<<

. 49
( 63 .)



>>

Wir diskutieren nun wieder Vektorr¨ume uber einem Skalark¨rper IK ∈ {IR, C }. Von Fall
a o
¨
zu Fall haben wir dann IK = IR und IK = C zu unterscheiden. Wir erinnern daran, daß
wir die konjugierte Zahl von a ∈ C mit a bezeichnen.


De¬nition 8.23
Sei X ein Vektorraum uber IK . Eine Abbildung σ : X — X ’’ IK heißt Skalar-
¨
produkt (inneres Produkt) auf X, wenn gilt:

(a) σ(x, x) ∈ IR, σ(x, x) > 0 fur alle x ∈ X, σ(x, x) = 0 ⇐’ x = θ;
¨
(b) σ(x, y) = σ(y, x) fur alle x ∈ X;
¨
(c) σ(x, ay + bz) = aσ(x, y) + bσ(x, z) fur alle x, y, z ∈ X, a, b ∈ IK .
¨
2

Ist σ : X — X ’’ IR ein Skalarprodukt auf dem IR “ Vektorraum X, dann ist σ eine
nichtausgeartete symmetrische Bilinearform.


Lemma 8.24
Sei σ ein Skalarprodukt auf X. Dann gilt:

|σ(x, y)|2 ¤ σ(x, x)σ(y, y) fur alle x, y ∈ X.
¨

Zusatz: Es steht das Gleichheitszeichen genau dann, wenn x, y linear abhangig sind.
¨
Beweis:
Die Ungleichung beweist man fast wie die entsprechende Aussage (b) von Lemma 6.12.
Seien x, y ∈ X. O.E. y = θ. Fur alle a, b ∈ IK gilt
¨

0 ¤ σ(ax + by, ax + by) = |a|2σ(x, x) + abσ(y, x) + baσ(x, y) + |b|2σ(y, y) .

Wahle a := σ(y, y). Es folgt
¨

0 ¤ σ(x, x)σ(y, y) + bσ(y, x) + bσ(x, y) + |b|2 .

Setzt man noch b := ’σ(y, x), so folgt

0 ¤ σ(x, x)σ(y, y) ’ σ(y, x)σ(x, y) .

Daraus liest man die behauptete Ungleichung ab.
Ist |σ(x, y)|2 = σ(x, x)σ(y, y), so folgt mit a, b wie oben

0 = σ(ax + by, ax + by), also ax + by = θ .

Dies zeigt, daß x, y linear abh¨ngig sind. Daß fur linear abh¨ngige x, y die Gleichheit
a a
¨
steht, ist einfach einzusehen.
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 203


Folgerung 8.25
Sei σ ein Skalarprodukt auf X. Dann wird durch
1
· x ’’ σ(x, x) 2 ∈ IR
:X
σ


·
eine Norm auf X de¬niert.
σ

Beweis:
Die Eigenschaften der Norm folgen in einfacher Weise aus Lemma 8.24; beachte auch
Lemma 6.12.


De¬nition 8.26
Sei σ ein Skalarprodukt auf X und sei · σ die nach Folgerung 8.25 zugeh¨rige Norm.
o
Dan heißt (X, σ) Hilbertraum, falls der normierte Raum (X, · σ ) vollst¨ndig ist.
a
2

Die Theorie der Hilbertr¨ume entwickelte sich aus dem Studium von Integralgleichungen heraus.
a
¨
Damit wurde die moderne Ara der Analysis ero¬net. Die Spektraltheorie der quadratischen Formen
¨
in einem Hilbertraum ist der tie¬‚iegendste Beitrag D. Hilberts in der Analysis.



Beispiel 8.27
Das euklidische Skalarprodukt < ·, · >2 auf IR n (siehe De¬nition 6.11) ist auch im Sinne
von De¬nition 8.23 ein Skalarprodukt.
Das naturliche Skalarprodukt auf C n ist gegeben durch
¨
n
xi yi , x, y ∈ C n .
< x, y >2:= σ(x, y) :=
i=1

Ein Skalarprodukt σ auf dem unendlichdiensionalen Raum C[a, b] liegt in
b

C[a, b] — C[a, b] (f, g) ’’ f(t)g(t)dt ∈ IR
a

vor. Die De¬nitheit folgt aus der Tatsache, daß eine stetige Funktion genau dann nicht
verschwindet, wenn sie in einem Teilintervall nicht verschwindet. Die davon induzierte
Norm · σ ist
b

f ’’ |f(t)|2dt ∈ IR .
C[a, b]
a

2
Analog zu Beispiel 8.14 schließt man, daß (X, σ) kein Hilbertraum ist.
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 204


De¬nition 8.28
(a) Ein Paar (X, σ) heißt ein euklidischer Vektorraum, wenn X ein Vektor-
raum ¨ber IR und σ ein Skalarprodukt auf X ist.
u

(b) Ein Paar (X, σ) heißt ein unit¨rer Vektorraum, wenn X ein Vektorraum
a
¨ber C und σ ein Skalarprodukt auf X ist.
u
2

