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. 38
( 63 .)



>>

o
Damit erhalten wir alle eindimensionalen Teilr¨ume von IR 2 mit Ausnahme von p0 :=
a
L({p}) . Diesen Punkt fugen wir nun hinzu und erhalten so die projektive Gerade IP 1 (IR).
¨
Den Punkt p0 := L({p}) bezeichnet man als unendlich fernen Punkt. Man verknupft ¨
damit die Vorstellung, daß die beiden “Enden“ von IR zu einem Punkt zusammengebunden
werden. Eine Untermauerung dafur ist, daß es eine bijektive Abbildung von IP 1 (IR) auf die
¨
2
Kreislinie in IR gibt. In ¨hnlicher Weise gehen wir eine Dimension h¨her vor. Betrachte
a o

in IR 3 eine Hyperebene E, d.h. einen a¬nen Teilraum der Dimension 2, der den Nullpunkt
θ nicht enth¨lt. Dann k¨nnen wir die Abbildung
a o
σ:E x ’’ L({x}) ∈ IP 2(IR)
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 156


betrachten. Damit haben wir im Bild von σ alle eindimensionalen Teilr¨ume (Geraden)
a
in IR erfaßt, die nicht in der zu E parallelen Ebene E0 durch den Nullpunkt θ liegen.
3

Fugen wir diese dem Bild von σ hinzu, dann haben wir den “vollen“ projektiven Raum
¨
vorliegen. Wir k¨nnen also mit Hilfe von E := E ∪ E0 den projektiven Raum IP 2(IR)
˜
o
“parametrisieren.“
W¨hrend in IP 2(IR) alle Punkte, also die eindimensionalen Teilr¨ume des Vektorraumes
a a
˜
X, gleichberechtigt sind, werden im konkreten Modell E die Punkte der Ferngeraden,
d.h. der Geraden, die durch Punkte in E0 repr¨sentiert werden und in ganz E0 liegen, vor
a
den anderen ausgezeichnet. Sie entsprechen keinen Punkten von E, sondern einer Richtung
in E.

Machen wir uns ein zweites “Modell“ der projektiven Ebene.
Sei S 2 := {(x, y, z) ∈ IR 3 |x2 +y 2 +z 2 = 1} die Einheitssphare. Jede Gerade g in IR3 durch
¨
den Nullpunkt θ tri¬t auf S in zwei antipodal liegenden Punkten. Unser zweites Modell
2

des IP 2(IR) ist nun die Menge aller Paare (u, v) antipodal liegender Punkte, d.h.

{(u, ’u)|u ∈ S 2 } .

(Es ist nicht m¨glich, einfach aus jedem Paar einen Punkt auszuw¨hlen, da die Menge
o a
¨
ungeordnet ist. Der Aquator z = 0 ist sicher ein besonderes Hindernis.) In der Theorie der
Mannigfaltigkeiten lernt man, diesem Modell noch weitere Anschaulichkeit abzugewinnen.


Bemerkung 6.35
Sei X ein n + 1 “ dimensionaler IK “ Vektorraum und sei PR(X) der n “ dimensionale
projektive Raum zu X. Die linearen Teilr¨ume U von X korrespondieren mit linearen
a
Teilr¨umen U a in X ; siehe De¬nition 4.60 und Abschnitt 4.6. Damit korrespondieren mit
a
den projektiven Unterr¨umen PR(U) der Dimension k projektive Unterr¨ume PR(U a )
a a
der Dimension n ’ k ’ 1 in PR(X ) . Daraus ergibt sich das Dualit¨tsprinzip der
a
projektiven Geometrie: S¨tze bleiben im allgemeinen richtig, wenn in ihnen projektive
a
Raume der Dimension k durch projektive Raume der Dimension n ’ k ’ 1 ersetzt werden.
¨ ¨
(“Im allgemeinen“ bedeutet, daß sich die Formulierung der Satze mit der Annihilator“
¨
Bildung “vertragt“.) Fur k = 0 ergibt sich die Tatsache, daß Punkte gegen Hyperebenen
¨ ¨
2
ausgetauscht werden durfen.
¨

