<<

. 48
( 63 .)



>>

ist jede lineare Abbildung L : X ’’ Y stetig.
Beweis:
·
W¨hle eine Basis x1, . . . , xn in X und de¬niere eine Norm
a in X durch


n
· ai xi ’’ max |ai | ∈ IR .
:X x=

1¤i¤n
i=1
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 198

n
a i xi
Dann gilt fur x =
¨
i=1

n
ai L(xi )
L(x) =
Y Y
i=1
¤ n · max L(xi ) x ∼
Y
1¤i¤n

¤ n · c · max L(xi ) x
Y X
1¤i¤n

Dabei haben wir Satz 8.12 verwendet; die Konstante c ist daraus abgeleitet. Mit Satz 8.16
folgt nun die Behauptung.


8.2 Bilinearformen
Sei X ein IK “ Vektorraum. Wir erinnern an die Multilinearformen in T2 (X) :
T ∈ T2 (X) genau dann, wenn T eine Abbildung von X — X nach IK ist mit

T (ax + by, z) = aT (x, z) + bT (y, z) , T (z, ax + by) = aT (z, x) + bT (z, y)

fur alle x, y, z ∈ X, a, b ∈ IK . Wir wissen auch, daß T2 (X) ein IK “ Vektorraum der
¨
Dimension n2 ist, falls n = dim X < ∞ ist. Die Multilinearformen in T2 (X) nennen wir
auch Bilinearformen.

De¬nition 8.18
Sei X ein IK “ Vektorraum. Eine Bilinearform T ∈ T2(X) heißt

(a) symmetrisch : ⇐’ T (x, y) = T (y, x) fur alle x, y ∈ X;
¨
(b) antisymmetrisch : ⇐’ T (x, y) = ’T (y, x) f¨r alle x, y ∈ X;
u

(c) nichtausgeartet: ⇐’ (T (x, y) = 0 ∀y ∈ X\{θ} =’ x = θ).
2

Nichtausgeartet“ sollte nur fur symmetrische oder antisymmetrische Bilinearformen ver-
¨

wendet werden, denn bei der De¬nition wird ja ein Argument ausgezeichnet.
Fur symmetrische Bilinearformen ist dann
¨
Kern(T ) := {x ∈ X|T (x, y) = 0 fur alle y ∈ X}
¨
ein wohlde¬nierter linearer Teilraum von X; er heißt Bilinearkern von T.

Ist nun T eine Bilinearform von X und ist x ∈ X, dann k¨nnen wir die Abbildung
o

y ’’ T (x, y) ∈ IK
Tx : X
erklaren. Da T im zweiten Argument linear ist, erhalten wir eine lineare Abbildung Tx ,
¨
also Tx ∈ X . Nun ist o¬enbar

T— : X x ’’ Tx = T (x, ·) ∈ X
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 199


eine lineare Abbildung, d.h. T — ein Homomorphismus der Vektorr¨ume. Diese Abbildung
a

T ist injektiv genau dann, wenn Kern(T ) = {θ} gilt. Also haben wir


Satz 8.19
Sei X ein IK “ Vektorraum und sei T eine nicht-ausgeartete symmetrische Bilinear-
form. Dann ist durch
T — : X x ’’ T (x, ·) ∈ X
ein Monomorphismus de¬niert.
Zusatz: Ist X endlichdimensional, dann ist T — ein Isomorphismus, insbesondere gibt
es zu jeder Linearform » ∈ X ein x ∈ X mit » = T —(x).
Beweis:
Nur noch der Zusatz bedarf eines Beweises. Er ergibt sich aber aus der Tatsache, daß nun
T — sogar bijektiv ist, da X endlichdimensional ist.


Satz 8.20
Sei X ein endlichdimensionaler IK “ Vektorraum und sei T ∈ T2 (X) eine symmetri-
sche nicht“ausgeartete Bilinearform von X. Dann gibt es zu jedem L ∈ Hom IK (X, X)
ein L— ∈ Hom IK (X, X) mit

T (x, L(y)) = T (L—(x), y) fur alle x, y ∈ X.
¨

Zusatz: L— ist hierdurch eindeutig bestimmt.
Beweis:
Fur x ∈ X betrachten wir die Linearform
¨

z ’’ T (x, L(z)) ∈ IK .
»x : X

Nach Satz 8.19 gibt es genau ein x ∈ X mit
˜

»x (z) = T (x, L(z)) = T (˜, z), z ∈ X.
x

Damit erkl¨ren wir die Abbildung
a

L— : X x ’’ x ∈ X .
˜

Diese Abbildung ist linear, denn da T nichtausgeartet ist, folgt aus

T (L— (ax + by), z) = T (ax + by, L(z))
= aT (x, L(z)) + bT (y, L(z))
aT (L—(x), z) + bT (L—(y), z)
=
T (aL—(x), z) + T (bL—(y), z)
=

o¬enbar
L— (ax + by) = aL—(x) + bL—(y).
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 200


Die eindeutige Bestimmtheit von L— folgt sofort daraus, daß T (symmetrisch und) nicht-
ausgeartet ist.


