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. 44
( 63 .)



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¨
nal und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene
Kraft wirkt.

• Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich; oder die Wirkungen zweier K¨rper
o
aufeinander sind stets gleich und von entgegengesetzter Richtung.

Mit Korper sind zunachst Massenpunkte, das sind punktformige Teilchen, gemeint. Fur
¨ ¨ ¨ ¨
die folgenden Betrachtungen sehen wir von der raumlichen Ausdehnung eines physikali-
¨
schen Korpers/Massenpunktes zunachst also ab.
¨ ¨
Fur die Beschreibung der Bewegung des Massenpunktes “ wir sprechen von Bewegung,
¨
wenn sich im Ablauf der Zeit die Koordinaten des Korpers in einem gewahlten Koordina-
¨ ¨
tensystem andern “ wahlen wir ein geeignetes Koordinatensystem, etwa die drei Kanten
¨ ¨
des Labors, die in einer Ecke als Ursprung zusammenstoßen; siehe Bemerkung 6.31.
Die Zeit spielt in der nichtrelativistischen Mechanik eine Sonderrolle. Die tagliche Erfah-
¨
rung sagt uns, daß die Zeit universell zu sein scheint, d.h. daß sie unbein¬‚ußt von den
physikalischen Gesetzen ablauft. Wir beschreiben die Zeit durch einen eindimensionalen
¨
a¬nen Raum oder, nach Wahl eines Nullpunktes, durch die reelle Gerade IR .
Sind P (t) ∈ IR3 die Koordinaten des Massenpunktes zur Zeit t, so heißt
’’
r(t) := OP (t)
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 183


der Ortsvektor der Bewegung, wobei O als Koordinatenursprung angenommen wird. Der
Geschwindigkeitsvektor ist de¬niert als zeitliche Ver¨nderung des Ortsvektors:
a
d
v(t) := r(t) :=
™ r(t) .
dt
Der Beschleunigungsvektor ist
d
b(t) := v(t) :=
™ v(t) .
dt
(Die Notation r, v ist von den Physikern “geliehen“.) Der Geschwindigkeitsvektor v ist
™™
eigentlich ein Tangentialvektor an die Bahnkurve t ’’ r(t) und liegt daher im Tangen-
tialraum an die Mannigfaltigkeit der Ortsvektoren an der Stelle r. Hier k¨nnen wir aber
o
3
zun¨chst noch diesen Tangentialraum mit IR identi¬zieren, in allgemeiner Situation hat
a
man auf die Theorie der Mannigfaltigkeiten zuruckzugreifen.
¨

Eine Einwirkung auf einen Massenpunkt, die eine Bewegung hervorrufen kann, bezeich-
net man als Kraft. Eine Kraft K besitzt einen Angri¬spunkt, hat eine Gr¨ße und eine
o
Richtung. (Eine besonders o¬ensichtlicher Fall einer Krafteinwirkung ist die Schwerkraft:
Jeder K¨rper erf¨hrt auf der Erdober¬‚¨che eine Krafteinwirkung nach unten, n¨mlich sein
o a a a
Gewicht. Damit kann eine Krafteinheit (Kilopond) festgelegt werden. Außer der Schwer-
kraft gibt es elektrische , magnetische, . . . Kr¨fte.)
a
Die gleichf¨rmig geradlinige Bewegung ist eine Bewegung mit konstanter Geschwindig-
o
keit. Bezugssysteme (Koordinatensysteme), in denen alle kr¨ftefreien Bewegungen eines
a
K¨rpers geradlinig sind, heißen Inertialsysteme. In solchen Inertialsystemen hat das
o
Newtonsche Gesetz der Mechanik die Form
mb = K .
Hierbei ist der Skalar m die Masse des K¨rpers, ein Maß fur die Tr¨gheit (Beharrungsver-
o a
¨
m¨gen) des K¨rpers. Die Masseneinheit ist die Masse des Archivkilogramms, die Masse
o o
der Volumeneinheit eines homogenen K¨rpers wird Dichte genannt. K kann eine Funktion
o
von (t, r, v) sein.
Statt mb = K kann man auch schreiben
d
(mv) = K .
dt
In dieser Form ist das Gesetz auch gultig bei veranderlicher Masse, etwa bei der Be-
¨ ¨
schreibung der Bewegung einer treibsto¬verbrennenden Rakete. Die Große P := mv heißt
¨
Impuls oder Bewegungsgroße. Wenn also keine Krafteinwirkung vorliegt, bleibt der Impuls
¨
konstant.

