<<

. 34
( 63 .)



>>

Surjektivitat: Sei m ∈ M. Dann gilt
¨
m = φ(e, m) = φ(x • x’1 , m) = φ(x, φ(x’1, m)) =
m := φ(x’1, m).
= φ(x, m ) mit
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 139


Zu (b) :
Seien x, y ∈ G . Dann folgt fur alle m ∈ M :
¨

φx•y (m) = φ(x • y, m) = φ(x, φ(y, m)) =
= φx(φ(y, m)) = φx (φy (m)) = (φx —¦ φy )(m).



Beispiel 6.3
Sei G die additive Gruppe IR und sei M := IR 2 . Wir setzen

¦(t, x) := (etx1 , e’t x2) , t ∈ IR, x = (x1, x2) ∈ IR 2 ,

und haben damit eine Wirkung auf IR2 erkl¨rt, denn ¦(0, x) = x und
a

¦(t, (es x1, e’s x2 ))
¦(t, ¦(s, x)) =
(etes x1 , e’te’s x2)
=
(e(t+s)x1 , e’(t+s) x2)
=
= ¦(t + s, x) .

(Die Variable in der additiven Gruppe IR haben wir mit t, s bezeichnet. Damit tragen
wir der liebgewordenen Gewohnheit Rechnung, im Kontext, wo eine physikalische Zeit
auftritt, diese mit t, s, . . . zu bezeichnen. In der Tat stellt die Wirkung ¦ nichts anderes
dar als den Fluß einer Bewegung eines Teilchens in der Ebene: ¦(t, x) ist die Position
des Teilchens zur Zeit t, das zur Zeit t = 0 in der Position x war. Diese Bewegung wird
beschrieben durch das Di¬erentialgleichungssystem

y1 = y1 , y1(0) = x1 , y2 = y2 , y2 (0) = x2 .

In der Theorie der dynamischen Systeme kommt zur “algebraischen“ Forderung an eine
2
Wirkung noch eine topologische Forderung hinzu, n¨mlich die Stetigkeit von ¦.)
a

Die obige Folgerung (b) kann man so interpretieren, daß die Vorgabe einer Transforma-
tionsgruppe (G, φ) gleichbedeutend mit der Festlegung eines Gruppenhomomorphismus
• von G nach S(M) ist. Jeder Gruppenhomomorphismus • : G ’’ S(M) induziert
n¨mlich durch
a
φ(x, m) := •(x)(m), x ∈ G, m ∈ M,
eine Wirkung von φ von G auf M.

De¬nition 6.4
Sei M eine nichtleere Menge. Dann heißt jede Untergruppe von S(M) eine
Symmetrie-Gruppe.
2

Zur Erinnerung: Eine nichtleere Teilmenge U von G heißt Untergruppe von (G, •), falls
mit x, y ∈ U stets auch xy ’1 ∈ U gilt.
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 140


Ist U eine Symmetriegruppe auf M “ der Fall U = S(M) ist zugelassen “ , dann wird also
durch
φU : U — M (u, m) ’’ u(m) ∈ M
eine Wirkung auf M de¬niert. Im allgemeinen spricht man von kontinuierlichen Symme-
triegruppen, wenn #M = ∞ ist, sonst von diskreten Symmetriegruppen.
Ihre Bedeutung erhalten ausgezeichnete Symmetriegruppen dadurch, daß sie zu gewissen
Strukturen passen. Den Strukturbegri¬ wollen wir hier nicht de¬nieren, in Beispielen wird
deutlich werden, was wir meinen.


Beispiel 6.5
Sei V ein IK “Vektorraum. Die Gruppe GL(V ) := {L ∈ S(V )|L IK “linear} der Isomor-
phismen auf V nennen wir die zur linearen Struktur passende Symmetriegruppe.


Beispiel 6.6
Sei M eine nichtleere Menge. Die “volle“ Symmetriegruppe S(M) nennen wir zur leeren
Struktur passend. “Leere Struktur“ sagen wir, weil ein f ∈ S(M) ohne weitere Uber-
¨
prufung einer Vorgabe anderer Art zur Symmetriegruppe geh¨rt.
o
¨

Ein wichtiges Beispiel, das vor allem in der Theorie der Mannigfaltigkeiten von Interesse
ist, ist


Beispiel 6.7
Sei M ‚ IR n o¬en.1 Die Gruppe

Di¬(M) := {f ∈ S(M)|f, f ’1 di¬erenzierbar}
der Di¬eomorphismen von M nennen wir die zur di¬erenzierbaren Struktur auf M
passende Symmetriegruppe. (Der Satz uber implizite Funktionen hat eine große Bedeu-
¨
tung bei der Untersuchung von Di¬eomorphismen.)


Beispiel 6.8
Betrachte in IR2 die regelm¨ßigen Polygone (regelm¨ßige Vielecke) im Einheitskreis mit
a a
θ als Mittelpunkt. Ein solches Polygon Pn mit n Ecken l¨ßt sich durch die Eckpunkte
a
Mn := {p , ..., p } ‚ Pn repr¨sentieren. Symmetriegruppen, die zu diesen symmetrischen
1 n
a
Figuren passen, sind dann beschrieben durch Untergruppen von S(Mn ), die das Polygon
Pn in sich uberfuhren und die Abst¨nde zwischen den Endpunkten erhalten.2
a
¨ ¨
Der Fall n = 3 ist schnell klar. Hier ist die volle“ Gruppe S(M3 ) die passende Symme-

triegruppe (3 Drehungen, 3 Spiegelungen).
M heißt o¬en, wenn es zu jedem m ∈ M einen Wurfel W := (a1 , b1) — · · · — (an , bn ) gibt mit
1
¨
m ∈ W ‚ M.
n
Der (euklidische) Abstand d(x, y) zwischen x, y ∈ IR n ist erkl¨rt als d(x, y) := (xi ’ yi )2 .
2
a
i=1
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 141


