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. 47
( 63 .)



>>

Beweis: n n
Sei {x1 , . . . , xn } eine Basis von X. Durch · ai xi ’’ |ai | ∈ IR wird
:X x=
0
i=1 i=1
·
o¬enbar eine Norm auf X erklart. Es ist
¨
0
n n n
¤ |ai | x ¤c
i i
a i xi
ai x 0
i=1 i=1 i=1

mit c := max xi . Damit gilt
1¤i¤n

n
a i xi ¤ c x fur alle x ∈ X
x= ¨
0
i=1

Betrachte die Abbildung
n
a ’’ ai xi ∈ IR .
n
f : IR
i=1
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 195


(Wir betrachten hier den Fall, daß der Skalark¨rper IR ist.) Es ist
o
n n
|f(a) ’ f(a )| ¤ (ai ’ ¤c |ai ’ a0| .
0
a0 )xi
i i
i=1 i=1

·
Daher ist f stetig (bezuglich der Norm 1) und nach Satz 8.11 gibt es m > 0 mit
¨
n
ai xi = f(a) ≥ m fur alle x mit x ¤ 1.
x= ¨ 0
i=1

Daraus folgt sofort
x ≥m x fur alle x ∈ X .
¨
0

·
Wendet man dies nun auch auf die Norm an, dann erhalt man die Aussage durch
¨

2
einfaches Umrechnen.

Satz 8.12 besagt, daß in einem endlichdimensionalen Vektorraum uber (IR oder C ) die
¨
induzierte Topologie von der gew¨hlten Norm unabh¨ngig ist.
a a


Satz 8.13
Sei (X, · ) ein normierter Raum. Dann gilt:

(a) Ist dim X < ∞ , so ist (X, · ) vollstandig.
¨
(b) Jeder lineare Teilraum U von X mit dim U < ∞ ist eine abgeschlossene
Teilmenge von X.
Beweis:
Zu (a):
Nach Satz 8.12 genugt der Nachweis, daß X fur irgendeine Norm vollst¨ndig ist. Sei
a
¨ ¨
{x , . . . , x } eine Basis von X. Betrachte die Norm
1 n


n
· ai xi ’’ max |ai| ∈ IR
:X x=
1¤i¤n
i=1

Da jede Cauchyfolge in X uber die Koordinatenabbildung sofort zu einer Cauchyfol-
¨
ge in ( C , · ∞ ) fuhrt und umgekehrt, folgt die Vollst¨ndigkeit von (X, · ) aus der
n
a
¨
Vollst¨ndigkeit von ( C , · ∞ ).
n
a
Zu (b):
Sei U ‚ X ein linearer Teilraum mit dim U < ∞. Nach (a) ist (U, · ) vollst¨ndig. Daraus
a
2
folgt sofort, daß U auch abgeschlossen ist (siehe Lemma 8.6).

Im folgenden Beispiel kl¨ren wir uber die Situation auf, wenn wir auf die Voraussetzung
a ¨
der endlichen Dimension verzichten. Fur den Fortgang der linearen Algebra ist das fol-
¨
gende Beispiel aber nicht wesentlich.


Beispiel 8.14
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 196


Sei X := C[0, 1] := {f : [0, 1] ’’ IR |f stetig}. Auf X ist durch
1

· : X ∈ f ’’ |f(x)|dt ∈ IR
1
0

eine Norm gegeben. Wir de¬nieren durch
±
 ,0 ¤ t ¤ 1 ’ n
1
 1

 2


n
 ,1 ’ n ¤t¤ 1 +n
1 1
’ nt
t ’’  2 ∈ IR , n ∈ IN ,
2 2
fn : [0, 1]






,1 +n ¤t
1
 ’1
2
eine Cauchyfolge (fn )n∈IN in X, denn fur m ≥ n gilt
¨
1
4
fn ’ fm |fn (t) ’ fm (t)|dt ¤
= .
1
m
0

Wir zeigen nun, daß es kein f ∈ X gibt, das Grenzwert der Folge (fn )n∈IN ist.
Annahme: (fn )n∈IN konvergiert gegen f ∈ X. Aus der Stetigkeit der Norm folgt, daß
f(t) = 1, 0 ¤ t ¤ 1 , f(t) = ’1, 1 < t ¤ 1, gelten muß. Dann kann aber f nicht stetig
2 2
sein. W¨hlt man auf X die Norm
a

· f ’’ max |f(t)| ∈ IR,
:X

0¤t¤1

dann beschreibt die Konvergenz bzgl. dieser Norm gerade die gleichmaßige Konvergenz von
¨
Funktionenfolgen in X. Aus der Analysis wissen wir daher, daß (X, · ∞ ) nun vollstandig
¨
ist. Dieser Sachverhalt belegt nun, daß in X der Satz 8.12 bezuglich der Normen · 1 , · ∞
¨
2
nicht gilt.
¨
Fur manche Uberlegungen ben¨tigen wir noch die Sprechweise “innerer Punkt“.
o
¨
Ein x ∈ A einer Teilmenge A eines normierten Raumes X heißt innerer Punkt von A,
—¦
falls es r > 0 gibt mit Br (x) ‚ A; wir setzen A := {x ∈ A|x innerer Punkt von A}.

Wir wollen nun wieder zu den Abbildungen der linearen Algebra, n¨mlich den linearen Ab-
a
bildungen, zuruckkommen. Als Hauptresultat erhalten wir, daß alle linearen Abbildungen
¨
auf endlichdimensionalen R¨umen stetig sind. Zuvor ein Gegenbeispiel dazu:
a

Beispiel 8.15
Sei X := C∞ [0, 2π] := {f : [0, 2π] ’’ IR |f unendlich oft di¬erenzierbar}. Auf X
betrachte die Norm


· f ’’ |f(t)|dt ∈ IR .
:X
0

Betrachte dazu die lineare Abbildung (Ableitung)

f ’’ f ∈ X.
D:X
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 197


Setze
1
cos(nt), t ∈ [0, 2π], n ∈ IN .
fn (t) :=
n
= 2π , n ∈ IN . Also ist (fn )n∈IN eine Nullfolge in X. Aber es ist
Es gilt fn n
1


= 4 , n ∈ IN .
Dfn 1


2
Somit ist D nicht stetig.


Satz 8.16
Seien (X, · X ), (Y, · normierte R¨ume und sei L : X ’’ Y linear. Dann
Y) a
sind ¨quivalent:
a

¤c x fur alle x ∈ X.
(a) L ist beschrankt, d.h. es gibt c > 0 mit L(x)
¨ ¨
Y X

(b) L ist stetig in jedem x0 ∈ X.

(c) L ist stetig in x0 := θ.
Beweis:
a) =’ b) :
Sei x0 ∈ X. Sei µ > 0. Wahle δ := µ . Fur x ’ x0 < δ gilt dann
¨ c¨
L(x) ’ L(x0) = L(x ’ x0 ) ¤ c x ’ x0 < µ.

b) =’ c) : Klar.
c) =’ a) :
W¨hle µ := 1 und dazu δ > 0 mit
a

x ’ θ < δ =’ L(x) ’ L(θ) < 1.

’1 δ
Fur x ∈ X\{θ} gilt dann mit z := x x
¨ 2
δ 2
, L(z) ¤ 1 , d.h. L(x) ¤ x
z=
2 δ

Setze nun c := 2 .
δ

Satz 8.17
Seien (X, · X ), (Y, · Y ) normierte R¨ume und sei X endlichdimensional. Dann
a

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