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. 4
( 63 .)



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Bemerkung 1.9
Unter Benutzung der eben eingefuhrten Quantoren lassen sich die ¨quivalenten Bedin-
a
¨
gungen von Satz 1.8 wie folgt formulieren:

(i) ∃f : A ’’ B (graph(f) = G) .

(ii) ∀a ∈ A ∃1b ∈ B ((a, b) ∈ G) .

Die Bedingung (ii) “ und damit auch (i) “ sagt, daß eine Abbildung immer wohlde¬niert
ist, was man noch ¨quivalent schreiben kann als
a

∀a, a ∈ A (a = a =’ f(a) = f(a ))

oder
∀a, a ∈ A (f(a) = f(a ) =’ a = a ) .
2

Beispiel 1.10
An folgender Funktion, die in der Analysis gelegentlich als Gegenbeispiel Verwendung
¬ndet, wollen wir eine weitere Form des Hinschreibens einer Funktion kennenlernen.
Betrachte
1 , falls x ∈ Q
f : IR ’’ IR , x ’’ .
0 , falls x ∈ IR \ Q
2
Wie soll man den Graph hinzeichnen?


1
trivial = platt, seicht, allt¨glich, kommt von Trivium, ein lateinisches Wort fur Dreiweg, womit der
a ¨
untere Lehrgang mittelalterlichen Universitatsunterrichts (Grammatik, Dialektik, Rhetorik) bezeichnet
¨
wurde. In der Mathematik nennen wir eine elementare oder o¬ensichtliche Schlußweise oder Aussage
trivial.
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 9


De¬nition 1.11
Sei A eine Menge. Dann nennt man die Abbildung

x ’’ x ∈ A
idA : A

die Identit¨t auf A. (Manchmal lassen wir den Index A weg und schreiben einfach
a
id, wenn klar ist, um welches A es sich handelt.)
2

De¬nition 1.12
Seien A, B Mengen. Dann heißt die Abbildung

π1 : A — B (a, b) ’’ a ∈ A

die Projektion auf den ersten Faktor.
2

Es sollte klar sein, daß entsprechend auch die Projektionen auf beliebige Faktoren in einem
kartesischen Produkt An erkl¨rt sind:
a

x = (x1, . . . , xj , . . . , xn) ’’ xj ∈ A (j ∈ {1, . . . , n}) .
πj : An



De¬nition 1.13
Sei f : X ’’ Y eine Abbildung und seien A ‚ X, B ‚ Y . Dann heißt die Menge

f(A) := {f(x)|x ∈ A}

die Bildmenge von A oder das Bild von A, und die Menge

f ’1 (B) := {x ∈ X|f(x) ∈ B}

2
heißt die Urbildmenge von B oder einfach das Urbild von B.


Rechenregel sind (f : X ’’ Y, A1, A2 ‚ X, B1 , B2 ‚ Y ):

(R1) A1 ‚ A2 =’ f(A1) ‚ f(A2)

(R2) f(A1 ∪ A2) = f(A1) ∪ f(A2)

(R3) f(A1 © A2) ‚ f(A1) © f(A2)

(R4) B1 ‚ B2 =’ f ’1 (B1 ) ‚ f ’1 (B2 )

(R5) f ’1 (B1 ∪ B2) = f ’1 (B1 ) ∪ f ’1 (B2 )
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 10


(R6) f ’1 (B1\B2 ) = f ’1 (B1 )\f ’1 (B2 )

Die Beweise hierzu sind nahezu trivial, wir ubergehen sie daher.
¨

In der folgenden De¬nition verwenden wir die kompakte Quantoren“Schreibweise, nicht
immer wollen wir so verfahren, da dann der Text ziemlich “unleserlich“ wurde.
¨


De¬nition 1.14
Sei f : X ’’ Y eine Abbildung.

(i) f injektiv : ⇐’ ∀x, x ∈ X (x = x =’ f(x) = f(x ))

(ii) f surjektiv : ⇐’ ∀y ∈ Y ∃x ∈ X (y = f(x))

(iii) f bijektiv : ⇐’ f injektiv und surjektiv.
2

Man vergleiche (i) mit der Umformulierung der Wohlde¬niertheit in Bemerkung 1.9.


De¬nition 1.15
Seien f : X ’’ Y, g : Y ’’ Z Abbildungen. Die Hintereinanderausfuhrung
¨
oder Komposition g —¦ f der Abbildungen f, g ist erkl¨rt durch
a

g—¦f :X x ’’ g(f(x)) ∈ Z .
2

Der Grund fur die Reihenfolge “zuerst g, dann f“ in der Schreibweise von g —¦ f ist der,
¨
daß ein Bild unter der zusammengesetzten Abbildung g —¦ f gerade g(f(x)) ist.

Rechenregeln sind (f : X ’’ Y, g : Y ’’ Z, h : Z ’’ W Abbildungen):

(R7) idY —¦ f = f —¦ idX

(R8) h —¦ (g —¦ f) = (h —¦ g) —¦ f (Assoziativgesetz)

Man beachte aber, daß fur die Hintereinanderausfuhrung von Abbildungen ein Kommu-
¨ ¨
tativgesetz ( f —¦ g = g —¦ f) nicht gilt. Dies sieht man etwa mit

x ’’ x + 1 ∈ IR , g : IR x ’’ x3 ∈ IR ,
f : IR

da
f —¦ g(x) = x3 + 1 , g —¦ f(x) = (x + 1)3 , x ∈ IR ,
gilt.
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 11


Satz 1.16
Sei f : X ’’ Y eine Abbildung und sei B := f(X). Dann gilt:

(a) f ist injektiv ⇐’ ∃g : B ’’ X(g —¦ f = idX )

(b) f ist surjektiv ⇐’ ∃g : Y ’’ X(f —¦ g = idY )

(c) f ist bijektiv ⇐’ ∃g : Y ’’ X(g —¦ f = idX , f —¦ g = idY )
Beweis:
Zun¨chst eine Voruberlegung.
a ¨
Sei y ∈ B . Dann ist f ’1 ({y}) = … ; wahle xy ∈ f ’1 ({y}) . Damit de¬nieren wir
¨

y ’’ g (y) := xy ∈ X .
g:B
ˆ ˆ

Zu (a).
Sei f injektiv. Wir setzen g := g . Da f injektiv ist, gilt f ’1 ({y}) = xy fur jedes y ∈ B .
ˆ ¨
Sei x ∈ X, y := f(x) . Dann ist also x = xy und wir haben

(g —¦ f)(x) = g(f(x)) = g (f(xy )) = xy = x = idX (x) fur alle x ∈ X .
ˆ ¨

Sei nun g : B ’’ X mit g —¦ f = idX . Seien x, x ∈ X mit f(x) = f(x ). Dann ist

x = idX (x) = g(f(x)) = g(f(x )) = idX (x ) = x ,

was wir zeigen wollten.
Zu (b).
Sei f surjektiv. Wir setzen g := g und beachten B = Y . Dann ist
ˆ

(f —¦ g)(y) = f(ˆ(y)) = f(xy ) = y = idY (y) .
g

Die Umkehrung ist trivial.
Zu (c).
Gibt es g mit den notierten Eigenschaften, dann ist nach (a) und (b) die Bijektivit¨t von
a
f klar.
Sei nun f bijektiv. Dann gibt es nach (a) und (b) Abbildungen ga : Y ’’ X und
gb : Y ’’ X mit ga —¦ f = idX , f —¦ gb = idY . Wir zeigen ga = gb und sind dann fertig.
Unter Verwendung der eben angefuhrten Identit¨ten folgt:
a
¨

ga = ga —¦ idY = ga —¦ (f —¦ gb ) = (ga —¦ f) —¦ gb = idX —¦ gb = gb .


Im obigen Beweis haben wir in der Voruberlegung das sogenannte starke Auswahlaxiom der
¨
Mengenlehre verwendet. Es lautet (etwas ober¬‚¨chlich): Aus einer Familie nichtleerer Mengen
a
kann man aus jeder Menge ein Element ausw¨hlen. Es mag einleuchtend erscheinen, doch hat die
a
Erfahrung gezeigt, daß im Umgang mit unendlichen Mengen nichts als selbstverst¨ndlich angenom-
a
men werden sollte. Das Auswahlaxiom “ von E. Zermelo (1871 “ 1953) und A. Frankel (1891 “ 1965)
¨
wurde ein Axiomensystem (ZF“System) fur die Mengenlehre begrundet “ ist so bedeutsam, weil
¨ ¨
die Beweise zahlreicher S¨tze der Mengenlehre von seiner Anerkennung abh¨ngen. Von P. Cohen
a a
wurde 1963 gezeigt, daß dieses Axiom unabh¨ngig von den restlichen Axiomen des ZF“Systems
a
ist, es kann also durch die anderen ZF“Axiome weder widerlegt noch bewiesen werden.
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 12


Die Abbildung g aus (c) in Satz 1.16 ist eindeutig bestimmt, denn ist g : Y ’’ X eine
weitere Abbildung mit
g —¦ f = idX , f —¦ g = idY ,
dann folgt
g = g —¦ idY = g —¦ (f —¦ g ) = (g —¦ f) —¦ g = idX —¦ g = g .
Dies fuhrt zu
¨


De¬nition 1.17
Sei f : ’’ Y eine bijektive Abbildung. Dann heißt die nach Satz 1.16 existierende
Abbildung g : Y ’’ X mit g —¦ f = idX , f —¦ g = idY die Umkehrabbildung von
f. Wir schreiben dafur f ’1 .
2
¨


Nun haben wir zweimal das Symbol f ’1 erkl¨rt. Dies sollte jedoch keine Schwierigkeiten
a
bereiten, da aus dem Zusammenhang heraus wohl immer klar wird, ob die Umkehrabbil-
dung oder eine spezielle Urbildmenge gemeint ist.

Mit Abbildungen k¨nnen wir auch die Elemente einer Menge z¨hlen. Als Vorbereitung
o a


Satz 1.18
Sei A eine Menge, seien n, m ∈ IN , und seien φ : A ’’ IN n , ψ : A ’’ IN m
bijektiv. Dann gilt n = m .
Beweis:
Wir beweisen mit vollstandiger Induktion die Aussage
¨

Zu n ∈ IN gibt es fur 1 ¤ m < n keine injektive Abbildung g : IN n ’’ IN m .
¨

n = 1 : Klar, da IN n = {1}, IN m = … fur m < n .
¨
n + 1 : Annahme: Es gibt eine injektive Abbildung g : IN n+1 ’’ IN m , 1 ¤ m < n + 1 .
Da g injektiv ist und IN n+1 mindestens die Elemente 1,2 enth¨lt, ist 1 < m . Sei k :=
a
g(n + 1) . O¬enbar gibt es eine Bijektion f : IN m ’’ IN m mit f(i) = i fur i = k, m
¨
und f(k) = m, f(m) = k . Nun ist (f —¦ g)| IN n : IN n ’’ IN m’1 injektiv, wobei also
1 ¤ m ’ 1 < n gilt. Dies ist im Widerspruch zur Induktionsannahme.

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