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. 43
( 63 .)



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IK so hinschreiben:

B #(») = C0 + C1 » + · · · + Cn’1 »n’1 .

Nach De¬nition des Komplements gilt

(»E ’ A) B # (») = det(»E ’ A)E .

Ein Koe¬zientenvergleich liefert die Gleichungen

’AC0 = a0 E, ’AC1 + C0 = a1E, . . . , ’ACn’1 + Cn’2 = an’1 E, Cn’1 = E .

Indem man hier die k-te Gleichung mit Ak multipliziert (k = 0, . . . , n) und die Ergebnisse
addiert, kommt man zur Beziehung

˜ = a0E + a1A + . . . + an’1 An’1 + An = p(A).



Nun ist auch klar, wie das Minimalpolynom eines Endomorphismus L, losgel¨st von der
o
Annahme, daß L split uber dem Skalark¨rper ist, de¬niert werden kann. Es existiert ja
o
¨
nun o¬ensichtlich ein Polynom p kleinsten Grades mit p(L) = ˜.
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 179


De¬nition 7.29
’’
Sei X ein endlichdimensionaler IK “ Vektorraum und sei L : X X ein
Endomorphismus. Das eindeutig bestimmte Polynom
k’1 k’1
alx ∈ IK [x]
k l k
alLl = ˜
x+ mit L+
l=0 l=0


2
heißt das Minimalpolynom von L; wir schreiben dafur µL .
¨



Beispiel 7.30
Sei X := IR 2 und sei der Endomorphismus L : X ’’ X dargestellt durch die Matrix

0 ’1
∈ IR 2,2 .
A :=
10

Das charakteristische Polynom ist o¬enbar χL (») := »2 + 1 . Es ist identisch mit dem
Minimalpolynom. Da es keine Nullstellen in IR 2 hat, ist der Endomorphismus nicht split
2
uber IR . Klar, uber C ist der Endomorphismus split.
¨ ¨

Mit etwas Kenntnissen aus der Theorie der Ideale im Polynomring IK [x] leitet man ab,
daß µL ein Teiler des charakteristischen Polynoms χL ist und daß χL ein Teiler von
n
µL (n = dimIK X) ist.


7.5 Orientierung
In IR 1 kann man eine “Orientierung“ einfuhren, indem man einen Halbstrahl der Zahlenge-
¨
raden als positiv auszeichnet.
In IR 2 erh¨lt man eine “Orientierung“, indem man einen Drehsinn als positiv auszeichnet.
a
Im allgemeinen ist dies der Gegenuhrzeigersinn.
Im IR 3 schließlich kann man eine “Orientierung“ einfuhren, indem man einen “Schrau-
¨
bungssinn“ als positiv auszeichnet. Der Physiker hat dafur die sogenannte Drei¬ngerregel
¨
parat.
Allgemein l¨ßt sich eine Orientierung mittels geordneter Basen einfuhren. Davor nochmals
a ¨
2 2
ein Blick auf IR . In IR gibt es zwei verschiedene Drehrichtungen. Man gebe sich eine
Basis {a1, a2 } vor. Die Gerade L({a1 }) kann durch die Gleichung

det(a1 |x) = 0

beschrieben werden. Damit gibt es die zwei Halbebenen

det(a1|x) > 0 , det(a1|x) < 0 .

Die beiden Orientierungen lassen sich also dadurch unterscheiden, ob

det(a1|a2 ) > 0 oder det(a1|x) < 0
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 180


gilt. Welche Orientierung als positiv ausgezeichnet wird, ist willkurlich.
¨


De¬nition 7.31
Zwei geordnete Basen {x1, . . . , xn}, {y 1, . . . , y n} im IR “ Vektorraum X heißen
¨
gleich“orientiert, falls det(A) > 0 f¨r die Ubergangsmatrix A gilt.
u
2

¨
Die Relation “gleich“orientiert“ ist eine Aquivalenzrelation. Die Eigenschaften Re¬‚exivi-
t¨t, Symmetrie, Transitivit¨t folgen aus
a a

det(E) = 1, det(A’1 ) = det(A)’1 , det(AB) = det(A) det(B).

Die Klasseneinteilung ist einfach; sie fuhrt auf zwei Klassen. Wiederum ist es willkurlich,
¨ ¨
welche Klasse von geordneten Basen als positiv orientiert bezeichnet wird. Beachte, daß
es wirklich auf die Reihenfolge in der Angabe der Basis ankommt: Bei Vertauschung von
zwei Basiselementen wechselt die Basis die Klasse.


Beispiel 7.32
Sind in IR 3 die beiden Basen {e1, e2 , e3} und {e1, e1 + e2, e1 ’ e3 } gleichorientiert?
¨
Die Ubergangsmatrix ist « 
1 11
¬
1 0·
A :=  0 
0 ’1
0
2
und damit det(A) = ’1 < 0. Also sind die Basen nicht gleichorientiert.


De¬nition 7.33
Einen endlich“dimensionalen IR “ Vektorraum mit einer in ihm gew¨hlten Orientie-
a
rung, d.h. mit einer als positiv ausgezeichneten Klasse von Basen, nennt man einen
2
orientierten Raum.