De¬nition 8.21
Sei T eine symmetrische nichtausgeartete Bilinearform auf dem IK “ Vektorraum
X und sei L ∈ Hom IK (X, X).

(a) Die lineare Abbildung L— ∈ Hom IK (X, X) heißt die Adjungierte von L
(bzgl. T ).

(b) L heißt selbstadjungiert (bzgl. T ), falls L— = L gilt.
2

In Abschnitt 4.6 hatten wir bereits eine adjungierte Abbildung eingefuhrt. Da wir, falls
¨
dim X < ∞ ist, den Isomorphismus

T— : X x ’’ T (x, ·) ∈ X

haben, k¨nnen wir zu L ∈ Hom IK (X, X) die adjungierte Abbildung
o

» ’’ L (») ∈ X , < L (»), z) =< », L(z) > fur alle z ∈ X ,
L :X ¨

hier auch so erhalten:
L (») = (T — —¦ L— —¦ T —’1)(»)
d.h.
L = T — —¦ L— —¦ T —’1 .
Hier ist ein Diagramm dazu:

L
’’
X X
L—
←’
X X
¦ ¦
¦ ¦—
—¦ ¦T
— — — ’1
T —¦ L —¦ (T )
T
L
←’
X X



Satz 8.22
Sei X endlichdimensionaler IK “ Vektorraum und sei T eine symmetrische nichtaus-
geartete Bilinearform von X.
Dann gibt es einen Isomorphismus JT : T2 (X) ’’ HomIK (X, X) mit
˜ ˜
T (x, z) = T (L(x), z) fur alle x, z ∈ X, wobei L := JT (T ) . (8.3)
¨
Beweis:
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 201

˜
Sei T ∈ T2 (X). Sei x ∈ X.
Die Abbbildung
z ’’ T (x, z) ∈ IK
˜
X
ist linear. Also gibt es ein x ∈ X mit
˜

T (x, z) = T (˜, z) fur alle z ∈ X.
˜ x ¨

Die so resultierende Abbildung

x ’’ x ∈ X
X ˜

ist linear (vergleiche Beweis zu Satz 8.20), und es gibt daher L ∈ HomIK (X, X) mit
˜
x = L(x), x ∈ X. Die Linearit¨t dieser Zuordnung T ’’ L folgt aus der Tatsache, daß
˜ a
T nichtausgeartet ist, die Injektivit¨t aus der Tatsache, daß T (θ, z) = 0 fur alle z ∈ X
a ¨
ist. Da HomIK (X, X) endlichdimensional ist, ist JT sogar bijektiv.
˜
Unter den Voraussetzungen von Satz 8.22 ist die Bilinearform T symmetrisch genau dann,
wenn L selbstadjungiert (bezuglich T ) ist. Sie ist auch nichtausgeartet, wenn L bijektiv
¨
ist.

Ist x1, . . . , xn eine Basis von X, dann kann man einer Bilinearform T ∈ T2 (X) die Matrix

BT := (T (xi, xj ))1 ¤i,j ¤n

zuordnen. Unter Verwendung des Skalarproduktes
n
aibi , a, b ∈ IK n,1
σ(a, b) :=
i=1


und der Koordinatenabbildung kX : X ’’ IK n,1 kann man nun die Bilinearform T so
darstellen:
T (x, y) = kX (x)tBT kX (y)
O¬enbar ist also T eine symmetrische nichtausgeartete Bilinearform genau dann, wenn
t
BT = BT und BT invertierbar ist. Ist T nun eine symmetrische nichtausgeartete Bili-
nearform und ist AL die Matrixdarstellung von L ∈ HomIK (X, X) bezuglich der Basis
¨
x , . . . , x , dann ist AL die Matrixdarstellung von L : X ’’ X bezuglich der dualen
1 n t
¨
Basis und die Beziehung

T (L(x), y) = T (x, L—(y)) fur alle x, y ∈ X
¨

liefert fur die Matrixdarstellung AL — von L— die Identitat
¨ ¨
’1
AL— = BT At BT .
L
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 202


8.3 Skalarprodukte und Orthogonalit¨t
a

<<

. 48
( 63 .)



>>