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. 45
( 63 .)



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um ihren Au¬‚agepunkt dreht, mussen die Drehmomente entgegengesetzt gleich sein. Dies
¨
bedeutet in eindimensionaler Betrachtung:

r1 m1g = r2 m2g oder r1 m1 = r2m2

Hierbei ist g die Gravitationskonstante.
Also dreht sich die Stange nicht, wenn die Stange im Schwerpunkt unterstutzt wird. Er
¨
teilt die Stange im Verh¨ltnis r1 : r2 = m2 : m1
a

Betrachten wir nun als Beispiel die Bewegung eines Massenpunktes in einem Zentralfeld.
Als Anwendung kann man sich dann die Bewegung eines Planeten um die Sonne vorstellen.
Weist jeder Vektor K(x, y, z) eines Kraftfeldes K im Raum IR3 auf ein und denselben
Punkt θ, so nennen wir das Kraftfeld K ein Zentralkraftfeld. Dies bedeutet, daß wir

K(x, y, z) = f(x, y, z)(x, y, z) , (x, y, z) ∈ IR 3 \{θ}

haben mit einer Funktion f : IR 3 \{θ} ’’ IR .
Unter dem Ein¬‚uß einer solchen Kraft moge nun ein Punkt mit Masse m sich bewegen.
¨
Sind r(t) := (x(t), y(t), z(t)) die Koordinaten zur Zeit t, dann ist nach dem Newtonschen
Kraftgesetz
m(¨(t), y(t), z(t)) = f(x(t), y(t), z(t))(x(t), y(t), z(t)) .
x ¨ ¨
Daraus folgt (ohne Argumente) f r — r = mr — r , und da r — r verschwindet, erhalten wir
¨
die Gleichung r — r = θ. Da o¬enbar dt (r — r) = r — r + r — r = r — r gilt, muß also die
d
¨ ™ ¨™™ ¨
Ableitung von r — r verschwinden und somit r — r dauernd konstant sein. Dies zeigt, daß
™ ™
der Drehimpuls mr — r konstant ist. Dies ist ein wichtiges Ergebnis: In einem Zentralfeld

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 187


ist der Drehimpuls konstant.
Sei nun d dieser zeitunabh¨ngige Drehimpuls. Ist d = θ, dann sind r und r linear abh¨ngig
a ™ a
und die Bewegung des Massenpunktes ¬ndet auf einer Geraden statt. Ist d = θ, folgt aus
< d, r >=< r, r — r >= 0, daß der Massenpunkt sich st¨ndig in einer Ebene be¬ndet, die
™ a
orthogonal zu d ist. Es liegt also eine ebene Bewegung vor. Fur die Planetenbewegung
¨
bedeutet dies, daß die Planeten sich in einer Ebene durch den Nullpunkt, in dem die Sonne
sich be¬ndet, bewegen. W¨hlt man nun diese Ebene als die Ebene z = 0, so erhalten wir
a

xy ’ y x = d0 , (d0 eine reelle Konstante)
™ ™

Fuhren wir die Polarkoordinaten gem¨ß
a
¨

x(t) = a(t) cos φ(t), y(t) = a(t) sin φ(t)

ein, dann zeigt eine einfache Rechnung

a(t)2φ(t) = d0 .

Da die Fl¨che F (t1, t2), die der Bewegungsstrahl in dem Zeitintervall [t1, t2] uberstreicht,
a ¨
durch
t2

a(t)2φ(t)dt = 1/2(t2 ’ t1)d0
F (t1, t2) = 1/2
t1

gegeben ist, ergibt sich der Fl¨chensatz: In einem Zentralfeld uberstreicht der Radius-
a ¨
vektor der Bewegung in gleichen Zeiten gleiche Fl¨chen. Durch eine genauere Analyse
a
erhalten wir fur die Planetenbewegung die sogenannten Keplerschen Gesetze:
¨
1. Keplersches Gesetz Die Bahnen der Planeten sind Ellipsen, in derem einem Brenn-
punkt die Sonne ist.

2. Keplersches Gesetz Der von der Sonne zu einem Planeten weisende Radiusvektor
uberstreicht in gleichen Zeiten gleiche Fl¨chen,
a
¨

3. Keplersches Gesetz Das Verh¨ltnis zwischen dem Quadrat der Umlaufzeit und dem
a
Kubus der großen Achse (der Bahnellipse) ist fur alle Planeten des Sonnensystems
¨
gleich.


Die beiden ersten Gesetze ver¨¬entlichte Johannes Kepler (1571 “ 1630) 1609, das dritte 1619.
o
Er schloß damit eine Etappe der Revolution in der Astronomie aufbauend auf die Arbeiten von
Kopernikus und Tycho Brahe ab. Newton konnte diese empirisch aufgestellten Gesetze aus seinem
Gravitationsgesetz in strenger mathematischer Beweisfuhrung ableiten. Die von ihm gefundene
¨
Di¬erential“ und Integralrechnung spielte als Hilfsmittel eine uberragende Rolle.
¨

Wichtige Eigenschaften des Raumes der physikalischen Bewegungen sind seine Homoge-
nit¨t (“er sieht uberall gleich aus“) und seine Isotropie (“alle Richtungen sind gleich-
a ¨
berechtigt“). Fur die Zeit gibt es eine Ordnung der Zeitpunkte in fruher bzw. sp¨ter,
a
¨ ¨
Vergangenheit und Zukunft. Faßt man den momentanen Ort eines Teilchens und den
Zeitpunkt, zu dem dieser Ort angenommen wird, zu (x, t) ∈ IR 3 — IR zusammen, so spricht
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 188


man von einem Ereignis. Diese Zusammenfassung von Raum und Zeit wird in der re-
lativistischen Physik besonders wichtig, weil dort eine tiefere Symmetrie von Raum und
Zeit herrscht. In der nichtrelativistischen Mechanik spielt die Zeit nur die Rolle eines
Parameters, vergleichbar mit den Parametern bei der Beschreibung von Kurven.