Isaac Newton (1643 “ 1727) gibt in seiner Arbeit “Philosophia naturalis pricipia mathematica“ eine
axiomatische Grundlage der klassischen Mechanik. Sie enth¨lt das Gravitationsgesetz, das Gesetz,
a
nach dem ein Apfel zur Erde f¨llt und das den Mond auf seiner Bahn um die Erde h¨lt. Sein
a a
¨
Aktionsprinzip lautet so: Die auf eine Zeiteinheit bezogene Anderung der Bewegungsgr¨ße ist der
o
Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht in der Richtung, in der jene Kraft
angreift.
I. Newton und G. W. Leibniz (1646 “ 1716) “fanden“ die Di¬erential“ und Integralrechnung fast
gleichzeitig und unabhangig voneinander.
¨
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 184


Beispiel 7.36
Betrachte die Schwingung einer an einer Feder aufgeh¨ngten Masse.
a
Es bezeichne x(t) die Auslenkung der punktf¨rmigen Masse aus der Ruhelage zur Zeit t.
o
Aus einem Hauptsatz der Newtonschen Mechanik folgt
mx (t) = f(t) (7.2)
wobei m die Masse ist und f(t) die Gesamtheit der zur Zeit t auf die Masse wirkenden
Kr¨fte darstellt. Nach dem Hookschen Gesetz ist die Ruckstellkraft fh (t) der Feder zur
a ¨
Zeit t gegeben durch
fh (t) = ’cx(t)
wobei c > 0 die sogenannte Federkonstante ist. Wird auch die Reibungskraft fr (mit Luft,
¨
in einem Olbad,. . .) berucksichtigt, so ist ein modellhafter Ansatz
¨
fr (t) := ’2d x (t)
wobei x (t) fur die Geschwindigkeit zur Zeit t steht und 2d > 0 eine Reibungskonstante
¨
ist, die wir zweckm¨ßigerweise zu 2d angesetzt haben. Damit bekommt man aus (7.2)
a
mx (t) = fh (t) + fr (t) = ’cx(t) ’ 2dx (t) , (7.3)
also
x (t) + 2dx (t) + cx(t) = 0 . (7.4)
Dabei haben wir die Masse nun der Einfachheit halber auf den Wert 1 gesetzt.
(7.4) ist nun eine Di¬erentialgleichung zweiter Ordnung, die wir durch Einfuhrung der
¨
Auslenkung z1 := x und der Geschwindigkeit z2 := x als Variablen in ein System um-
schreiben:
0 1
z = A z mit A = . (7.5)
’c ’2d
Nun haben wir die Beobachtung, daß
z(t) := e»tz0 , t ∈ IR ,
eine L¨sung des Systems (7.5) ist, falls » ∈ IR ein Eigenwert von A und z0 ein Eigenvektor
o
dazu ist. Dies folgt aus:
z (t) = »e»t z0 , Ae»tz0 = e»tAz0 = e»t»z0 .
Aus
’1
»
=0
c » + 2d
folgt √
= ’d ± d2 ’ c .
»1/2
Nun hat man drei F¨lle zu unterscheiden:
a

Fall 1: d2 ’ c > 0 .
Hier haben wir zwei verschiedene Eigenwerte und wir erhalten dazu die zwei Losungen
¨
z 1 (t) := e»1t z0,1 , z 2 (t) := e»2t z0,2 ,
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 185


wobei z0,1, z0,2 die zugehorigen Eigenvektoren sind.
¨

Fall 2: d2 ’ c < 0 .
Hier haben wir erneut zwei verschiedene Eigenwerte und wir erhalten dazu die zwei
“L¨sungen“
o
z 1 (t) := e»1t z0,1 , z 2 (t) := e»2t z0,2 ,
wobei z0,1, z0,2 die zugeh¨rigen Eigenvektoren sind. Dies kann uns aber nicht zufriedenstel-
o
len, denn hier sind ja die Eigenwerte »1/2 komplex, ein Umstand, der nicht zum Anliegen,
ein reelles Ph¨nomen zu studieren, paßt. (Die Tatsache, die Exponentialfunktion auch
a
fur komplexe Exponenten erkl¨ren zu mussen, wollen wir ubergehen, es ist m¨glich! Be-
a o
¨ ¨ ¨
achte auch, daß wir nun die Eigenvektoren in C 2 zu suchen haben.) Der Ausweg ist die
Beobachtung, daß

