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. 39
( 63 .)



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a a
mit erh¨lt der Skalar δ(A) die Bedeutung der Fl¨che des durch die Zeilen der Matrix
a a
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 161


A aufgespannten Parallelogramms. Regel (R2) besagt, daß die Fl¨che des von den Zei-
a
len aufgespannten Parallelogramms gleich dem durch die Spalten von A aufgespannten
Parallelogramms ist. Andere Regeln lassen erkennen, daß die Funktion δ die von einer
Fl¨chenfunktion zu erwartenden Eigenschaften besitzt. Als Verallgemeinerung von δ wird
a
die Determinantenfunktion det dann als Volumenfunktion interpretiert.


Beispiel 7.1
Hat man eine Matrix
A1 θ
∈ IK 3,3 mit A1 ∈ IK 2,2 , A2 ∈ IK 1,1 ,
A=
θ A2

in K¨stchenform, so sollte sich das Volumen des von den Spalten von A aufgespannte
a
Parallelepiped, wenn die obige Interpretation zutri¬t, als δ(A1) · δ(A2) ergeben. Vergleiche
2
dies mit dem Resultat aus Regel (R1)und (R4).

Die Behandlung von Determinanten in der linearen Algebra ist nicht so unumstritten
wie dies fur Gruppen, Vektorraume und lineare Abbildungen gilt. Die hau¬g zu ¬ndende
¨ ¨ ¨
Begrundung fur die Einfuhrung von Determinanten, daß sie fur die Diskussion von linea-
¨ ¨ ¨ ¨
ren Gleichungssystemen gebraucht wurden, ist irrefuhrend: Weder fur die theoretischen
¨ ¨ ¨
¨
Uberlegungen (Existenz und Eindeutigkeit), noch fur die praktischen Schritte werden sie
¨
benotigt. (Unsere obige Darstellung tauscht eine Relevanz fur die Gleichungssyteme nur
¨ ¨ ¨
vor: Wir wollten an das Kapitel 2 ankupfen, in dem erst ein Verfahren zur Behandlung
¨
bereitzustellen war, und die Begri¬e Rang und Defekt noch nicht bereitstanden.) Die
eigentliche Motivation fur die Einfuhrung von Determinanten ist die Tatsache, daß bei
¨ ¨
der Behandlung von Volumina spatestens dann Detrminanten benotigt werden, wenn man
¨ ¨
Koordinaten“Transformationen vornimmt (Substitutionsregel; siehe Analysis II).

Im Kapitel 5 haben wir die Determinante einer Matrix auf sehr indirektem Weg eingefuhrt;
¨
die Interpretation als Volumenfunktion ist damit vorweggenommen. Fur die obige Matrix
¨
bedeutet dies
det(A) = »1 · »2 , »1 , »2 Eigenwerte von A .
Die Schwierigkeit dieser De¬nition liegt in der Tatsache, daß dazu Eigenwerte von A
existieren mussen, eine Tatsache, die o¬enbar mit der Eigenschaft, daß A split uber IR
¨ ¨
ist, zusammenhangt. Als Kandidat fur das charakteristische Polynom erhalten wir aus
¨ ¨
einem Eliminationsschritt (“Elimination von x1“), angewendet auf das Gleichungssystem

(a11 ’ »)x1 + a12x2 = 0 , a21x1 + (a22 ’ »)x2 = 0

die Polynomgleichung
(a11 ’ »)(a22 ’ ») ’ a12a21 = 0
oder
»2 ’ »(a11 + a22) + a22a11 ’ a12a21 = 0 .
Diese Polynomgleichung l¨ßt sich lesen als
a

δ(A ’ »E) = 0
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 162


und als Konsequenz ist der Kandidat fur das charakteristische Polynom χA gegeben als
¨
δ(A ’ »E) = 0 . Die Gleichung δ(A ’ »E) = 0 hat unabh¨ngig von den Eigenwerten von
a
A einen Sinn. Formal entdecken wir auch sofort wieder den Satz von Cayley “ Hamilton:
χA (A) = ˜ .