Seien X, Y IK “Vektorr¨ume, sei L : X ’’ Y IK “ linear und sei U := Kern(L) . Ist
a
U = X, dann werden eindimensionale Unterr¨ume von X, die nicht ganz in U enthalten
a
sind, auf eindimensionale Unterr¨ume von Y abgebildet. Damit wird in einfacher Weise
a
eine Abbildung

ξL : PR(X)\PR(U) L({u}) ’’ L({L(u)}) ∈ PR(Y )

induziert. Dies fuhrt uns zu
¨
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 157


De¬nition 6.36
Seien PR(X), PR(Y ) projektive R¨ume und sei U ein von X verschiedener Teil-
a
raum von X . Eine Abbildung ξ : PR(X)\PR(U) ’’ PR(Y ) heißt projektiv,
wenn es eine lineare Abbildung L : X ’’ Y gibt mit Kern(L) = U .
Der projektive Unterraum PR(U) heißt das Zentrum von ξ .
2

Aus der Voraussetzung U = X in obiger De¬nition folgt sofort PR(X) = PR(U).
Ist der Teilraum U in obiger De¬nition 0“dimensional, dann ist der projektive Raum
PR(U) leer. Wir sehen dann, daß die projektive Abbildung ξ auf ganz PR(X) erklart
¨
ist.

Beispiel 6.37
Sei H eine Hyperebene im Vektorraum X, die θ enthalt, und sei x0 ∈ X\H . Dann ist
¨
X = H • L({x0})
und wir setzen
U := p0 := L({x0}), L := Projektion von X auf H ,
d.h.
L(x) := h, falls x = h + u mit h ∈ H, u ∈ L({x0 }) .
Die zugeh¨rige projektive Abbildung ist ξ : PR(X)\L({x0 }) ’’ PR(H) . Man sieht,
o
daß ξ(p) der eindeutig bestimmte Schnittpunkt der Geraden, die p und p0 in PR(X)
verbindet, mit PR(H) ist. Deshalb heißt ξ die Zentralprojektion von PR(X) auf die
Hyperebene PR(H) in PR(X) mit dem Zentrum p0 .
Mit allgemeineren direkten Zerlegungen von X lassen sich allgemeinere Zentralprojektio-
2
nen betrachten.

Bemerkung 6.38
In einem projektiven Raum PR(X) kann man uber eine Basis von X wieder Koordinaten
¨
im projektiven Raum selbst einfuhren. W¨hrend man fur einen n “ dimensionalen linea-
a
¨ ¨
ren Raum n Vektoren fur ein Koordinatensystem, fur einen n “ dimensionalen a¬nen
¨ ¨
Raum n + 1 Punkte fur ein Koordinatensystem ben¨tigt, sind fur ein Koordinatensystem
o
¨ ¨
in einem n “ dimensionalen projektiven Raum n + 2 Punkte n¨tig.
o
Die “Parametrisierung“ der eindimensionalen R¨ume gelingt durch homogene und in-
a
homogene Koordinaten, das sogennante Doppelverh¨ltnis ist eine inhomogene Ko-
a
ordinate. Daraus leiten sich dann auch Darstellungen der projektiven Abbildungen ab;
sie fuhren auf gebrochen lineare Abbildungen auf der Koordinatenebene. Genaueres
¨
erf¨hrt man z.B. in der Geometrie und auch in der Theorie der Mannigfaltigkeiten. 2
a

Abschließend wollen wir nun wieder die Objekte angeben, die die Brucke zum Erlanger
¨
Programm schlagen helfen. Die zur projektiven Geometrie passende Symmetriegruppe ist
gegeben durch die Gruppe
P GL(X) := {ξ ∈ S(PR(X))|ξ projektiv} ,
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 158


die sogenannte projektive Gruppe; den Nachweis der Gruppeneigenschaft ubergehen
¨
wir. Die Elemente von P GL(X) heißen Projektivit¨ten.
a

Die projektive Geometrie besch¨ftigt sich mit Aussagen, die invariant unter Projekti-
a
vit¨ten sind. Aus der Linearit¨t der die projektive Abbildung erzeugenden Abbildung
a a
L folgt auch, daß eine projektive Abbildung projektive Unterr¨ume in projektive Un-
a
terr¨ume abbildet. Dies ist eine erste Invarianzeigenschaft. Eine weitere ist, daß unter
a
projektiven Abbildungen das in Bemerkung 6.38 kurz erw¨hnte Doppelverh¨ltnis inva-
a a
riant ist.
Kapitel 7

