<<

. 37
( 63 .)



>>

Seien X, Y IK “Vektorraume und seien A1, A2 a¬ne Unterraume von X und sei
¨ ¨
f : X ’’ Y a¬n. Dann gilt:

(a) f(A1 ), f(A2) sind a¬ne Unterr¨ume von Y .
a

(b) Sind A1, A2 parallel, dann sind auch f(A1 ), f(A2) parallel.
Beweis:
Trivial.


Seien X, Y IK “Vektorr¨ume und sei f : X ’’ Y. Dann ist f o¬enbar a¬n genau dann,
a
wenn es y ∈ Y und eine lineare Abbildung L : X ’’ Y gibt mit f(x) = y 0 + L(x) fur
0
¨
alle x ∈ X. Man kann also f als Hintereinanderausfuhrung der linearen Abbildung L mit
¨
der Translation Ty0 au¬assen, die θ in y uberfuhrt.
0
¨ ¨

Damit sind wir nun bei den Objekten angelangt, die die Brucke zum Erlanger Programm
¨
schlagen helfen. Die zur a¬nen Geometrie passende Symmetriegruppe ist gegeben durch
die Gruppe
GA(X) := {f ∈ S(X)|f a¬n} ,
die sogenannte a¬ne Gruppe. Die Elemente von GA(X) heißen A¬nit¨ten. Die a¬ne
a
Geometrie besch¨ftigt sich mit Aussagen, die invariant unter A¬nit¨ten sind. Spezielle
a a
A¬nit¨ten sind die Translationen. Dies sind die Abbildungen
a

Tb : X x ’’ b + x ∈ X (b ∈ X) .
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 152


Die Abbildung
b ’’ Tb ∈ GA(X)
X
ist injektiv. Dies fuhrt dazu, daß die abelsche Gruppe (X, +) mit mit einer Untergruppe
¨
der a¬nen Gruppe GA(X) identi¬zierbar ist. Mit diesem Sachverhalt wird h¨u¬g auch
a
auf den Begri¬ des Vektorraums hingefuhrt.
¨


Bemerkung 6.28
Beachte, daß man eine Translation

Tb : X x ’’ b + x ∈ X (b ∈ X)

als Wirkung der abelschen Gruppe (X, +) auf X verstehen kann:

¦ : X —X (b, x) ’’ b + x ∈ X .

2
Kommen wir zu Invarianzeigenschaften.
Sei f ∈ GA(X) , f(·) = x + L(·) , x ∈ X , L linear. Dann gilt fur u, v ∈ X
¯ ¯ ¨

v ’ u ⇐’ f(v) ’ f(u) .

Dies kann man dahingehend zusammenfassen, daß Parallelogramme invariant unter Af-
¬nit¨ten sind. Eine zweite Invarianzeigenschaft ist das Teilungsverh¨ltnis. Dies folgt mit
a a
x , x , v ∈ X , x = x , aus
0 1 0 1


v ’ x0 = a(x1 ’ x0) ⇐’ f(v) ’ f(x0 ) = a(f(x1) ’ f(x0 )) .

Man faßt dies als Geradentreue zusammen.

Einer der Ausgangspunkte fur die Entwicklung der a¬nen Geometrie war die Untersu-
¨
chung von Parallelprojektionen in der darstellenden Geometrie. Wichtige Spezialf¨lle
a
davon sind die Parallelprojektionen des dreidimensionalen Raums auf eine Ebene. Diese
werden, wie wir nun sehen wollen, beschrieben durch a¬ne Abbildungen.


Satz 6.29
Sei X ein IK “Vektorraum X und seien A1, A2 a¬ne Teilr¨ume von X mit Rich-
a
tungsraum U1 bzw. U2 . Es gelte: X = U1 • U2 . Setze f¨r v ∈ X A1(v) := v + U1 .
u
Dann gilt:

(a) Zu jedem v ∈ V gibt es genau ein xv ∈ X mit A1 (v) © A2 = {xv } .

v ’’ xv ∈ X ist a¬n.
(b) Die Abbildung f : X
Beweis:
Sei etwa A2 = w + U2 = w1 + w2 + U2 mit w = w1 + w2 , w1 ∈ U1 , w2 ∈ U2 .
Sei v ∈ X, v = v1 + v2 , v1 ∈ U1 , v2 ∈ U2 . Setze dazu xv := v2 + w1. Dann gilt mit
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 153


u1 := w1 ’v1 einerseits v +u1 ∈ A1(v) und andererseits v +u1 = w+v2 ’w2 +v1 +u1 ’w1 =
w + (v2 ’ w2 ) ∈ A2.
Damit ist (a) bis auf die Eindeutigkeit schon klar. Diese folgt sehr schnell aus der Tatsache,
daß U1 © U2 = {θ} ist.
(b) ergibt sich aus der De¬nition von xv .

