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. 35
( 63 .)



>>


i=1

heißt euklidische Metrik.

(b) Die Abbildung
| · | : IR n x ’’ d2 (x, θ) ∈ IR
heißt euklidische Norm.

(c) Die Abbildung
n
< ·, · > : IR — IR (x, y) ’’ xi yi ∈ IR
n n

i=1

heißt euklidisches Skalarprodukt.
2

Lemma 6.12
Es gilt:

(a) |x| ≥ 0 , < x, x >= |x|2 f¨r alle x ∈ Rn .
u

(b) | < x, y > | ¤ |x| |y| fur alle x, y ∈ Rn .
¨
1. |x| = 0 genau dann, wenn x = θ.
(c) (De¬nitheit)
2. |ax| = |a||x| fur alle a ∈ IR, x ∈ IR n . (Homogenitat)
¨ ¨
3. |x + y| ¤ |x| + |y| fur alle x, y ∈ IR n . (Dreiecksungleichung)
¨
Beweis:
Zu (a) : Klar
Zu (b) :
Seien x, y ∈ IR n . Ist y = θ, dann ist die Aussage schon klar. Sei also nun y = θ.
O¬enbar gilt 0 ¤ < x ’ ay, x ’ ay > fur alle a ∈ IR, also
¨

0 ¤ < x, x > ’2a < x, y > +a2 < y, y > .

Setze a :=< x, y >< y, y >’1 . Dann folgt

< x, y >2
0 ¤ < x, x > ’ ,
< y, y >
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 144


woraus wir die Aussage nun ablesen.
Zu (c) :
Nur die letzte Ungleichung ist nicht o¬ensichtlich. Seien x, y ∈ IR n . Es gilt mit (b)

|x + y|2 = < x + y, x + y >=< x, y > +2 < x, y > + < y, y >
¤ |x|2 + 2|x| |y| + |y|2
= (|x| + |y|)2

und die Aussage ist bewiesen.


Bemerkung 6.13
Die Ungleichung aus (b) in Lemma 6.12 ist die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.
Die Eigenschaften aus (c) belegen, daß die Abbildung

d2 : IR n — IRn (x, y) ’’ |x ’ y| ∈ IR

tatsachlich eine Metrik im Sinne von De¬nition 6.9 darstellt. Wir sprechen dabei auch
¨
vom euklidischen Abstand.
2
Wie sehen die Symmetriegruppen auf dem euklidischen Raum IR n (also IR n versehen mit
der euklidischen Struktur) aus? Dazu folgende Bezeichnungen:

O(n) := {A ∈ IRn,n |AtA = AAt = E} , SO(n) := {A ∈ O(n)| det(A) = 1}.

Hierbei sei an die Einfuhrung der Determinante aus Abschnitt 5.5 erinnert. Da wir noch
¨
nicht uber den Determinantensatz det(AB) = det(A) det(B) verfugen, k¨nnen wir noch
o
¨ ¨
nicht elementar nachweisen, daß O(n) und SO(n) Gruppen sind. SO(n) heißt spezielle
orthogonale Gruppe; sie steht fur die Rotationen in der euklidischen Ebene. Die eu-
¨
klidische Gruppe E(n) wird de¬niert als diejenige Untergruppe von S(IRn ), welche von
SO(n) und der Gruppe der Translationen

T := {Tb |b ∈ IR n} (Tb(x) := b + x, b ∈ IR n , x ∈ IRn )

erzeugt wird. Die volle Symmetriegruppe, d.h. die Gruppe, die zur euklidischen Struktur
geh¨rt, ist nicht sehr viel gr¨ßer als E(n); dazu
o o


Satz 6.14
Jedes f ∈ S(IRn ), welches den euklidischen Abstand invariant l¨ßt, d.h.
a

|f(x) ’ f(y)| = |x ’ y| fur alle x, y ∈ IR n ,
¨

ist nach Identi¬kation von IR n mit IR n,1 von der Form f = Tb —¦ A mit A ∈ O(n)
und b ∈ IRn,1 ; b und A sind dabei eindeutig bestimmt.
Beweis:
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 145


Sei zun¨chst f(θ) = θ. Wir zeigen, daß f linear ist.
a
Nach Voraussetzung gilt

|f(x)| = |f(x) ’ θ| = |x ’ θ| = |x|

fur alle x ∈ IR n . Nun folgt fur alle x, y ∈ IRn :
¨ ¨

2 < f(x), f(y) > = |f(x)|2 + |f(y)|2 ’ |f(x) ’ f(y)|2
= |x|2 + |y|2 ’ |x ’ y|2
= 2 < x, y > .

Also l¨ßt f auch das euklidische Skalarprodukt invariant.
a
Mit der Standardbasis e1 , . . . , en ∈ IR n folgt damit nun

< f(ei ), f(ej ) >= δij , 1 ¤ j ¤ n,

und f(e1), . . . , f(en ) ist eine Basis von IRn .
n
Sei x ∈ IR , x =
n
xi ei. Damit haben wir
i=1

xi =< x, ei >=< f(x), f(ei ) > , 1 ¤ i ¤ n,

und n
xi f(ei ).
f(x) =
i=1

Daraus lesen wir ab, daß f ein Endomorphismus ist, der das Skalarprodukt invariant laßt.
¨
n n,1
Nun konnen wir ohne Einschrankungen IR mit IR identi¬zieren und annehmen (nach
¨ ¨
Wahl einer Basis), daß mit A ∈ IR n,n gilt:

f(x) = Ax , x ∈ IRn,1 .

Aus < Ax, Ay >=< x, y > , x, y ∈ IR n,1 , folgt in leichter Rechnung

< x, y >=< AtAx, y >=< x, AtAy > , x, y ∈ IRn,1 .