Im Fall n = 4 stellt man schon fest, daß die volle“ Gruppe S(M4 ) nicht die passende

Symmetriegruppe ist, etwa ist die Permutation

1234
π=
4312

nicht zul¨ssig.
a
Fur n ≥ 4 ist die sogenannte Diedergruppe Dn ‚ S(Mn ) die passende Symmetriegrup-
¨
k
pe. Sie enth¨lt als Untergruppe Z n (Drehungen um den Winkel 2π n ) und n Spiegelung.
a Z
Eine genauere Betrachtung zeigt, daß Dn genau diese 2n Elemente enth¨lt. Dn ist nicht
a
kommutativ und nicht isomorph zu Z 2 — Z n ! (Dies bedeutet, daß es keine bijektive
Z Z
Abbildung von Dn nach Z 2 — Z n gibt, bei der die Gruppenoperationen mit der Abbil-
Z Z
dungsvorschrift vertr¨glich sind.)
a

Die topologische Struktur wollen wir nur am Spezialfall der metrischen Struktur erl¨utern.
a
Dazu ben¨tigen wir
o


De¬nition 6.9
Sei M eine nichtleere Menge. Eine Abbildung

d : M —M (x, y) ’’ d(x, y) ∈ IR

heißt Metrik (auf M), falls gilt:

(a) d(x, y) = 0 genau dann, wenn x = y. (De¬nitheit)

(b) d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ M (Symmetrie)

(c) d(x, y) ¤ d(x, z) + d(z, y) ∀x, y ∈ M (Dreiecksungleichung)

Das Paar (M, d) heißt dann metrischer Raum.
2

Wir werden eine Reihe von Beispielen fur metrische Raume kennenlernen. Das zunachst
¨ ¨ ¨
n
wichtigste Beispiel ist der IR zusammen mit der Metrik, die vom euklidischen Abstand
induziert wird (siehe Abschnitt 6.2).


Beispiel 6.10
Sei (M, d) ein metrischer Raum.
Die Abbildungen, die zur metrischen Struktur passen, sind die Isometrien, d.h. die zu-
geh¨rige Symmetriegruppe ist
o

ISO(M, d) := {f ∈ S(M)| d(x, y) = d(f(x), f(y)) ∀x, y ∈ M}

2
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 142


Nun k¨nnen wir wohl erl¨utern, was das von F. Klein im Jahre 1872 formulierte Erlanger
o a
Programm zum Inhalt hat: Es ist eine Menge und eine Transformationsgruppe gege-

ben; untersuche die der Menge angeh¨renden“ Gebilde auf Eigenschaften, die durch die
o

Transformationsgruppe nicht ge¨ndert werden.“ Gegenuber der De¬nition einer Sym-
a ¨
metriegruppe hat sich der Blickpunkt vollkommen umgedreht: Gegeben ist nicht eine
Struktur und eine dazu passende Symmetriegruppe, sondern vorgegeben ist eine Trans-
formationsgruppe, welche eine Struktur auf M, zu der dann die Transformationsgruppe
die passende Symmetriegruppe ist, erst de¬niert.
Nach dem Standpunkt von F. Klein sind also nicht die geometrischen Gr¨ßen wie Ab-
o
stand, Winkel,. . . die Grundgr¨ßen der Geometrie, sondern das fundamentale Objekt der
o
Geometrie ist die Transformationsgruppe als Symmetriegruppe; die geometrischen Gr¨ßen
o
ergeben sich daraus.


6.2 Der Euklidische Raum
Beginnen wir mit der euklidischen Ebene IR 2 . Die euklidische Struktur auf M := IR2 wird
durch die euklidische Metrik (auch euklidischer Abstand genannt)

(x1 ’ y1 )2 + (x2 ’ y2)2
d(x, y) :=

de¬niert. (Daß eine Metrik vorliegt, zeigen wir unten in einer allgemeineren Situation.)
O¬enbar sind alle Translationen

x ’’ x + b ∈ IR 2 (b ∈ IR 2 )
Tb : IR 2

strukturerhaltend, d.h. abstandserhaltend. Ferner sind es alle Rotationen

cos • ’ sin •
x ’’ A• x ∈ IR 2 , A• :=
R• : IR2 ,
sin • cos •

um den Winkel • ∈ [0, 2π).
Wir fassen zusammen:

T := {Tb |b ∈ IR2 }, SO(2) := {R• |• ∈ [0, 2π)}

Beide Mengen sind Gruppen bzgl. der Hintereinanderausfuhrung:
¨

Ta —¦ Tb = Ta+b , R• —¦ Rψ = R•+ψ .

Die euklidische Gruppe E(2) sei die kleinste Untergruppe von S(IR2 ), die T und SO(2)
enth¨lt. Diese Gruppe ist eine Symmetriegruppe der euklidischen Struktur. Da auch die
a
Spiegelungen

(x, y) ’’ (y, x) ∈ IR 2 , S2 : IR 2 (x, y) ’’ (’x, y) ∈ IR 2
S1 : IR 2

strukturerhaltend sind, ist eine weitere Symmetriegruppe der euklidischen Struktur gege-
ben durch die kleinste Untergruppe E — (2) von S(IR2 ), die T , SO(2) und S1 , S2 enth¨lt.
a
Die Elemente von E(2) werden als (euklidische) Bewegungen bezeichnet.
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 143


Nun betrachten wir den n “ dimensionalen Fall.


De¬nition 6.11
(a) Die Abbildung
n
1
d2 : IR — IR (x, y) ’’ |x ’ y| := ( (xi ’ yi )2) 2 ∈ IR
n n

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( 63 .)



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