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. 36
( 63 .)



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entstehende Geradensegment auf g2 durch Parallelverschiebung an das Gera-
densegment auf g1 an; der Endpunkt des angehefteten Segments ist der Punkt
P.

Treibt man aber “nur“ Geometrie, so sind Ursprung und (Koordinaten-) Achsen keines-
wegs ausgezeichnet, sie werden, wenn sie denn gebraucht werden, den Bedurfnissen ange-
¨
paßt.
In der Zeichenebene oder in dem uns umgebenden Raum ist schnell einzusehen, daß die
Parallelverschiebungen (Translationen) eine kommutative Gruppe bilden (siehe oben).
Mehr noch: zu je zwei Punkten gibt es genau eine Parallelverschiebung, die den einen
Punkt in den anderen uberfuhrt.
¨ ¨


De¬nition 6.17
Sei X ein IK “Vektorraum. Eine Menge A = … heißt a¬ner Raum uber X, wenn
¨
es eine Abbildung ’’
A — A (P, Q) ’’ P Q ∈ X
gibt mit:
’’
(a) F¨r jedes P ∈ A ist die Abbildung A Q ’’ P Q ∈ X bijektiv.
u
’’ ’’ ’’
(b) F¨r je drei Punkte P, Q, R ∈ A gilt P Q + QR = P R .
u

Man setzt a¬dim A := dimIK X.
2
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 148



Den Sachverhalt ’’ ’’ ’’
P Q + QR = P R
’’
kann man in der ublichen Weise zeichnen: Man heftet an P den Pfeil P Q an und kommt
¨ ’’
zu Q und man heftet an Q den Pfeil QR und kommt zu R. Man heftet an P den Pfeil
’’
P R und kommt auch zu R.


Folgerung 6.18
Sei A a¬ner Raum uber dem IK “Vektorraum X. Es gilt:
¨
’’
(a) P P = θ fur alle P ∈ A.
¨
’’ ’’
(b) QP = ’P Q f¨r alle P, Q ∈ A.
u
’’ ’’ ’’ ’’
(c) Aus P Q = RS folgt P R = QS . (Parallelogrammregel)
Beweis:
Zu (a) :
’’ ’’ ’ ’ ’’
Nach De¬nition gilt P P + P P = P P , also P P = θ.
Zu (b) :
’’ ’’ ’’ ’’ ’’
Aus der De¬nition und (a) folgt θ = P P = P Q + QP , also P Q = ’QP .
Zu (c) :
’’ ’’ ’’ ’ ’ ’ ’ ’’ ’’ ’’
P R = P Q + QR = RS + QR = QR + RS = QS .


Folgerung 6.19
Ist X ein IK “Vektorraum, dann wird X durch die Abbildung

X—X (x, y) ’’ y ’ x ∈ X

zu einem a¬nen Raum.
Beweis.
O¬ensichtlich.


Beispiel 6.20
Den a¬nen Raum, der aus IK n gem¨ß Folgerung 6.19 abgeleitet wird, schreiben wir als
a
2
An (IK ).

Da die Abbildung ’’
Q ’’ P Q ∈ X
A
fur jedes P ∈ A bijektiv ist, konnen wir die De¬nition 6.17 im Lichte von Folgerung 6.19
¨ ¨
pauschal etwa so wiedergeben:

Ein a¬ner Raum entsteht aus einem Vektorraum, indem man die Auszeich-
nung eines festen Punktes als Ursprung (eines Koordinatensystems) aufhebt.
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 149


Sei A a¬ner Raum uber dem IK “Vektorraum X. Aus der eben formulierten Tatsache
¨
leiten wir ab, daß wir ohne Verluste auf die Unterscheidung zwischen dem Vektorraum
X und der Menge verzichten k¨nnen. Wir haben lediglich die Sprechweise anzupassen. In
o
der a¬nen Sprechweise sind die Elemente von X nun Punkte. Die a¬ne Grundoperation
besteht darin, je zwei Punkten u, v den Verbindungsvektor v ’ u von u nach v zuzu-
ordnen. Zu gegebenem Punkt x ∈ X und Vektor u ∈ X existiert genau ein Punkt v ∈ X,
sodaß u der Verbindungsvektor von x nach v ist, n¨mlich v = x + u. Man sagt, der Punkt
a
v entsteht aus x durch Abtragen des Vektors u. Ist x0 ein fester Punkt von X und v ∈ X,
so heißt der Verbindungsvektor v ’ x0 auch Ortsvektor von v bezuglich dem Ursprung
¨
x . Da die Zuordnung v ’’ v ’ x bijektiv ist, ist bei festem x0 jeder Punkt v durch
0 0

seinen Ortsvektor v ’ x0 charakterisierbar. Fur x0 = θ erh¨lt man spezielle Ortsvekto-
a
¨
ren, die aber in der a¬nen Betrachtung keine Sonderrolle spielen. Die Ortsvektoren eines
Punktes v bezuglich zweier Ursprunge unterscheiden sich nur durch einen festen Vektor.
¨ ¨


De¬nition 6.21
Sei X ein IK -Vektorraum. Eine Teilmenge A von X heißt a¬ner Teilraum von
X, wenn es x ∈ X und einen linearen Teilraum U von X gibt mit A = x + U. Man
setzt a¬dim A := dimIK U.
Den Raum U nennt man Richtungsraum von A.
2

A¬ne Unterr¨ume sind uns schon bei der Einfuhrung der Faktorr¨ume begegnet. Wir
a a
¨
wissen auch schon, daß U durch A schon eindeutig bestimmt ist.