Die Abbildung f aus Satz 6.29 nennt man Parallelprojektion von X auf A2 l¨ngs A1 .
a

De¬nition 6.30
Sei X ein reeller Vektorraum.
Eine Abbildung <, > : X —X ’’ IR heißt Skalarprodukt (auf X), wenn folgende
Bedingungen erf¨llt sind:
u

(1) < x, x >= 0 ⇐’ x = θ. (De¬nitheit)

(2) < x, y >=< y, x > fur alle x, y ∈ X. (Symmetrie)
¨

(3) < ax +by, z >= a < x, z > +b < y, z > f¨r alle a, b ∈ IR, x, y ∈ X.(Linearit¨t)
u a

Der Raum X zusammen mit dem Skalarprodukt < ·, · > heißt dann euklidischer
2
Raum.


In der a¬nen Sprache heißt ein reeller Vektorraum zusammen mit einem Skalarprodukt
ein a¬ner euklidischer Raum. Wir gehen in Kapitel 8 n¨her auf euklidische R¨ume
a a
ein.

Bemerkung 6.31
Zur Formulierung der klassischen Mechanik, wie sie von Isaac Newton (1643 “ 1727) be-
grundet wurde, sind Aussagen und Annahmen uber das Raum“Zeitkontinuum zu tre¬en.
¨ ¨
Bewegung eines Massenpunktes wird im Ortsraum IR3 formuliert, Bewegungen sind im-
mer relative Bewegungen von (mindestens zwei) physikalischen Systemen zu verstehen.
Nur die Angaben der relativen Positionen (Teilchen A zu Teilchen B, Teilchen A zu Be-
obachter B) zu jedem festen Zeitpunkt ist physikalisch sinnvoll.
Die Mechanik geht aus von der Annahme, daß physikalische Bewegung eines Massen-
punktes in einem Raum statt¬ndet, der die Struktur eines dreidimensionalen euklidischen
Raumes besitzt. Der Bewegungsraum des Teilchens ist also ein a¬ner Raum, wie es der
physikalischen Anschauung entspricht: Die Angabe einer einzigen Position x(t) zur Zeit
ist nicht sinnvoll, wohl aber die Angabe von x(t) relativ zur Position y(t) eines Beobach-
ters zur selben Zeit. Versieht man den a¬nen Raum mit einem Ursprung, d.h. de¬niert
man einen Nullpunkt z.B. durch Vorgabe eines Beobachters, so wird daraus wieder der
2
dreidimensionale reelle Vektorraum IR3 .


6.4 Projektive R¨ume und projektive Abbildungen
a
Die a¬ne Geometrie hat ihren Ursprung in der Parallelprojektion. Eine weitere Pro-
jektionsart, die von Interesse ist und in der Natur etwa bei Abbildungen des Raumes mit
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 154


Hilfe einer Lochkamera auf eine Ebene vorkommt, ist die Zentralprojektion. Die geeig-
nete mathematische Theorie zur Betrachtung von S¨tzen, in denen die Zentralprojektion
a
eine Rolle spielt, ist die Theorie der projektiven R¨ume. Die projektive Geometrie kann
a
dann wieder entsprechend dem Erlanger Programm als Besch¨ftigung mit Invarianten ge-
a
genuber der Zentralprojektion angesehen werden.
¨
Zun¨chst wollen wir projektive R¨ume und Abbildungen ganz algebraisch einfuhren, die
a a ¨
anschauliche Seite wird hervortreten, wenn wir ein “Modell“ fur einen projektiven Raum
¨
betrachten.