7.2 Multilinearformen
De¬nition 7.2
Sei X ein IK “Vektorraum und sei m ∈ IN .
Eine Abbildung T : X m ’’ IK heißt multilinear, wenn T in jedem Argument
IK “ linear ist, d.h. wenn

T (x1, . . . , xj’1 , au + bv, xj+1, . . . , xm )

= aT (x1, . . . , xj’1 , u, xj+1, . . . , xm ) + bT (x1, . . . , xj’1 , v, xj+1, . . . , xm )
f¨r alle x1 , . . . , xj’1 , u, v, xj+1, . . . , xm ∈ X, a, b ∈ IK , gilt.
u
Wir setzen Tm (X) := {T : X m ’’ IK |T multilinear} .
2

O¬ensichtlich ist Tm (X) wieder in gew¨hnlicher Weise ein IK “Vektorraum. Fur m = 1
o ¨
haben wir Tm (X) = X und fur m = 2 sprechen wir bei Tm (X) vom Raum der Bilinear-
¨
formen (siehe Abschnitt 8.1).


Ist X ein endlichdimensionaler Raum mit Basis {e1, . . . , en }, dann ist jede Abbildung
T ∈ Tm (X) auf Grund der Multilinearit¨t durch die Werte
a

T (ei1 , . . . , eim ) , 1 ¤ i1 , . . . , im ¤ n ,

festgelegt. Dies fuhrt zu
¨


Folgerung 7.3

Ist dimIK X = n, dann ist dimIK Tm (X) = nm .
Beweis:
Betrachte die multilinearen Abbildungen Tj1 ,...,jm , die durch

Tj1 ,...,jm (ei1 , . . . , eim ) = δj1 i1 · · · δjm im , 1 ¤ i1, . . . , im ¤ n

festgelegt sind; 1 ¤ j1 , . . . , jm ¤ n . Man stellt fest, daß diese Abbildungen eine Basis
bilden.


Beispiel 7.4
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 163


Sei X = IK n,1 , A ∈ IK n,n . Betrachte

T :X—X (x, y) ’’ xt A y ∈ IK .

O¬enbar gilt T ∈ T2(X).
T (x, x) ist ein Polynom zweiten Grades in n Variablen. Die “Niveaulinien“ T (x, x) = d
beschreiben in Spezialf¨llen fur n = 2 die Kegelschnitte Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel.
a ¨
2
Unter den multilinearen Abbildungen sind nun solche ausgezeichnet, die gewisse Ver-
tauschungseigenschaften hinsichtlich ihrer Argumente besitzen. Eine solche Klasse von
multilinearen Abbildungen ist die Menge der alternierenden (schiefsymmetrischen) Ab-
bildungen. Sie spielen eine wichtige Rolle in der Analysis (Di¬erentialformen, Satz von
Stokes). Hier fuhren sie uns zur Determinantenfunktion.
¨
Erinnert sei an Abschnitt 3.2, in dem Permutationen σ und ihr Vorzeichen (σ) eingefuhrt
¨
wurden.


De¬nition 7.5
Sei X ein IK “Vektorraum und sei m ∈ IN . Eine multilineare Abbildung
T : X m ’’ IK heißt alternierend (schiefsymmetrisch), wenn

T (xσ(1), . . . , xσ(m)) = (σ)T (x1, . . . , xm )

f¨r alle σ ∈ Sm gilt.
u
Wir setzen Am (X) := {T ∈ Tm (X)|T alternierend} .
2

Lemma 7.6
Sei X ein IK “Vektorraum und sei m ∈ IN . Dann sind f¨r eine multilineare Abbil-
u
dung T : X ’’ IK ¨quivalent:
m
a

(a) T ∈ Am (X) .

