<<

. 50
( 63 .)



>>

Sei (X, σ) ein euklidischer (unit¨rer) Vektorraum. Zwei Vektoren x, y ∈ X heißen
a
orthogonal, wenn σ(x, y) = 0 gilt.
Zwei Mengen U ‚ X, V ‚ X heißen orthogonal, falls σ(u, v) = 0 f¨r alle u ∈
u
U, v ∈ V gilt.
2

Sei (X, σ) ein euklidischer Vektorraum. Aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung (siehe
Lemma 8.24) folgt fur x = θ, y = θ
¨

σ(x, y)
∈ [’1, 1] .
γx,y :=
xσyσ

Also gibt es genau einen Winkel γ(x, y) ∈ [0, π] mit

σ(x, y) = x y cos(γ(x, y))
σ σ


und man erhalt o¬enbar:
¨

(R1) x, y orthogonal ⇐’ γ(x, y) = π .
2
(R2) x, y linear abh¨ngig ⇐’ γ(x, y) = 0 oder γ(x, y) = π .
a

(R3) x ’ y ’2 x
2 2 2
=x +y y cos(γ(x, y)) (Kosinussatz)
σ σ
σ σ σ

2 2
+ y 2 , falls σ(x, y) = 0 ist.
(R4) x + y =x (Satz von Pythagoras)
σ σ σ

(R5) x ’ y 2 2 2 2
+ x+y =2 x +2 y (Parallelogramm“Identitat)
¨
σ σ σ σ




Beispiel 8.33
Betrachte den C “ Vektorraum

X := {f : [’π, π] ’’ C | f stetig} ,

versehen mit dem Skalarprodukt
π

σ(f, g) := f(t)g(t)dt .
’π
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 207


Dann ist die Familie (ek )k∈IN 0 mit
1
ek (t) := √ eikt , t ∈ [’π, π] ,

paarweise orthogonal, genauer:

σ(ek , el) = δkl , k, l ∈ IN 0 .

Dies liest man fur k = l aus der Identitat
¨ ¨
π
1
e’ikt eilt dt = ei(l’k)t |t=π
i(l ’ k) t=’π
’π

2
ab; der Fall k = l ist trivial.


De¬nition 8.34
Sei (X, σ) ein euklidischer (unit¨rer) Vektorraum und sei U ein linearer Teilraum
a
von X. Dann heißt

U ⊥ := {y ∈ X|σ(x, y) = 0 fur alle x ∈ U}
¨

das orthogonale Komplement von U.
2

O¬enbar ist U ⊥ stets wieder ein linearer Teilraum von X und es gilt {θ}⊥ = X, X ⊥ = {θ}.
Die Bezeichnung Komplement“ wird einsichtig durch


Folgerung 8.35
Sei (X, σ) endlichdimensionaler euklidischer (unit¨rer) Vektorraum und sei U ein
a
linearer Teilraum von X. Dann gilt

X = U • U ⊥ , dim X = dim U + dim U ⊥ .
Beweis:
W¨hle ein Komplement W von U, d.h. X = U • W. Sei u1 , . . . , un eine Basis von U.
a
Sei x ∈ X, x = u + w , u ∈ U, w ∈ W. Wir zeigen, daß es ein y ∈ U gibt mit w ’ y ∈ U ⊥ .
Ansatz: n
a j uj
y=
j=1

O¬enbar ist w ’ y in U ⊥ genau dann, wenn σ(w ’ y, ui) = 0 , 1 ¤ i ¤ n, gilt. Also genugt
¨
es zu zeigen, daß das Gleichungssystem
n
aj σ(uj , ui ) = σ(w, ui ) , 1 ¤ i ¤ n,
j=1
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 208


eine L¨sung besitzt. Dazu genugt es zu zeigen, daß das zugeh¨rige homogene System nur
o o
¨
trivial l¨sbar ist.
o
Sei also n
bj σ(uj , ui ) = 0 , 1 ¤ i ¤ n.
j=1
n
bj uj folgt daraus
Mit z :=
j=1

n n
bi bj σ(uj , ui ) = 0,
σ(z, z) =
j=1 i=1


also z = θ und somit b1 = . . . = bn = 0, da u1, . . . , un eine Basis von U ist. Also gilt
X = U + U ⊥ . Die Tatsache U © U ⊥ = {θ} ist trivial.

