, welche Transformationsgruppen mit ihnen vertr¨glich sind. Das
a
Ziel einer bestimmten Geometrie ist dann, solche S¨tze aufzustellen, die gegenuber der
a ¨

136
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 137


betre¬enden Gruppe invariant sind. Als Beispiel haben wir die lineare Geometrie“ in der

Gestalt der Theorie der Vektorr¨ume betrieben; die Transformationsgruppe ist hier die
a
allgemeine lineare Gruppe (siehe unten). Die nun zur Sprache kommenden Geometrien
fugen neue Strukturen zur Struktur der Vektorr¨ume mit ihren linearen Abbildungen hin-
a
¨
zu.

Eng verknupft mit der Geometrie ist der Begri¬ der Symmetrie.
¨
Symmetrie, ob man ihre Bedeutung weit oder eng faßt, ist eine Idee, verm¨ge derer der Mensch
o
durch Jahrtausende seiner Geschichte versucht hat, Ordnung, Sch¨nheit und Vollkommenheit zu
o
begreifen und zu scha¬en.
H.Weyl, 1885“1955.
Vor dem eigentlichen, mathematisch gefaßten Begrif der Symmetrie sollen einige bekannte
Beispiele von Symmetrien erw¨hnt werden:
a
Spiegelsymmetrie: Es handelt sich um die einfachste“ Symmetrie, fur den Nichtfach-
¨

mann mit der Symmetrie allgemein gleichgesetzt. Invariant unter Achsenspiegelung sind
etwa Strecken, Quadrate und Kreise in passender Lage.

Allgemeine diskrete Symmetrien: Hierher geh¨ren Symmetriebetrachtungen von/an
o
2 3
regelm¨ßigen Figuren in IR oder K¨rpern in IR . Ebenfalls hierher geh¨ren Symmetrien
a o o
von Ornamenten und Parkettierungen.

Hohere Geometrien: Hierunter faßt man Symmetriebetrachtungen, die sich bevorzugt
¨
¨
schon in abstrakten Strukturen bewegen. Etwa: Ahnlichkeitstransformationen der eukli-
dischen Ebene, Drehungen des euklidischen Raumes IRn , Transformationsgruppen in der
Quantenmechanik (Spin, ...).

Als geeignetes mathematisches Werkzeug zur Beschreibung von Symmetrien erweist sich
der Gruppenbegri¬. Der Zusammenhang zwischen dem Gruppenbegri¬ und dem Begri¬
der Symmetrie ist der folgende: Symmetrie im mathematischen Sinne wird zun¨chst durch
a
Symmetrietransformationen beschrieben. Eine Symmetrietransformation eines Objek-
tes ist eine Transformation, d.h. eine bijektive Abbildung auf diesem Objekt, welche das
Objekt im Sinne einer vorher festgelegten Struktur nicht ver¨ndert: das Objekt ist bezo-
a
gen auf die Struktur invariant (unver¨nderlich) unter der Transformation. Zum Beispiel
a
kann es sich um eine algebraische Struktur wie Gruppenstruktur oder Vektorraumstruktur
handeln. In diesem Falle heißen solche strukturerhaltenden Transformationen Automor-
phismen.

Wichtig ist, daß die Symmetrietransformationen eines Objektes mit vorgegebener Struk-
tur eine Gruppe bilden. Diese Gruppe ist umso großer je symmetrischer das Objekt ist.
¨
Im Falle der Vektorraumstruktur etwa ist diese Symmetriegruppe die allgemeine lineare
Gruppe (siehe unten).
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 138



¨
Invarianz und Symmetrie sind Leitprinzipien mathematischer Asthetik. Sie sind komplementare ¨
Begri¬e: Etwas ist in dem Maße symmetrisch, wie es invariant (unver¨nderlich) ist, wenn es einer
a
gewissen Transformation unterworfen wird. Einsteins Relativit¨tstheorie resultiert aus der Vorstel-
a
lung, daß die physikalischen Gesetze invariant unter der sogenannten Lorentz“Transformation sein
sollten. A. Einstein (1879 “ 1955) dachte sogar daran, seine Relativit¨tstheorie Invariantentheorie
a
zu nennen.

Werden wir nun mathematisch. Wir haben die Begri¬e Symmetrietransformation, Inva-
rianz und Struktur zu erl¨utern.
a

De¬nition 6.1
Sei (G, •) eine Gruppe mit Einselelement e und sei M eine nichtleere Menge.
Eine Wirkung von G auf M ist eine Abbildung φ : G — M ’’ M mit

φ(e, m) = m, φ(x, φ(y, m)) = φ(x • y, m)

f¨r alle x, y ∈ G, m ∈ M. (G, φ) heißt dann Transformationsgruppe auf M und
u
man sagt: G wirkt von links auf M (durch φ).
2

Folgerung 6.2
Sei (G, φ) Transformationsgruppe auf M.

(a) Fur jedes x ∈ G ist die Abbildung
¨

m ’’ φ(x, m) ∈ M
φx : M

bijektiv, d.h. φx ∈ S(M).

(b) Die Abbildung
˜ x ’’ φx ∈ S(M)
φ:G
ist ein Gruppenhomomorphismus, d.h.
˜ ˜ ˜
φ(x • y) = φ(x) —¦ φ(y), x, y ∈ G.
Beweis:
Zu (a) : Sei x ∈ G.
Injektivit¨t: Seien m, m ∈ M mit φ(x, m) = φ(x, m ). Dann gilt mit dem Inversen
a
’1
x von x :
m = φ(e, m) = φ(x’1 • x, m) = φ(x’1 , φ(x, m)) =
= φ(x’1 , φ(x, m )) = φ(x’1 • x, m ) = φ(e, m ) = m .

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. 33
( 63 .)



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