(b) T (. . . , x, x, . . .) = 0 fur alle x ∈ X .
¨

(c) T (. . . , x, y, . . .) = ’T (. . . , y, x, . . .) fur alle x, y ∈ X .
¨

(d) T (. . . , x, . . . , y, . . .) = ’T (. . . , y, . . . , x, . . .) fur alle x, y ∈ X .
¨

(e) T (. . . , x, . . . , x, . . .) = 0 fur alle x ∈ X .
¨
(f) Sind x1 , . . . , xm linear abhangig, dann gilt T (x1, . . . , xm ) = 0 .
¨
Beweis:
Die Implikation (a) =’ (c) ist klar, da eine Nachbarvertauschung eine ungerade Permu-
tation ist.
Die Implikation (c) =’ (d) folgt aus der Tatsache, daß jede Transposition als Produkt
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 164


einer ungeraden Anzahl von Nachbarnvertauschungen geschrieben werden kann.
Die Implikation (d) =’ (a) ist klar, da eine Permutation Produkt von Transpositionen
ist.
Der Ringschluß (b) =’ (c) =’ (d) =’ (e) =’ (f) =’ (b) sei dem Leser
uberlassen.
¨


Bemerkung 7.7
Den Schluß (d) =’ (e) in obigem Beweis zieht man so: Aus

T (. . . , x, . . . , x, . . .) + T (. . . , x, . . . , x, . . .) = 0

folgt
T (. . . , x, . . . , x, . . .) = 0 ,
da die Charakteristik von IK als Null vorausgesetzt ist.
2
Vergleiche (c) mit Regel (R3) und (b) mit Regel (R5) aus Abschnitt 7.1.


Folgerung 7.8
Sei X ein IK “Vektorraum und sei m ∈ IN . Dann ist Am (X) ein linearer Teilraum
von Tm (X) .
Beweis:
Mit Hilfe von Lemma 7.6 ist dies leicht zu veri¬zieren.


Satz 7.9
Sei X ein IK “Vektorraum und sei m ∈ IN . Die Abbildung

Altm : Tm (X) ’’ Tm (X) ,
1
(σ)T (xσ(1), . . . , xσ(m)) , (x1, . . . , xm) ∈ X m ,
Altm(T )(x1, . . . , xm ) :=
m! σ∈Sm
hat folgende Eigenschaften:

(a) Altm ist IK “linear.

(b) Altm|Am (X) = idAm (X) .

(c) Bild (Altm) = Am (X) .
Beweis:
Aus De¬nition von Altm folgt Altm(T ) ∈ Tm (X) fur jedes T ∈ Tm (X) , da Tm (X) ein
¨
IK “Vektorraum ist. Also ist die oben vorgenommene De¬nition korrekt.
(a) ist trivial.
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 165


Zu (b). Sei T ∈ Am (X) . Seien x1 , . . . , xm ∈ X . Es gilt:
1
Altm (T )(x1, . . . , xm) = (σ)T (xσ(1), . . . , xσ(m))
m! σ∈Sm
1
(σ) (σ)T (x1, . . . , xm )
=
m! σ∈Sm
= T (x1, . . . , xm)

Zu(c). Die Tatsache Bild (Altm) ‚ Am (X) folgt so:
Sei T = (Altm)(T ) mit T ∈ Tm (X) . Sei „ ∈ Sm und seien x1, . . . , xm ∈ X .
1
Altm (T )(x„ (1), . . . , x„ (m)) = (σ)T (xσ(„ (1)), . . . , xσ(„ (m)))
m! σ∈Sm
1
(σ —¦ „ ’1 )T (xσ (1) , . . . , xσ (m) )
=
m! σ ∈Sm
1
(σ ) („ ’1 )T (xσ (1), . . . , xσ (m))
=
m! σ ∈Sm
1
(σ )T (xσ (1), . . . , xσ (m))
= („ )
m! σ ∈Sm
= Altm(T )(x1, . . . , xm )

Damit ist T = Altm(T ) ∈ Am (X) gezeigt.

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