Die Hyperebenen durch θ sind gerade die (n ’ 1)’ dimensionalen Teilr¨ume von X. Ist
a

H eine Hyperebene durch θ, so ist H nach dem obigen Korollar eindimensional, also
H ⊥ = L({x0}) mit x0 ∈ X\{θ}; x0 ist dadurch bis auf einen von Null verschiedenen
Faktor eindeutig bestimmt. Wir sehen damit, daß die Hyperebenen durch θ gerade die
Mengen
Hxo = {x ∈ X|σ(x0 , x) = 0} , x0 = θ,
sind. Eine beliebige Hyperebene (a¬ner Teilraum der a¬nen Dimension n ’ 1) hat dann
die Form
Hx0 ,a = {x ∈ X|σ(x0, x) = a} , x0 = θ, a ∈ IR .
In anderer Darstellung (Hessesche Normalform) haben wir
1
Hx0 ,a = {x ∈ X| (σ(x0, x) ’ a) = 0}.
x0 σ

Der Abstand dist(z, Hx0 ,a ) eines Punktes z ∈ X von der Hyperebene Hx0 ,a ist de¬niert
durch
dist(z, Hx0 ,a) := inf{ z ’ x σ |x ∈ Hx0 ,a } .
Aus der Hesseschen Normalform liest man ab
1
(σ(x0, z) ’ a),
dist(z, Hx0 ,a ) =
x0 σ

’2
denn mit dem Lot z 0 := z ’ x0 ’ a)x0 von z auf Hx0 ,a gilt:
0
σ (σ(x , z)

z 0 ∈ Hx0 ,a , z 0 ’ z ∈ L({x0 }), σ(x ’ z 0, x0) = 0 fur alle x ∈ Hx0 ,a ,
¨

x’z = x ’ z0 + z0 ’ z ≥ z0 ’ z fur alle x ∈ Hx0 ,a .
2 2 2 2
¨
σ σ

Damit ist die Berechnung des Abstands eines Punktes von einer Hyperebene formelm¨ßig
a
bekannt.
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 209


De¬nition 8.36
Sei (X, σ) ein endlichdimensionaler euklidischer (unit¨rer) Vektorraum. Dann heißt
a
1 n
eine Basis x , . . . , x von X mit

σ(xi, xj ) = δij , 1 ¤ i, j ¤ n,

2
eine Orthonormalbasis.



Satz 8.37
Sei (X, σ) ein endlichdimensionaler euklidischer (unit¨rer) Vektorraum. Dann be-
a
sitzt X eine Orthonormalbasis.
Beweis:
Sei n := dim X und sei u1, . . . , un eine Basis von X. Wir konstruieren eine Orthonormal-
basis x1, . . . , xn induktiv:
n = 1 : x1 := u1 u1 ’1 . Dann ist σ(x1, x1) = 1 und L({u1 }) = L({x1 }).
σ
1 n’1
Seien x , . . . , x de¬niert mit

σ(xi , xj ) = δij , 1 ¤ i, j ¤ k , L({x1 , . . . , xk }) = L({u1, . . . , uk }) (8.4)

fur k = 1, . . . , n ’ 1.
¨
Setze n

k+1 k+1
σ(uk+1 , xi )xi
z := u
i=1

Dann gilt σ(z k+1 , xi ) = 0 , 1 ¤ i ¤ k, uk+1 = θ, da x1, . . . , xk , z k+1 linear unabh¨ngig
a
sind. Mit
xk+1 := z k+1 z k+1 ’1
σ

gilt dann (8.4) fur k := k + 1.
¨

Das Kontruktionsverfahren aus dem Beweis zu Satz 8.37 nennt man Schmidtsches Or-
thonormalisierungsverfahren.

Orthogonalisierung und Orthonormalbasen tauchen erstmals bei der Untersuchung von schwin-
genden Saiten und beim Studium der Newtonschen Anziehung von Massen auf. A.M. Legendre
(1752 “ 1833) fand bei der Entwicklung des Newtonschen Potentials eine Schar von Polynomen,
die paarweise orthogonal war. Diese Polynome werden heutzutage als Legendre“Polynome bezeich-
net. Eingang als Theorieelement fand der Begri¬ der Orthonormalbasis durch E. Schmidt (1876 “
1959) bei der Beschreibung von Hilbertr¨umen.
a
Im Abschnitt uber Bilinearformen haben wir in Satz 8.20 jedem Endomorphismus L :
¨
X ’’ X einen adjungierten Homomorphismus L— : X ’’ X gem¨ß a

σ(x, L(y)) = σ(L— (x), y) fur alle x, y ∈ X
¨

zugeordnet. Dies ist allerdings dort nur fur den Fall, daß (X, σ) ein euklidischer end-
¨
lichdimensionaler Vektorraum ist, gezeigt. Dies ist auch richtig im Fall, daß (X, σ) ein
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 210


unitarere endlichdimensionaler Vektorraum ist; der Beweis verl¨uft analog. Ebenso ist
a
¨
damit auch in diesem Fall der Begri¬ selbstadjungiert dadurch erkl¨rt, daß L = L—
a
gefordert wird. Man spricht nun statt von “Selbstadjungiertheit“ von Symmetrie, falls
der Fall des euklidischen Vektorraums vorliegt.


De¬nition 8.38
(a) Sei (X, σ) ein euklidischer Vektorraum. Wir setzen

O(X, σ) := {L ∈ Hom(X, X)|σ(L(x), L(y)) = σ(x, y), x, y ∈ X}

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