Daraus folgt AtA = E und schließlich auch AAt = E .
Sei nun b := f(θ). Setze g(x) := f(x) ’ b, x ∈ IR n,1 . Man sieht, daß auch g den Abstand
invariant laßt. Außerdem gilt g(θ) = θ. Aus obigem Spezialfall folgt die Existenz von
¨
A ∈ O(n) mit
f(x) = b + Ax , x ∈ IRn,1 ,
also
f = Tb —¦ A.
Fur jede andere solche Darstellung
¨

f = Tc —¦ B

mit c ∈ IRn,1 und B ∈ O(n) folgt zun¨chst b = f(θ) = c und dann Ax = Bx fur alle
a ¨
x ∈ IR , also A = B.
n,1
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Wir wissen
| < x, y > | ¤ |x| |y| fur alle x, y ∈ Rn ,
¨
also
< x, y >
’1 ¤ ¤ 1 fur alle x, y ∈ Rn \{θ} .
¨
|x||y|
Also gibt es zu x, y ∈ Rn \{θ} einen eindeutig bestimmten Winkel ‘ = ‘(x, y) ∈ [0, π] mit
< x, y >
= cos(‘(x, y)) .
|x||y|
Wir nennen ‘(x, y) den Winkel zwischen x und y.
Aus der obigen Beweisfuhrung ergibt sich, daß jedes f ∈ S(IRn ), welches den euklidischen
¨
Abstand invariant l¨ßt, auch die Winkel invariant l¨ßt.
a a

Der richtige Rahmen fur die euklidische Geometrie und ihrer Symmetriegruppen ist eigent-
¨
lich erst durch den Begri¬ des euklidischen a¬nen Raumes gegeben. Wir kommen darauf
im nachsten Abschnitt zuruck.
¨ ¨

Beispiel 6.15
Analog zu Beispiel 6.8 untersucht man geometrische Gebilde im IR 3 mit der von IR3 in-
duzierten euklidischen Struktur auf Symmetrie. Dabei ergeben sich Symmetriegruppen
fur allgemeine Polyeder und insbesondere fur die regularen Korper wie Tetraeder, Wurfel,
¨ ¨ ¨ ¨ ¨
Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder. Entsprechend der Anzahl k der Ecken sind die vol-
len Symmetriegruppen der regelmaßigen Korper als Untergruppen von Sk aufzufassen.
¨ ¨
Fur das Tetraeder mit 4 Eckpunkten ist die zugehorige volle Symmetriegruppe zum Bei-
¨ ¨
spiel isomorph zur alternierenden Gruppe A4 in S4. Die Symmetriegruppe des Wurfels¨
ist isomorph zu S4 und die volle Symmetriegruppe des Dodekaeders ist isomorph zur
2
alternierenden Gruppe A5 in S5 mit bereits 60 Elementen

Unter dem Stichwort Kristallographische Gruppen faßt man Symmetriegruppen und
¨
Uberdeckungen“ des IR 3 durch einen K¨rper aus IR 3 und dessen Translationen und
o

Drehungen zusammen.

Beispiel 6.16 n
Versehen wir IR nicht mit dem euklidischen Skalarprodukt sondern mit einer m¨glicher-
o
weise ausgearteten Bilinearform, genaueres dazu sp¨ter, so erhalten wir andere Symme-
a
triegruppen.
Betrachte in IR 2 etwa ( < ·, · > euklidisches Skalarprodukt):
< ·, · >h : IR2 — IR2 (x, y) ’’ x1 y1 ’ x2 y2 ∈ IR .
Zur Symmetriegruppe dieser Bilinearform geh¨ren die hyperbolischen Drehungen, die
o
durch Matrizen der Form
cosh • sinh •
, • ∈ IR,
H• =
sinh • cosh •
gegeben sind, d.h.
< H• x, H• y >h = < x, y >h , x, y ∈ IR2 , • ∈ IR .
So kommt man in IR4 in ¨hnlicher Weise zur Lorentz“Gruppe, einer Gruppe, die in der
a
2
Relativit¨tstheorie von großer Bedeutung ist.
a
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6.3 A¬ne R¨ume und a¬ne Abbildungen
a
H¨u¬g sehen wir IR2 als Zeichenebene und IR 3 als den uns umgebenden Anschauungsraum
a
an. Dabei gehen wir fast immer von einem festgelegten Koordinatensystem aus. Fur IR 2
¨
bedeutet dies:
Man w¨hlt einen Punkt O (“Ursprung“) und zwei (gerichtete) Geraden g1 und
a
g2 , die sich in O schneiden. Zu jedem Punkt P der Ebene ziehe man nun die
Parallelen durch P zu g1 und g2 . Ihre Schnittpunkt P1 mit g1 und P2 mit g2
kann man nun als Koordinatenpaar fur den Punkt P verwenden, wenn man
¨
die Punkte auf g1 bzw. g2 in umkehrbar eindeutiger Weise den reellen Zahlen
zuordnet. Man hat dazu lediglich noch auf jeder Gerade eine Einheit festzule-
gen, welche der Einheit 1 in IR entspricht.
Verwendet man aufeinander senkrecht stehende Geraden (Koordinatenach-
sen), spricht man von einem kartesischen Koordinatensystem.
Es ist klar, daß fur n = 2 die Geraden g1 , g2 durch die Basisvektoren x1, x2 so
¨
gegeben sind:
g1 := {x = a1 x1|a1 ∈ IK } , g2 := {x = a2x2|a2 ∈ IK }
Dem Vektor x = a1x1 +a2 x2 ∈ X entspricht im Koordinatensystem der Punkt
P , den man so erh¨lt:
a
Trage von O aus a1 Einheiten auf g1 , a2 Einheiten auf g2 ab und hefte das

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