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. 46
( 63 .)



>>



Man rechnet fur p ∈ [0, ∞) sehr einfach die folgende Ungleichung nach:
¨
1
¤x ¤n , x ∈ Cn
x x (8.1)
p
∞ ∞
p


2
Darauf kommen wir in allgemeinerer Situation wieder zuruck.
¨

Das folgende Lemma stellt die Holdersche Ungleichung bereit.1
¨


Lemma 8.4
Seien xi , yi ∈ C , 1 ¤ i ¤ n, p ∈ IR mit 1 < p < ∞ . De¬niere q durch p’1 + q ’1 = 1.
Dann gilt
n n n n
1 1
| x i yi | ¤ |xi||yi | ¤ ( |xi | ) ( |yi |q ) q
p p

i=1 i=1 i=1 i=1

Beweis:
Als Vorbereitung fuhren wir fur a, b, r ∈ IR mit a ≥ 0, b ≥ 0, r ∈ (0, 1) die folgende
¨ ¨
Ungleichung an:
ar b1’r ¤ ra + (1 ’ r)b (8.2)
Fur a = 0 oder b = 0 ist nichts zu beweisen. Sei nun 0 < a ¤ b. Die stetige Funktion
¨

t ’’ t’r ∈ IR
[a, b]

ist monoton fallend. Daher ist
b

t’r dt ¤ (1 ’ r)(b ’ a)a’r
b1’r ’ a1’r = (1 ’ r)
a

und es folgt
ar b1’r ¤ a + (1 ’ r)(b ’ a) = ra + (1 ’ r)b .
Ist 0 < b < a, dann folgt die Aussage durch Anwendung des eben Bewiesenen nach
Vertauschung von r mit r ’ 1.
Nun zum eigentlichen Beweis.
n n
Setze r := p . Es ist dann 1 ’ r = q . Sei a := ( |xj |p )’1 |xi |p , b := ( |yj |q )’1 |yi |q fur
1 1
¨
j=1 j=1
ein festes i. Nach Ungleichung (8.2) ist
n n
p ’p
|yj |q )’ q ¤ a p b q
1 1 1 1
|xi||yi |( |xj | ) (
j=1 j=1
1 1
¤ a+ b
p q
1n 1n
( |xj | ) |xi | + ( |yj |q )’1 |yi|q
p ’1 p
=
p j=1 q j=1

Summation uber i und Umstellung ergibt die Behauptung.
¨
1
Fur a ≥ 0 sei mit a p die nicht negative Losung von xp = a bezeichnet.
1
¨ ¨
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 192


De¬nition 8.5
Sei (X, · ) ein normierter Raum. Eine Folge (xn )n∈IN in X konvergiert gegen
x ∈ X genau dann, wenn gilt:

∀µ > 0 ∃N ∈ IN ∀n ≥ N( xn ’ x < µ)

x heißt dann der (eindeutig bestimmte!) Grenzwert oder Limes von (xn )n∈IN .
2

Die Ungleichung 8.1 besagt, daß in C n die Konvergenz, betrachtet in unterschiedlichen
Normen · p , zu keinen unterschiedlichen Ergebnissen fuhrt.
¨

Lemma 8.6
Sei (X, · ) ein normierter Raum und sei A ‚ X. Dann sind ¨quivalent:
a

(a) A ist abgeschlossen.

(b) Ist (xn )n∈IN ein konvergente Folge mit xn ∈ A f¨r alle n ∈ IN ,
u
so gilt lim x ∈ A.
n
n∈IN

Beweis:
(a) =’ (b)
Sei (xn )n∈IN ein konvergente Folge mit xn ∈ A fur alle n ∈ IN . Sei x0 := lim xn .
¨
n∈IN
Annahme: x ∈ X\A.
0

Da X\A o¬en ist, gibt es µ > 0 mit Bµ (x0) ‚ X\A. Dazu gibt es N ∈ IN mit xn ∈ Bµ (x0 )
fur alle n ≥ N. Dies ist im Widerspruch zu xn ∈ A fur alle n ∈ IN .
¨ ¨
(b) =’ (a)
Annahme: A nicht abgeschlossen, d.h. X\A nicht o¬en.
Dann gibt es x0 ∈ X\A derart, daß zu jedem n ∈ IN ein xn ∈ A existiert mit x0 ’ xn <
1 n n 0
n . Dann ist aber (x )n∈IN eine Folge in A mit lim x = x . Dies ist ein Widerspruch.
n∈IN



De¬nition 8.7
Sei (X, · ) ein normierter Raum.