z 1(t) := ((e»1t z0,1)) , z 2 (t) := ((e»1t z0,1)) ,

zwei (verschiedene) L¨sungen sind.
o

Fall 3: d2 ’ c = 0 .
Dies ist der sogenannte Grenzfall. Hier haben wir nur einen zweifachen Eigenwert und wir
erhalten dazu die L¨sung
o
z 1(t) := e»1 tz0,1 .
Woher eine zweite L¨sung nehmen? Dazu w¨re zuerst zu kl¨ren, warum wir nach einer
o a a
zweiten L¨sung suchen sollten. Der Grund dafur ist, daß bei der Anfangsvorgabe zur Zeit
o ¨
t = 0 zwei Freiheitsgrade vorliegen: Es kann die Auslenkung und die Geschwindigkeit
vorgegeben werden. Um diese Vorgaben erfullen zu k¨nnen, ben¨tigen wir im allgemeinen
o o
¨
zwei (linear unabh¨ngige) L¨sungen.
a o
Die zweite L¨sung ¬nden wir mit einem Ansatz
o

z(t) := e»1 tz0 (t) ,

wobei jede Komponente von z0(t) nun keine Konstante, sondern ein Polynom vom Grad
kleiner gleich 1 ist. Auf die Begrundung wollen wir verzichten, als Rezept hilft es allemal
¨
2
weiter.


Beispiel 7.37
Betrachte das obige Beispiel mit den Zahlenwerten d = 1 und c = 1. Es liegt dann der
Grenzfall vor. Die “erste“ Losung ist in Zeilenschreibweise
¨
z 1(t) = (e’t , ’e’t ) , t ∈ IR .

Die zweite L¨sung ¬nden wir mit dem Ansatz (in Zeilenschreibweise)
o

z 2 (t) = (e’t (a + bt), e’t(c + dt)) , t ∈ IR .

Es ergibt sich durch Koe¬zientenvergleich “ Polynome stimmen uberein genau dann,
¨
wenn die Koe¬zienten ubereinstimmen “ als eine zweite L¨sung
o
¨

z 2(t) = (te’t , (1 ’ t)e’t) , t ∈ IR .
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 186


2
Bisher hatten wir den vorliegenden K¨rper als Massenpunkt (ohne Ausdehnung) betrach-
o
tet. Bei ausgedehnten K¨rpern ist die Annahme, daß die Kr¨fte alle an demselben Punkt
o a
angreifen, nicht zu halten. Wir sehen von Deformationen ab und betrachten nun einen
sogenannten starren K¨rper. Die angreifenden Kr¨fte k¨nnen nun neben beschleunig-
o a o
ten Parallelverschiebungen auch Drehungen bewirken. Fur ihre Beschreibung treten an
¨
die Stelle von Kraft, Masse, Beschleunigung die Begri¬e Drehmoment, Tr¨gheitsmoment,
a
Winkelbeschleunigung. ’’
In einem Punkt P eines K¨rpers mit Ortsvektor r := OP greife eine Kraft an. Der K¨rper
o o
werde in O festgehalten. Dann heißt

DP := r — K

das (resultierende) Drehmoment. An die Stelle von mb = K tritt nun

˜ ω = D.


Hierbei ist ˜ das Tr¨gheitsmoment, ω die Winkelgeschwindigkeit um eine fest gew¨hlte
a a
Achse, ω die Winkelbeschleunigung und D die Summe aller Drehmomente. (Das Tr¨gheits-
™ a
’’
moment einer punktf¨rmigen Masse in Bezug auf den Ortsvektor r := OP ist ˜ = m|r|2.)
o
Betrachten wir etwa eine (masselose) Stange, an der an den Enden im Abstand r1 bzw.
r2 vom Au¬‚agepunkt Massen m1 bzw. m2 angebracht sind. Damit sich die Stange nicht

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