Determinanten

Jeder Matrix kann ein Skalar (Determinante) so zugeordnet werden, daß er Auskunft
daruber gibt, ob eine Matrix invertierbar ist oder nicht. Wir konstruieren diese Determi-
¨
nante hier nun in einem allgemeinen algebraischen Kontext.
Der Skalarkorper sei in diesem Kapitel ohne weitere Erwahnung immer von der Charak-
¨ ¨
teristik 0, also insbesondere auch unendlich; an geeigneter Stelle verweisen wir auf den
Grund. Damit k¨nnen wir wieder PIK und IK [x] gleichberechtigt verwenden.
o



7.1 Einfuhrung
¨
Erinnern wir uns an Kapitel 2: Bei der Losung des Gleichungssystems
¨

a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2

haben wir die von der Matrix
a11 a12
a21 a22
abgeleitete Große
¨
∆ := a11a22 ’ a12a21
(Produkt der Haupdiagonalen minus Produkt der Nebendiagonalen) kennengelernt. Die
zugeh¨rige Abbildung
o

a11 a12
’’ ∆ := a11a22 ’ a12a21 ∈ IK
δ : IK 2,2
a21 a22

hat interessante Eigenschaften.
(R1) δ(E) = 1 fur die Einheitsmatrix E.
¨
Folgt durch einfaches Nachrechnen.
(R2) δ(A) = δ(At)
Folgt durch einfaches Nachrechnen.

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Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 160


(R3) δ(A) ¨ndert das Vorzeichen, wenn man die Spalten (Zeilen) vertauscht.
a
Folgt durch einfaches Nachrechnen.
(R4) δ(A) multipliziert sich mit », falls man eine Spalte (Zeile) mit » multipliziert.
Folgt durch einfaches Nachrechnen.
(R5) δ(A) = 0, falls die beiden Spalten (Zeilen) gleich sind.
Folgt durch einfaches Nachrechnen.
(R6) δ ist eine lineare Abbildung der Spalten (Zeilen).
Sei A = (a1 |a2) ∈ IK 2,2, u ∈ IK 2,1 . Dann ist o¬enbar δ((a1 +u|a2)) = δ((a1|a2))+δ((u|a2)).

Eine Konsequenz aus Regel (R6) ist, daß δ(A) = 0, falls A eine Nullspalte (Nullzeile)
enth¨lt.
a
(R7) Die elementaren Umformungen “Subtraktion eines Vielfaches einer Spalte (Zeile)
von einer anderen Spalte (Zeile)“ ¨ndern den Wert von δ nicht.
a
Folgt aus den Regeln (R4) und (R5).
(R8) δ(A) = 0 genau dann, wenn A singul¨r ist.
a
Dies folgt aus der Tatsache, daß man wegen Regel (R8) ohne Einschr¨nkungen annehmen
a
kann, daß A von oberer Dreiecksgestalt ist. Dann ist die Aussage aber klar.
(R9) δ(AB) = δ(A)δ(B).
Folgt durch einfaches Nachrechnen.

Damit haben wir nun Aussagen gefunden, die wir sp¨ter nach Einfuhrung der Determi-
a ¨
nantenfunktion det als Verallgemeinerung von δ wieder¬nden werden.

Betrachten wir nun eine Matrix
a11 a12
∈ IR 2,2
a21 a22

von oberer Dreicksgestalt. (Wir haben den K¨rper IK = IR gew¨hlt, damit die Anschau-
o a
ung eine bessere Grundlage hat.) Dann k¨nnen wir dieser Matrix das Parallelogramm
o
OABC mit den Eckpunkten

O (0, 0) A (a11, a12) B (a11 + a21, a12 + a22) C (a21, a22) .

zuordnen. Die Fl¨che (Der Inhalt) von OABC ist o¬enbar gegeben durch
a

F = a11 · a22 ’ a12 · a21 = δ(A) .

(Man betrachte etwa zun¨chst die Fl¨che des Dreiecks OAC und verdopple dann.) Da-

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