(a) Eine Folge (xn )n∈IN heißt Cauchyfolge in X, wenn gilt:

∀µ > 0 ∃N ∈ IN ∀n, m ≥ N( xn ’ xm < µ)

(b) (X, · ) heißt vollst¨ndig oder ein Banachraum, wenn jede Cauchyfolge
a
in X gegen ein x in X konvergiert.
2

Die Theorie der normierten R¨ume entwickelte sich aus der Theorie der metrischen R¨ume heraus.
a a
Maßgeblichen Anteil hatte S. Banach (1892 “ 1945) an dieser Entwicklung. Seine Beitr¨ge sind eng
a
verbunden mit der Begrundung der heutigen Form der Funktionalanalysis.
¨
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 193


Aus der Analysis wissen wir, daß IR und C , betrachtet als normierter Raum “ die Norm
ist der Abstand “, vollst¨ndig sind. Daraus schließt man sofort, daß auch (IR n , · ∞) und
a
( C , · ∞ ) vollst¨ndig sind. Mit der Ungleichung (8.1) folgt dann, daß sogar (IR n , · p )
n
a
und ( C , · p) , 1 ¤ p ¤ ∞, vollst¨ndig sind.
n
a

Aus der Analysis wissen wir, daß die Einheitskugel B1 (θ) in ( C n , · ∞) kompakt ist.
Meist wird dieser Sachverhalt aber so ausgedruckt:
¨
Jede beschr¨nkte Folge in B1 (θ) hat eine konvergente Teilfolge.
a
(Eine Folge (xn )n∈IN in einem normierten Raum (X, · ) heißt beschr¨nkt, falls es ein
a
r > 0 gibt mit x ∈ Br (θ) fur alle n ∈ IN .) Die Aquivalenz dieser Aussage beweist man
¨
n
¨
(in der Analysis) sehr einfach.

Wir ben¨tigen die Kompaktheit in normierten R¨umen meist in der folgenden ¨quivalen-
o a a
ten Aussage:
K ist genau dann kompakt, wenn jede Folge in K eine konvergente Teilfolge
mit Grenzwert in K besitzt.
Insbesondere ist jede kompakte Menge abgeschlossen (siehe Lemma 8.6). Fur den Beweis
¨
verweisen wir auf die Analysis.


De¬nition 8.8
Seien (X, · X ), (Y, · Y ) normierte R¨ume. Eine Abbildung f : D ’’ Y, D ‚ X
a
heißt stetig in x0 ∈ D genau dann, wenn gilt:

∀µ > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D( x ’ x0 f(x) ’ f(x0 )
< δ =’ < µ)
2
X Y




Bemerkung 8.9
Betrachte den normierten Raum ( C n , · p ), 1 ¤ p ¤ ∞, und eine Abbildung f : D ’’
C n . Die Ungleichung (8.1) besagt, daß die Stetigkeit von f auch uberpruft werden kann,
¨ ¨
wenn man die Norm · 2 gegen die Norm · ∞ austauscht. Damit fallt das Rechnen
¨
2
meist einfacher, da koordinatenweise gerechnet werden kann.


Beispiel 8.10
Sei (X, · ) ein normierter Raum. Die Normabbildung

x ’’ x ∈ IR
f :X

ist stetig. Dies folgt aus

|f(x) ’ f(x0 )| = | x ’ x0 | ¤ x ’ x0 .

2
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 194


Satz 8.11
Sei (X, · ) ein normierter Raum, sei A ‚ X kompakt und sei f : A ’’ IR stetig.
Dann gibt es x0 , x1 ∈ A mit

f(x0) = inf f(x) , f(x1 ) = sup f(x) .
x∈A x∈A

Beweis:
Es ist der Beweis nur zu einem Fall zu fuhren.
¨
Sei (xn )n∈IN eine Minimalfolge, d.h. lim f(xn ) = inf f(x) . Da A kompakt ist, enthalt diese
¨
n∈IN x∈A
0 nk
. Da f stetig ist, gilt f(x0 ) = lim f(xnk ) =
Folge eine konvergente Teilfolge: x = lim x
k∈IN k∈IN
inf f(x) .
x∈A


Karl Weierstraß (1815 “ 1897) klarte die Begri¬e “In¬mum“ und “Minimum“ vollig auf und besei-
¨ ¨
tigte damit die vorhandenen Unklarheiten, die aus der Auslassung von Existenzbetrachtungen bei
Extremalaufgaben an vielen Stellen entstanden waren; das sogenannte Dirichletproblem (P.G.L.
Dirichlet (1805 “ 1859)) war zentral dabei. Das Dirichletsche Prinzip besteht darin, eine L¨sung
o
mit Hilfe der Variationsrechnung zu ¬nden. Bis etwa 1870 blieb allerdings dabei die Frage nach
der Existenz von Minima nahezu unbeachtet; “inf“ wurde allzuoft mit “min“ gleichgesetzt.
Hier hat auch seine “Entdeckung“ der gleichm¨ßigen Konvergenz durch K. Weierstraß (von Funk-
a
tionenfolgen) seinen Platz.


Nach diesen Vorbereitungen kommen wir nun zu einer fur die Lineare Algebra in endlich-
¨
dimensionalen Vektorr¨umen wichtigen Aussage:
a

Satz 8.12
· ·
Sei X ein endlichdimensionaler Vektorraum uber IR oder C . Seien und
¨ ∼
Normen in X. Dann gibt es reelle Zahlen c1 > 0, c2 > 0 derart, daß

¤ x ¤ c2 x f¨r alle x ∈ X
c1 x u
∼ ∼


gilt.

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