<<

. 41
( 63 .)



>>


(σ ’1)aσ’1 (1),1 · · · aσ’1 (n),n
=
σ∈Sn

(σ )aσ (1),1 · · · aσ (n),1
=
σ ∈Sn
= det(A)

2

Satz 7.15
F¨r A ∈ IK n,n sind ¨quivalent:
u a

(a) A ∈ GLn (IK ) .

(b) det(A) = 0 .

Zusatz: Ist A ∈ GLn (IK ), dann gilt det(A’1) = (det(A))’1 .
Beweis:
(a) =’ (b) und der Zusatz folgen aus E = A A’1 mit dem Multiplikationssatz.
Zu (b) =’ (a). Aus det(A) = 0 folgt rg(A) = n, d.h. A ist invertierbar.

Erinnert sei nun an die spezielle orthogonale Gruppe

SO(n) := {A ∈ O(n)| det(A) = 1}

wobei O(n) := {A ∈ IRn,n |AtA = AAt = E} die orthogonale Gruppe ist. Aus den obigen
Ergebnissen folgt sofort, daß SO(n) mit der Matrixmultiplikation als Verknupfung eine
¨
Gruppe ist.

De¬nition 7.16
Sei A = (a1| . . . |an) ∈ IK n,n . Wir setzen

a# := det((a1| . . . |aj’1 |ei|aj+1 | . . . |an )) , 1 ¤ i, j ¤ n ,
ij


und nennen a# die algebraischen Komplemente von A. Die damit aufgebau-
ij
te Matrix A := adj(A) := a#
#
ji i=1 (1 )n , j =1 (1 )n heißt die zu A komplement¨re
a
Matrix oder Adjunkte.
2
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 171


Lemma 7.17
Sei A = (aij )i=1 (1 )n , j =1 (1 )n ∈ IK n,n und seien a# , 1 ¤ i, j ¤ n , die algebraischen
ij
Komplemente. Dann gilt:
a# = (’1)i+j det(Aij ), wobei Aij ∈ IK n’1,n’1 aus A durch Streichen der i’ten Zeile
ij
und j’ten Spalte entstanden ist; 1 ¤ i, j ¤ n.
Beweis:
Sei Aij ∈ IK n,n die Matrix, die aus A durch Ersetzen der j-ten Spalte durch ei ∈ IK n,1
und Ersetzen der i-ten Zeile durch ej ∈ IK 1,n entsteht. Aus (a1| . . . |aj’1 |ei|aj+1 | . . . |an )
entsteht durch elementare Spaltenumformungen diese Matrix Aij , und es gilt

det((a1| . . . |aj’1 |ei|aj+1 | . . . |an )) = det(Aij ) .

Durch (i ’ 1) Spalten“ und (j ’ 1) Zeilenvertauschungen ensteht aus Aij die Matrix


.
θ Aij

Es gilt:
det((a1 | . . . |ai’1 |ej |ai+1| . . . |an )) = det(Aij ) = (’1)i+j det(Aij ) .



Lemma 7.18
Sei A ∈ IK n,n und sei A# die zu A komplementare Matrix. Dann gilt:
¨

A A# = A# A = det(A) E .
Beweis:
Wir berechnen die Eintrage von A# A.
¨
n n
akj det((a1 | . . . |ai’1 |ek |ai+1| . . . |an ))
a# akj =
ki
k=1 k=1
n
= det((a | . . . |a | akj ek |ai+1| . . . |an ))
1 i’1

k=1
= det((a1 | . . . |a |a |a | . . . |an ))
i’1 j i+1


= δij det(A)

Also ist A# A = det(A)E. Analog A A# = det(A)E .

Gegeben sei ein Gleichungssystem
Ax = b
mit A ∈ IK n,n , b ∈ IK n,1 . Ist det(A) = 0, dann existiert A’1 und wir lesen aus Lemma
7.18 ab:
1
A’1 = A# .
det(A)
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 172


Die Losung x des Gleichungssystems ist dann also gegeben durch
¨
1
A# b .
x=
det(A)
Unter Ausnutzung der De¬nition von A# erhalten wir
1
det((a1| . . . |aj’1 | b |aj+1 | . . . |an )) , 1 ¤ j ¤ n .
xj =
det(A)
Diese Darstellung der Losungskomponenten heißt Cramersche Regel.
¨

Wie bereits fruher vermerkt, hat G.W. Leibniz (1646 “ 1716) die 3—3 “ Determinante als Hilfsmit-
¨
tel, ein lineares Gleichungssystem in 2 Unbekannten und drei Gleichungen zu l¨sen, beschrieben.
o
Von C. MacLaurin (1698 “ 1746) wurde 1748 eine L¨sungsmethode fur ein lineares 4 — 4 Glei-
o ¨
chungssystem Hilfe von Determinanten angegeben. G. Cramer (1704 “ 1752) verallgemeinerte 1750
diese Methode auf ein n — n “ Gleichungssystem (siehe Cramersche Regel). Von P.S. Laplace (1749
-1827) stammt der Entwicklungssatz, den Multiplikationssatz hat A.-L. Cauchy (1789 “ 1857) be-
wiesen. Von ihm stammt die Bezeichnung “Determinante“. Unabhangig davon hat J.L. Lagrange
¨
(1736 “ 1813) 3 — 3“ Determinanten zur Volumenmessung bei Pyramiden verwendet.


