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. 40
( 63 .)



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Satz 7.10
Sei X ein n“dimensionaler IK “Vektorraum. Dann gilt:

n
dimIK Am (X) = .
m
Beweis:
Von den Basiselementen Tj1 ,...,jm , 1 ¤ j1, . . . , jm ¤ n in Tm (X) (siehe Beweis zu Satz 7.3),
die durch
Tj1 ,...,jm (ei1 , . . . , eim ) = δj1 i1 · · · δjm im , 1 ¤ i1, . . . , im ¤ n
festgelegt sind, bleiben hier nur die ubrig, fur die die Tupel (j1 , . . . , jm ) paarweise ver-
¨ ¨
schiedene Komponenten haben. Die Anzahl dieser Elemente ist gleich der Anzahl aller
Teilmengen von {1, . . . , n} mit m Elementen.

Aus der obigen Dimensionsformel lesen wir ab:

dimIK Am (X) = 1, falls dimIK X = m.

Dies fuhrt uns im nachsten Abschnitt zur Determinantenfunktion.
¨ ¨
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7.3 Determinantenfunktion
Nun wollen wir die alternierenden Formen in den Spalten einer Matrix betrachten. Wir
wissen schon, daß die alternierende Form T ∈ Tn (IK n ) bis auf eine Konstante festgelegt
ist, durch Normierung wird sie dann also eindeutig. Dies ist Inhalt von

De¬nition 7.11
Die eindeutig bestimmte alternierende Form det ∈ Tn (IK n,1 ) mit det(e1 , . . . , en ) = 1
heißt Determinantenfunktion.
Ist A ∈ IK n,n eine Matrix mit Spaltenformulierung A = (a1 | . . . |an ), dann heißt
det(a1, . . . , an ) die Determinante von A und wir schreiben kurz:

det(A) := det((a1 | . . . |an )) := det(a1, . . . , an ) .
2

Auf den Zusammenhang des Determinantenbegri¬s mit der Volumenmessung wollen wir
hier nicht weiter eingehen, dies soll aber im Kapitel 8 nachgeholt werden.
Erstmals wurden Determinanten ¨hnliche Objekte wohl von dem japanischen Mathematiker Se-
a
ki Kowa (1642 “ 1708) betrachtet. G.W. Leibniz (1646 “ 1716) beschrieb in einem Brief an G.
l™Hospital (1661 “ 1704) die 3 — 3 “ Determinante als Hilfsmittel, ein lineares Gleichungssystem in
2 Unbekannten und drei Gleichungen zu l¨sen.
o

Halten wir nochmal ausdrucklich fest, daß die Determinantenfunktion det in IK n,n voll-
¨
st¨ndig festgelegt ist durch drei Eigenschaften:
a
(D1) det(A) ist linear in jeder Spalte der Matrix A. (Multilinearitat)
¨
(D2) det(A) ist Null, wenn zwei Spalten von A gleich sind. (Alternation)
(D3) det(A) ist Eins, wenn A = E ist. (Normierung)
Fugen wir noch Konsequenzen hinzu, die sich aus der Tatsache ergeben, daß det eine
¨
alternierende Form ist (siehe Abschnitt 5.2).
(D4) Die Determinante ¨ndert sich nicht, wenn man zu einer Spalte eine Linearkombi-
a
nation einer anderen Spalte addiert.
(D5) Die Determinante ¨ndert das Vorzeichen, wenn man zwei Spalten vertauscht.
a
(D6) det(A) ist Null, wenn rg(A) < n ist.
(D7) det(Ekl ) = 0 , 1 ¤ k, l ¤ n , det(Ekl (a)) = 1 , 1 ¤ k, l ¤ n , k = l ; n > 1 .
(D8) det((eσ(1)| . . . |eσ(n) )) = (σ), wobei σ eine Permutation ist.
(D8) ist richtig fur Transpositionen, da die Determinantenfunktion alternierend ist. Sei
¨
σ ∈ Sm eine Permutation. Nach Satz 3.18 gibt es Transpositionen „1 , . . . , „k mit σ =
„ —¦ . . . —¦ „k . Damit folgt mit Folgerung 3.19
det((eσ(1)| . . . |eσ(n) )) = (’1)k det(E) = (’1)k = (σ) .
Der Multiplikationssatz lautet:
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(D9) det(A B) = det(A) det(B) .
Er folgt so: Sei B = (b1 | . . . |bn ) in Spaltenform hingeschrieben. Da

IK n,1 — . . . — IK n,1 (x1 , . . . , xn) ’’ det(Ax1, . . . , Axn) ∈ IK

eine alternierende Multilinearform in Tn (IK n,1 ) de¬niert, gibt es einen Skalar d ∈ IK mit

det(A B) = det((Ab1| . . . |Abn)) = d det((b1| . . . |bn )) = d det(B) .

Wahlt man B = E, erhalt man d = det(A) .
¨ ¨

Trivial ist
(D10) det(a A) = an det(A) .
und wichtig ist
(D11) det(At ) = det(A) .
Der Beweis zu (D11) geht so:
Wegen (D6) k¨nnen wir o.E. annehmen rg(A) = n, d.h. A ist invertierbar. Das Gaußsche
o
Eliminationsverfahren liefert eine Darstellung von A als Produkt von Gauß“ und Permu-
tationsmatrizen (siehe Abschnitt 4.5). Fur jede dieser Matrizen gilt die Aussage (D11).
¨
Also gilt wegen (D9) die Aussage auch fur A selbst.
¨

Kommen wir zur Berechnung von Determinanten. Fur Matrizen von oberer Dreiecksge-
¨
stalt sind wir sofort erfolgreich:
(D12) Ist A = (aij )i=1 (1 )n , j =1 (1 )n eine Matrix von oberer Dreiecksgestalt, dann gilt:

det(A) = a11 · · · ann .