Ist (X, σ) ein euklidischer (unit¨rer) Vektorraum und ist U ein linearer Teilraum, dann
a
ist auch (U, σ) wieder ein euklidischer (unit¨rer) Vektorraum.
a

Sei X := C n und A ∈ C n,n . Wann wird durch

X—X (x, y) ’’ < x, Ay >2 ∈ C
t
wieder ein Skalarprodukt erkl¨rt? Sicher ben¨tigen wir A = A , wobei A die konjugiert
a o
komplexen Eintr¨ge von A hat. Dies sichert uns < x, Ax >∈ IR fur alle x ∈ C n . Fur die
a ¨ ¨
De¬nitheit ben¨tigen wir auch noch
o

< x, Ax >2 > 0 fur alle x = θ .
¨
Dies fuhrt uns zu
¨

De¬nition 8.29
Sei A ∈ IK n,n . A heißt
t
(a) symmetrisch (hermitesch) ⇐’ A ∈ IRn,n , At = A (A ∈ C n,n , A = A).

(b) positiv de¬nit ⇐’ A hermitesch, < x, Ax >2 > 0 , x ∈ IK \{θ} .

(c) positiv semide¬nit ⇐’ A hermitesch, < x, Ax >2 ≥ 0 , x ∈ IK \{θ} .

(d) negativ de¬nit ⇐’ A hermitesch, < x, Ax >2 < 0 , x ∈ IK \{θ} .

(e) negativ semide¬nit ⇐’ A hermitesch, < x, Ax >2¤ 0 , x ∈ IK \{θ} .

(f) inde¬nit ⇐’ Es gibt x, y ∈ IK n mit < x, Ax >2 < 0 , < y, Ay >2 > 0 .
2

Folgerung 8.30
Ist A ∈ IK n,n positiv de¬nit, dann gibt es C1 > 0, C2 > 0 mit

¤ < x, Ax >2 ¤ C2 x , x ∈ IK n .
2 2
C1 x 2 2

Beweis:
Da fur x = θ die Ungleichung sicher richtig ist, haben wir sie nur fur x = θ zu zeigen. Wir
¨ ¨
zeigen dazu die Existenz von C1 > 0, C2 > 0 mit

C1 ¤ < x, Ax >2 ¤ C2 , x ∈ IK n , x = 1.
2
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 205


Die Menge S := {x ∈ IK n | x = 1} ist kompakt und die Abbildung
2

x ’’ < x, Ax > ∈ IR
f : IK n

ist stetig. Dies folgt aus

|f(x) ’ f(y)| = | < x, Ax > ’ < y, Ay > |
¤ | < x ’ y, Ax > | + | < y, Ax ’ Ay > |
¤ x ’ y 2 Ax 2 + y 2 A(x ’ y) 2
¤ K x’y 2

wobei sich K aus der Stetigkeit der linearen Abbildung

x ’’ Ax ∈ IK 1,n
IK n

ergibt (siehe Satz 8.16 und Satz 8.17). Also erh¨lt man C1, C2 als Minimum bzw. Maximum
a
von f auf S.

Beispiel 8.31
Sei X := C n,n . Wir de¬nieren ein Skalarprodukt auf X durch
t
σ :X—X (A, B) ’’ spur(A B) ∈ C ,

wobei mit spur(C) die Spur einer Matrix C ∈ C n,n bezeichnet wird:
n
C = (cij )i=1 (1 )n , j =1 (1 )n ’’ cii ∈ C .
n,n
spur : C
i=1

·
Als die von σ induzierte Norm erhalten wir fur A = (aij )i=1 (1 )n , j =1 (1 )n
¨
σ

n n
1
|aij |2 ) 2 .
A =(
σ
j=1 i=1

2
Sie entspricht der euklidischen Norm, wenn man A spaltenweise als Vektor in C n schreibt.
2
¨
Als Anwendung unserer bisherigen Uberlegungen k¨nnen wir nun das Vektorprodukt von
o
3 n
IR auf IR erweitern.
Sei X := IR n und sei σ das euklidische Skalarprodukt in IRn . Zu u1 , . . . , un’1 ∈ IRn und
x ∈ IRn betrachte det(u1 | . . . |un’1 |x). Dies de¬niert uns eine Linearform » ∈ X durch

’’ det(u1| . . . |un’1 |x) ∈ IR .
»:X

Also gibt es nach Satz 8.19 ein z ∈ X mit

< », x >= det(u1 , . . . , un’1 , x) =< x, z >2 , x ∈ IR .

Man nennt z das ¨ußere Produkt von u1, . . . , un’1 und schreibt
a

z = u1 § . . . § un’1 ,
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 206


also
det(u1 | . . . |un’1 |x) =< u1 § . . . § un’1 , x >2 .
Aus den Regeln fur Determinanten entnimmt man u1 § . . . § un’1 = θ genau dann, wenn
¨
1 n’1
u ,...,u linear abh¨ngig sind. Man vergewissert sich nun, daß fur n = 3 das uns schon
a ¨
aus Abschnitt 7.5 bekannte Vektorprodukt entsteht.


De¬nition 8.32

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