Man macht sich klar, daß die allgemeinste Transformation, die Inertialsysteme in Iner-
tialsysteme abbildet, folgende Form haben muß:

’’ mit A ∈ O(3) , w ∈ IR 3 ,
x Ax + wt + x
¯
’’ mit » = ±1 .
t »t + s

Es ist sinnvoll, fur eine solche Transformation noch det(A) = 1 und » = 1 zu verlangen.
¨
Diese Transformationen heißen dann Galilei“Transformationen. Sie bilden eine Grup-
pe, die sogenannte eigentliche orthochrone Galilei“Gruppe. Hierin verbergen sich
10 freie Parameter (6 fur A, 3 fur w, 1 fur s). Sie entsprechen den 10 Erhaltungsgr¨ßen
o
¨ ¨ ¨
Impuls, Drehimpuls, Schwerpunkt, Energie.
Kapitel 8

Euklidische Vektorr¨ume
a

Wir betrachten nun die Begri¬e Lange“ und Winkel“ in allgemeinem Rahmen. Daraus
¨
” ”
entwickeln sich dann Orthogonalitat“, Orthonormalbasis“ und Normalformen“ sym-
¨
” ” ”
metrischer Endomorphismen.


8.1 Normierte R¨ume
a

De¬nition 8.1
Sei IK ∈ {IR, C } und sei X ein IK -Vektorraum. Eine Abbildung · : X ’’ IR
heißt Norm genau dann, wenn gilt:

x ≥ 0 fur alle x ∈ X und es gilt x = 0 genau dann, wenn x = θ.
(1) ¨

ax = |a| x fur alle x ∈ X, a ∈ IK .
(2) ¨
x + y ¤ x + y fur alle x, y ∈ X.
(3) ¨

Das Paar (X, · ) heißt dann ein normierter Raum.
2
Die Eigenschaften aus De¬nition 8.1 hatten wir bereits in Lemma 6.12 kennengelernt. Es
besagt damit, daß der euklidische Abstand eine Norm darstellt. Im nachsten Abschnitt
¨
ordnen wir dies allgemein ein.
Man sieht auch sehr schnell, daß ein normierter Raum (X, · ) mit der Metrik

d:X —X (x, y) ’’ x ’ y ∈ IR

zu einem metrischen Raum wird. Wir k¨nnen daher (wie in der Analysis) die topologi-
o
schen Begri¬e o¬en, abgeschlossen, kompakt“ erkl¨ren. Dazu noch eine Bezeichnung:
a

Die abgeschlossene Kugel um x ∈ X mit Radius r > 0 ist die Menge
0


Br (x0) := {x ∈ X| x ’ x0 ¤ r}.




189
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 190


De¬nition 8.2
Sei (X, · ) ein normierter Raum und sei M ‚ X.

(a) M heißt o¬en, wenn fur jedes x0 ∈ M eine Kugel Br (x0 ), r > 0, existiert
¨
mit Br (x ) ‚ M.
0


(b) M heißt abgeschlossen, wenn X\M o¬en ist.
¨
(c) M heißt kompakt, wenn zu jeder o¬enen Uberdeckung

M‚ Ui , Ui o¬en fur alle i ∈ I,
¨
i∈I

Indizes i1 , ..., il ∈ I gibt mit
l
M‚ Uik .
2
k=1




Beispiel 8.3
Sei X := C n . Wir haben zu p ∈ [1, ∞) die Norm
n
1
· x ’’ ( |xi |p) p ∈ IR .
:X
i=1

Die Normeigenschaften sind bis auf die Dreiecksungleichung sofort klar. Ist p = 1, dann ist
die Dreiecksungleichung eine einfache Konsequenz aus der Gultigkeit dieser Ungleichung
¨
fur den Betrag. Sei nun p ∈ (1, ∞). Zur Veri¬kation der Dreiecksungleichung ziehen wir
¨
das nachfolgende Lemma heran. Sei q ∈ (1, ∞) mit q ’1 + p’1 = 1.
Seien x, y ∈ C n . Mit Lemma 8.4 erhalten wir:
n
|xi + yi |p
p
x+y =
i=1
n n
¤ |xi||xi + yi | |yi ||xi + yi |p’1
p’1
+
i=1 i=1
1 1 1 1
n n n n
p q p q
¤ |xi|p |xi + yi |(p’1)q |yi |p |xi + yi |(p’1)q
+
i=1 i=1 i=1 i=1
± 
1 1
1’ 1
 
n n n
p p p
¤ |xi | |yi | |xi + yi |p
p p
+ 
i=1 i=1 i=1


Daraus liest man nun die Dreiecksungleichung ab.
Erganzt wird diese Normenfamilie ( · ∈ [1, ∞)) durch
p, p
¨

· : X ∈ x ’’ max |xi| ∈ IR .

1¤i¤n
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