De¬nition 6.32
Sei X ein IK “Vektorraum. Dann heißt die Menge

PR(X) := {U ‚ X|U linearer Teilraum von X, dimIK U = 1}

der projektiver Raum zu X. Die projektive Dimension von PR(X) ist de¬-
niert als prodim PR(X) := dimIK X ’ 1, falls dimIK X < ∞ ist.
2

De¬nition 6.32 kann man auch so hinschreiben:

PR(X) = {[u]|u ∈ X\{θ}} ,
¨
wobei die Aquivalenzklasse [u] aus der Relation

mit einem t ∈ IK —
u ∼ u : ⇐’ u = tu

resultiert. Damit ist auch die kanonische Projektion

u ’’ [u] ∈ PR(X)
π : X\{θ}

erkl¨rt.
a

In der synthetischen Geometrie entwickelt man die (ebene) projektive Geometrie aus den Objekten
Punkte, Geraden, Inzidenzrelation. Die Inzidenzrelation beschreibt die Vorstellung “Punkte
liegen auf einer Geraden“. Ein bemerkenswerter Zug einer solchen Fassung der projektiven Geo-
metrie liegt in der Tatsache begrundet, daß jeder Satz sofort einen dualen Satz impliziert. Die
¨
Dualitat entsteht dadurch, daß man die Worter “Punkt“ und “Gerade“ sowie “liegen auf“ und
¨ ¨
“gehen durch“ miteinander vertauscht.



De¬nition 6.33
Sei PR(X) der projektiver Raum zu X. Eine Teilmenge Q von PR(X) heißt
projektiver Unterraum von PR(X), wenn es einen linearen Teilraum U von X
gibt mit Q = PR(U).
2

Klar, ist Q ein projektiver Unterraum von PR(X), so ist Q selbst wieder ein projektiver
Raum. Durch Q ist der lineare Teilraum U von X mit Q = PR(U) eindeutig bestimmt.
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 155


Dies folgt so:
Ist Q = PR(U) = PR(W ), U, W lineare Teilr¨ume von X, so folgt fur u ∈ U, u = θ, auch
a ¨
L({u}) ∈ Q = PR(W ), d.h. L({u}) ist linearer Teilraum von W und daher u ∈ W. Also
ist U ‚ W. Aus Symmetriegrunden bekommt man U = W.
¨

Die projektiven Unterr¨ume der Dimension 0 sind die einelementigen Teilmengen von
a
PR(X), und sie werden deshalb ublicherweise mit den Punkten in PR(X) identi¬ziert.
¨
Die projektiven Unterr¨ume der Dimension 1 nennt man Geraden. Eine Gerade in
a
PR(X) ist also ein projektiver Raum PR(U), wobei U ein linearer Teilraum von X
und dimIK U = 2 ist.

Beispiel 6.34
Sei IK ein K¨rper. Dann nennen wir IP n (IK ) := PR(IK n+1 ) den (kanonischen) n“
o
2
dimensionalen projektiven Raum uber IK .
¨

Halten wir noch fest:
In der projektiven Ebene schneiden sich je zwei verschiedene Geraden in genau
einem Punkt und durch je zwei verschiedene Punkte geht genau eine Gerade.
Dies folgt zum Teil aus der Dimensionsformel
prodim PR(U1 + U2 ) = dimIK (U1 + U2 ) ’ 1
dimIK (U1 ) + dimIK (U2 ) ’ dimIK (U1 © U2 ) ’ 1
=
prodim PR(U1) + prodim PR(U1 ) ’ prodim PR(U1 © U2 )
=
2 ’ prodim PR(U1 © U2 ) ,
=
da hier prodim PR(U1 + U2) ¤ 2 und daher prodim PR(U1 © U2 ) ≥ 0 ist.
Wir sehen also, daß die Ausnahmen, die man in der euklidischen Geometrie des IR 3 h¨u¬g
a
wegen der Parallelit¨t von Geraden und Ebenen machen muß, in der projektiven Ebene
a
nicht auftreten sollten.

In der bisherigen Betrachtung ist “keinerlei“ Anschauung eingearbeitet. Wir wollen nun
ein “Modell“ des projektiven Raumes in der Anschauungsebene und im (uns umgebenden)
Raum entwickeln, das den Begri¬ der Zentralprojektion aufnimmt.
Betrachte in IR2 eine Gerade g mit Richtungsvektor p, die nicht durch den Nullpunkt geht.
Dann k¨nnen wir jedem Punkt u der Geraden g den Punkt L({p}) ∈ IP 1 (IR) zuordnen.

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