Man l¨se ein Etikett von einer Thun¬schdose ab, gebe dem Papierstreifen eine halbe Drehung und
o
klebe ihn so zusammen, daß die blanke Innenseite nahtlos in die beschriftete Außenseite ubergeht.
¨
Auf diese Weise bekommt man ein M¨biusband mit all seinen seltsamen Eigenschaften. Erstens,
o
das Mobiusband hat nur eine Seite. Man entdeckt dies, wenn man versucht, das Mobiusband auf
¨ ¨
einer Seite rot und auf der anderen Seite blau zu f¨rben. Zweitens, man kann es nicht teilen,
a
wenn man es entlang der Mittellinie durchschneidet. Drittens, es ist nicht orienterbar. Man sieht
dies, wenn man ein kleines Koordinatenkreuz entlang der Mittellinie uber das M¨biusband schiebt:
o
¨
Wenn man einmal rum ist, kommt das Koordinatenkreuz nicht zu Deckung.
Dieses aufregende (topologische/geometrische) Objekt wurde von A.F. M¨bius (1790 “ 1868) ent-
o
deckt.

Wir fuhren nun ein Vektorprodukt, d.h. ein “Produkt“ von zwei Vektoren, das wieder ein
¨
Vektor ist, so ein, daß gilt:
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 181


Sind x, y ∈ IR3 linear unabh¨ngig und ist x — y das zugeh¨rige Vektorprodukt, dann ist
a o
x, y, x — y eine positiv orientierte Basis von IR (e , e , e ist als positiv orientierte Basis
3 123

festgelegt).
Da das Vektorprodukt auch linear in jedem Argument sein soll, muß dann notwendiger-
weise gelten:
e1 — e2 = e3 , e2 — e3 = e1 , e3 — e1 = e2 .


De¬nition 7.34
Sei IK ein K¨rper. Unter dem Vektorprodukt x — y von x, y ∈ IK 3,1 versteht man
o
den Vektor « 
x 2 y3 ’ x 3 y2
¬ ·
x — y :=  x3 y1 ’ x1 y3  ∈ IK 3,1 .
x 1 y2 ’ x 2 y1
2

Das Bildungsgesetz l¨ßt sich leicht merken, indem man die Entwicklung einer Determi-
a
nante nach einer Spalte in sehr formaler Weise verwendet:

e 1 x 1 y1
x 2 y2 xy xy
x — y := e2 x2 y2 ’ e2 1 1 + e3 1 1
:= e1 .
x 3 y3 x 3 y3 x 2 y2
e 3 x 3 y3

Bei der Einfuhrung des Vektorprodukts haben wir Spaltenvektoren verwendet. Es ist klar,
¨
daß wir damit auch ein Vektorprodukt in IK 3 zur Verfugung haben. Diesen Standpunkt
¨
nehmen wir nun ein und unterscheiden in diesem Zusammenhang nicht zwischen Spalten-
vektoren und Tupeln.
Unter Verwendung des euklidischen Skalarprodukts < ·, · > in IR 3 b haben wir folgende
Rechenregeln:

(R1) x — y = ’y — x , x — x = θ .

(R2) (ax + by) — z = ax — y + by — z .

(R3) x — (ay + bz) = ax — y + bx — z .

(R4) x — (y — z) =< x, z > y ’ < x, y > z . (Grassmann “ Identitat)
¨
(R5) x — (y — z) + y — (z — x) + z — (x — y) = θ . (Jakobi “ Identitat)
¨
(R6) < x — y, z >= det((x|y|z)) .

(R7) < x, x — y >=< y, x — y >= 0 .

< x, x > < x, y >
(R8) |x — y|2 = |x|2|y|2’ < x, y >2 = det
< x, y > < y, y >

(R9) |x — y| = |Ax — Ay| fur A ∈ O(3).
¨
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 182


(R10) |x — y| = |x||y| sin(θ), < x, y >= |x||y| cos(θ), 0 ¤ θ ¤ π.


Bemerkung 7.35
IR 3 zusammen mit der Vektoraddition und dem Kreuzprodukt als “Multiplikation“ ist
eine nichtkommutative Algebra, die statt assoziativ zu sein, die Jakobi “ Identit¨t (R5)
a
2
erfullt. Eine solche Algebra heißt Lie“Algebra.
¨

Von der Orientierung der Basen gelangt man zu einem orientierten Volumen von Parallel-
epipeds. Ein solches Parallelepiped wird aufgespannt durch eine Basis x1, . . . , xn gem¨ß
a
± 
 
n
aj xj |0 ¤ aj ¤ 1, 1 ¤ j ¤ n
P := .
 
j=1

Das Volumen von P ist gegeben durch det(x1 | · · · |xn) und wir sehen, daß es positiv ist,
falls die Standardbasis {e1 , . . . , en} und die Basis {x1 , . . . , xn } gleichorientiert sind.


7.6 Anwendung: Gleichungen der Mechanik *
An den Anfang der eines kurzen Abrisses der Mechanik sollten wir Newtons Grundgesetze
in ihrer ursprunglichen Formulierung stellen:
¨
• Jeder K¨rper verharrt in seinem Zustand der Ruhe oder der gleichf¨rmig ge-
o o
radlininigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kr¨fte gezwungen wird,
a
seinen Bewegungszustand zu ¨ndern.
a
• Die Anderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportio-

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