Sei X ein IK -Vektorraum X.
Die a¬nen Teilr¨ume der (a¬nen) Dimension 0 sind die Punkte x ∈ X, die eindi-
a
mensionalen a¬nen Teilr¨ume sind die Geraden. Einen a¬nen Teilraum der Dimension
a
n ’ 1 (n := dim X) nennt man eine Hyperebene.


De¬nition 6.22
Seien A1 := x1 + U und A2 := x2 + V a¬ne Teilraume des IK “Vektorraums X.
¨
A1, A2 heißen parallel, wenn U ‚ V oder V ‚ U gilt.
2
¨
Achtung! Die Parallelitat ist keine Aquivalenzrelation.
¨


Beispiel 6.23
Sei IK := Z 2 und betrachte A2 (IK ). Wie sehen die a¬nen Teilr¨ume von A2(IK ) aus?
Z a
Punkte sind :
(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).
Geraden sind:
G1 = {(0, 0), (1, 0)} , G2 = {(0, 1), (1, 1)} , G3 = {(0, 0), (1, 1)} , G4 = {(0, 1), (1, 0)} ,
G5 = {(0, 0), (0, 1)} , G6 = {(1, 0), (1, 1)} .
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 150


Parallele Geraden sind G1 , G2 bzw. G3 , G4 .
2
(Ein weiterer a¬ner Teilraum ist noch der Raum selbst).

Sei X ein IK “Vektorraum X und sei A := x+U ein a¬ner Teilraum von X. Ist {u1 , . . . , uk }
eine Basis von U, dann kann man jedes v ∈ A in der Gestalt
k
ai ui mit a1, . . . , ak ∈ IK
v =x+
i=1

schreiben. Man nennt dies eine Parameterdarstellung von A mit Richtungsvektoren
u1 , . . . , uk und Parametern a1, . . . , ak .
Der Begri¬ einer Basis l¨ßt sich nun mit Hilfe der Basen von Richtungsr¨umen auf a¬ne
a a
R¨ume ubertragen.
a ¨


De¬nition 6.24
Sei X ein IK “Vektorraum. Punkte x0 , x1, . . . , xk ∈ X heißen a¬n unabh¨ngig,
a
wenn {x1 ’ x0 , . . . , xk ’ x0} linear unabhangig in X ist.
¨
2

Man best¨tigt sehr einfach, daß in der De¬nition 6.24 die Reihenfolge der Elemente nicht
a
wesentlich ist, d.h. sind x0 , x1, . . . , xk ∈ X a¬n unabh¨ngig, dann sind xπ(0) , . . . , xπ(k)
a
a¬n unabh¨ngig fur jede Permutation π von 0, . . . , k.
a ¨


Beispiel 6.25
Im a¬nem Raum An(IK ) ist {θ, e1, ..., en} mit den Standardeinheitsvektoren e1, . . . , en ∈
2
IK n a¬n linear unabhangig.
¨

Seien x0 , x1, . . . , xn ∈ X a¬n unabh¨ngig in X. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten
a
k“dimensionalen a¬nen Teilraum A, der die Punkte x0 , . . . , xk enth¨lt. Seine Parameter-
a
darstellung ist
k
ai(xi ’ x0) mit a1, . . . , ak ∈ IK .
0
v=x + (6.1)
i=1

Dieser a¬ne Teilraum heißt der Verbindungsraum von x0, . . . , xk . Wir schreiben dafur
¨
x ∨ x ∨ . . . ∨ x . Durch Umrechnen der Darstellung (6.1) ergibt sich
0 1 k


k k
v = (1 ’ ai xi mit a1, . . . , ak ∈ IK ,
0
ai )x + (6.2)
i=1 i=1

also
k k
bix mit b0, . . . , bk ∈ IK ,
i
v= bi = 1 . (6.3)
i=0 i=0

Bei der Darstellung (6.3) ist die Sonderrolle des Punktes x0 beseitigt; sie liefert eine v¨llig
o
symmetrische Darstellung der Punkte von x ∨ x ∨ . . . ∨ x . Die Zahlen b0 , . . . , bk in der
0 1 k

Darstellung (6.3) heißen die baryzentrischen Koordinaten von v bezuglich x0, . . . , xk .
¨
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 151


Diese Bezeichnung ruhrt daher, daß (6.3) der Formel fur den Schwerpunkt v von k + 1
¨ ¨
0 k
“Massenpunkten“ x , . . . , x mit den Massen b0, . . . , bk und der Gesamtmasse 1 gleicht.
Fur k = 2 haben wir eine Verbindungsgerade x0 ∨ x1 zweier Punkte. Ist v ein weiterer
¨
Punkt von x0 ∨ x1 , so heißen x0 , x1, v kollinear und der eindeutig bestimmte Skalar a mit

v = x0 + a(x1 ’ x0 )

wird das Teilungsverhaltnis von x0, x1 , v genannt; wir schreiben dafur
¨ ¨

a = T V (x0 , x1, v).

Ist dimIK = n und sind x0, . . . , xn a¬n linear unabhangig, dann nennt man {x0, . . . , xn }
¨
eine a¬ne Basis von X.


De¬nition 6.26
Seien X, Y IK “Vektorr¨ume. Eine Abbildung f : X ’’ Y heißt a¬n, falls es
a
eine IK “ lineare Abbildung L : X ’’ Y gibt mit

f(u) ’ f(v) = L(u ’ v) fur alle u, v ∈ X.
¨
2

Folgerung 6.27

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( 63 .)



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