Satz 7.19
Sei n ≥ 2 und sei A = (aij )i=1 (1 )n , j =1 (1 )n ∈ IK n,n .
n
(a) F¨r jedes i ∈ {1, . . . , n} gilt det(A) = (’1)i+j aij det(Aij ) .
u
j=1

n
(b) F¨r jedes j ∈ {1, . . . , n} gilt det(A) = (’1)i+j aij det(Aij ) .
u
i=1

Beweis:
Wir beweisen nur (b). Nach Lemma 7.18 gilt A# A = det(A)E . Daraus folgt
n
a# aij
det(A) = ij
i=1
n
aij det((a1| . . . |aj’1 |ei|aj+1 | . . . |an))
=
i=1
n
(’1)i+j aij det(Aij )
=
i=1




Der Satz 7.19 enth¨lt den Laplaceschen Entwicklungssatz: Entwicklung nach der i“ten
a
Zeile ((a)), Entwicklung nach der j“ten Spalte ((b)).

Mitunter verwenden wir die auch anderswo zu ¬ndende Schreibweise
«« 
a11 · · · a1n a11 · · · a1n
¬¬ . . ·· .
. . fur det ¬¬ . . ··
. . ¨  . . 
. .
an1 · · · ann an1 · · · ann
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Beispiel 7.20
In der Ebene IR 2 arbeiten wir meist mit (den) kartesischen Koordinaten, d.h. mit den Ko-
ordinaten bezogen auf die Standardbasis e1, e2 . In vielen F¨llen vereinfachen sich Rechnun-
a
gen betr¨chtlich, wenn man bei den Rechnungen stattdessen Polarkoordinaten verwendet.
a
Dies bedeutet, die Lage eines Punktes (x, y) ∈ IR2 durch Koordinaten r ≥ 0, φ ∈ [0, 2π)
gemaß
¨
x = r cos(φ) , y = r sin(φ)
auszudrucken. Fur (x, y) = (0, 0) hat man
¨ ¨
y x
x2 + y 2 , φ = arctan ( ) fur x = 0, φ = arcctg ( ) fur y = 0 .
r= ¨ ¨
x y
Die Abbildung

(0, ∞) — [0, 2π) (r, φ) ’’ (r cos(φ), r sin(φ)) ∈ IR 2

ist (unendlich oft) partiell di¬erenzierbar. Die Jakobi“Matrix J(r0, φ0 ) in einem Punkt
(r0 , φ0) ∈ (0, ∞) — [0, 2π) ist gegeben durch

cos(φ) r sin(φ)
J(r0, φ0 ) := .
sin(φ) r cos(φ)

Fur ihre Determinante erhalten wir
¨

det J(r0, φ0) = r0 > 0 .

(Nichtlineare Transformationen mit der Eigenschaft, daß die Jakobimatrix regular ist,
¨
2
haben die Eigenschaft, daß sie sich lokal invertieren lassen (siehe Analysis II).)

Beispiel 7.21
Das Interpolationsproblem fur Polynome lautet:
¨
Gegeben: (Stutz“)Punkte t1, . . . , tn ∈ IR, (Stutz“)Werte y1 , . . . , yn ∈ IR .
¨ ¨
n’1
xj tj mit p(ti ) = yi , 1 ¤ i ¤ n .
Gesucht: Polynom p(t) :=
j=0

(Der Grad des gesuchten Polynoms ist so gewahlt, daß die Anzahl der Interpolationsfor-
¨
derungen gleich der Anzahl der Freiheitsgrade (Koe¬zienten des Polynoms) ist.)
Die Wortwahl “Interpolationsproblem“ wird klar, wenn man sich die Daten y1 , . . . , yn als
Werte einer Funktion auf IR vorstellt.
O¬ensichtlich ist die Aufgabe aquivalent zum linearen Gleichungssystem
¨
Ax = y,

wobei y t = (y1 , . . . , yn ) ∈ IR 1,n und
« 
1 t1 t12 · · · t1n’1
¬ ·
1 t2 t22 · · · t2n’1
¬ ·
A = A(t1, . . . , tn ) := ¬ · ∈ IK n,n
. .
¬ ·
. .
 
. .
1 tn tn · · · tn
2 n’1
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ist. Dieses Gleichungssystem besitzt genau eine L¨sung, da die Determinante von A nicht
o
verschwindet, denn

(tj ’ ti ) .
det(A) = det(A(t1, . . . , tn)) =
1¤i<j¤n

Der Beweis dazu geht so:
Zu k = n(’1)2 subtrahiere das t1“ fache der (k ’ 1)“ten Spalte von der k“ten Spalte.
Dies ergibt eine Matrix, die e1 als erste Zeile und

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