Dies folgt so:
Ist a11 · · · ann = 0, dann ist rg(A) < n und (D6) liefert hier die Aussage.
Sei nun a11 · · · ann = 0 . Wegen (D10) konnen wir o.E. a11 = · · · = ann = 1 annehmen.
¨
Wegen (D4) gilt dann det(A) = det(E) = 1 .
(D13) Ist A eine Matrix in Kastchenform, d.h.
¨

BC
∈ IK n,n mit B ∈ IK r,r , D ∈ IK n’r,n’r ; C ∈ IK r,n’r ,
A=
˜D

dann gilt
det(A) = det(B) det(D) .

Der Beweis dazu:
Sei zunachst C = ˜ . Durch
¨

B ’’ det ∈ IK
δ : IK n,n
˜D
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wird eine alternierende Form auf den Spalten von B erkl¨rt. Also gibt es einen Skalar
a
d ∈ IK mit
δ(B) = d det(B) fur alle B ∈ IK n,n .
¨

Fur B = E ergibt sich d = δ . Also folgt
¨
˜D

B˜ E˜
det = det det(B) .
˜D ˜D

Analog erhalt man
¨

B˜ B˜
det = det det(D) .
˜D ˜E

Daraus folgt
B˜ B˜
det = det det(D) =
˜D ˜E

= det det(B) det(D) = det(B) det(D) .
˜E
Der allgemeine Fall folgt nun so:
Ist rg(B) < r, dann gilt auch rg(A) < n und es ist wegen (D6) nichts mehr zu zeigen.
Sei nun rg(B) = r. Dann ist B ∈ GLr (IK ) und man hat

E B ’1 C
BC B˜
= .
˜D ˜D ˜ E

Nun folgt aus dem Multiplikationssatz (D9) unter Verwendung des Resultats im Spezialfall
und (D12) die Aussage.

Die Aussage (D13) kann dazu verwendet werden, die Berechnung der Determinante einer
“großen“ Matrix auf die Berechnung der Determinante von “kleinen“ Matrizen zuruck-
¨
zufuhren. Eine in den Eintr¨gen explizite, wenngleich nahezu unbrauchbare Formel fur
a
¨ ¨
die Determinante ist Inhalt der n¨chsten “Regel“.
a

(D14) Ist
A = (aij )i=1 (1 )n , j =1 (1 )n = (ai,j )i=1 (1 )n , j =1 (1 )n
(die etwas abgeanderte Schreibweise dient der besseren Lesbarkeit der folgenden
¨
Formel), dann gilt
(σ)a1,σ(1) · · · an,σ(n)
det(A) =
σ∈Sn

und
(σ)aσ(1),1 · · · aσ(n),n .
det(A) =
σ∈Sn
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Nur der Beweis der zweiten Formel ist zu erbringen, die erste Formel folgt aus der Tatsa-
che, daß det(A) = det(At) gilt (siehe (D11)).
Sei A = (a1| . . . |an ) in Spaltenform gegeben. Dann wissen wir, daß mit der Standardbasis
n
ai,j ei , 1 ¤ j ¤ n . Die Multilinearitat (D1) von det liefert
e1, . . . , en in K n,1 gilt: aj = ¨
i=1

n n
ai1 ,1 · · · ain ,n det((ei1 | . . . |ein ))
det(A) = ...
i1 =1 in =1

aσ(1),1 · · · aσ(n),n (σ)
=
σ∈Sn

wobei wir auch (D8) verwendet haben.


Beispiel 7.12
Mit Regel (D14) berechnet man

a11 a12 a13
d3 := a21 a22 a23
a31 a32 a33

nach folgender Formel:

d3 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 ’ a11a23a32 ’ a12a21a33 ’ a13a22a31

Hierzu hat man lediglich die Kenntnis von S3 einzubringen.
Die Formel, die auch Regel von Sarrus heißt, kann man sich leicht merken durch fol-
gende Stutze:
¨
Man schreibt den ersten und zweiten Spaltenvektor der Matrix hinter die drei Spalten der
Matrix; die drei Produkte der Hauptdiadonalen ergeben die positiven Summanden, die
drei Produkte der Nebendiagonalen ergeben die Summanden mit dem negativen Vorzei-
2
chen.


Bemerkung 7.13
Man sollte nicht der Versuchung unterliegen, die Formeln aus (D14) als e¬ektive Methode
zur Berechnung einer Determinante anzusehen: Bei der Auswertung fallen n!(n’ 1) (teue-
re) Multiplikationen an, abgesehen von den (etwas billigeren) Additionen.1 Die Methode
der Wahl zur Berechnung einer Determinante sollte das Gaußsche Eliminationsverfahren
zusammen mit (D12) und (D13) sein. Hier fallen nur etwa 2n2 Multiplikationen an. 2


Bemerkung 7.14

Die Stirlingsche Formel sagt, daß n! sich etwa wie nn e’n 2πn verhalt.
1
¨
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Aus der Formel
(σ)aσ(1),1 · · · aσ(n),n
det(A) =
σ∈Sn

fur eine Matrix A = (aij )i=1 (1 )n , j =1 (1 )n kann man die Regel det(At ) = det(A) auch
¨
ableiten. Dies geht so:

(σ)a1,σ(1) · · · an,σ(n)
det(At) =
σ∈Sn

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