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. 51
( 63 .)



>>

und nennen O(X, σ) die Gruppe der orthogonalen Abbildungen.

(a) Sei (X, σ) ein unitarer Vektorraum. Wir setzen
¨

U(X, σ) := {L ∈ Hom(X, X)|σ(L(x), L(y)) = σ(x, y), x, y ∈ X}

und nennen U(X, σ) die Gruppe der unit¨ren Abbildungen.
a
2

Es ist klar, daß jede orthogonale Abbildung in einem euklidischen Vektorraum eine Iso-
metrie ist. Umgekehrt ist auch jede lineare Isometrie eine orthogonale Abbildung (siehe
Abschnitt 6.1 und Satz 6.14).


Folgerung 8.39
Sei (X, σ) ein endlichdimensionaler euklidischer (unit¨rer) Vektorraum. Dann ist
a
O(X, σ) (U(X, σ)) eine Untergruppe von GL(X).
Beweis:
Wir betrachten nur den euklidischen Fall, der Beweis fur den unit¨ren Fall l¨uft analog.
a a
¨
Der Beweis, daß O(X, σ) eine Teilmenge von GL(X) ist, folgt wie im Beweis zu Satz 6.14.
Die Aussagen idX ∈ O(X, σ), f —¦ g ∈ O(X, σ), falls f, g ∈ O(X, σ) sind trivial.
Sei nun f ∈ O(X, σ). Sei f(x) = θ. Dann folgt 0 = σ(f(x), f(x)) = σ(x, x), also x = θ.
Also ist f injektiv.
Dies zeigt, daß jedes f ∈ O(X, σ) linear und sogar bijektiv ist, also zu GL(X) geh¨rt.
o
Fur f ∈ O(X, σ) gilt nun mit x, y ∈ X
¨

σ(f ’1 (x), f ’1 (y)) = σ(f(f ’1 (x)), f(f ’1 (y))) = σ(x, y).

Also ist auch f ’1 in O(X, σ).
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 211


Folgerung 8.40
Sei (X, σ) ein endlichdimensionaler euklidischer (unit¨rer) Vektorraum und sei L ∈
a
O(X, σ) bzw. L ∈ U(X, σ). Dann gilt

L— —¦ L = L —¦ L— = id X , | det(L)| = 1 ,

und ist AL eine Matrixdarstellung von L bez¨glich der Orthonormalbasis zu L, dann
u
gilt
t t
A A = AA = E.
Beweis:
Folgt unmittelbar aus der De¬nition von L— .

Sei (X, σ) ein endlichdimensionaler euklidischer Raum. Zu z ∈ X\{θ} de¬nieren wir die
Abbildung
σ(z, x)
spz : X x ’’ x ’ 2 z ∈ X.
σ(z, z)
Wir haben spz ∈ O(X, σ) , denn

σ(z, x) σ(z, y)
σ(spz (x), spz (y)) = σ(x ’ 2 x, y ’ 2 y)
σ(z, z) σ(z, z)
σ(x, z) σ(y, z) σ(x, z)σ(y, z)
= σ(x, y) ’ 2 σ(y, z) ’ 2 σ(x, z) + 4 σ(z, z)
σ(z, z) σ(z, z) σ(z, z)σ(z, z)
= σ(x, y).

Ferner gilt spz —¦ spz = idX und spaz = spz , a = 0.
Ist nun Hz = {x ∈ X|σ(x, z) = 0}, dann haben wir

X = L({z}) • Hz

und fur x = az + u ∈ L({z}) • Hz folgt
¨

spz (x) = spz (az + u) = ’az + u.

Also stellt spz eine Spiegelung des Raumes X an der Hyperebene Hz dar.

Satz 8.41
Sei (X, σ) ein euklidischer Vektorraum mit dim X = n. Ist L ∈ O(X, σ), so gibt es
Spiegelungen S1 , . . . , Sk , k ¤ n, mit L = Sk —¦ · · · —¦ S1 .
Beweis:
Wir beweisen die Aussage induktiv. Der Fall n = 1 ist trivial. Sei n > 1. O.E. kann L = id
angenommen werden. Also gibt es x ∈ X mit L(x) ’ x =: z = θ. Sei S := spz (siehe
oben). Dann ist
S(L(x) ’ x) = Sz = ’z = ’(L(x) ’ x)
und
S(L(x) + x) = L(x) + x,
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 212


da wegen L ∈ O(X, σ) σ(z, L(x)+x) = σ(L(x)’x), L(x)+x) = σ(L(x), L(x))’σ(x, x) =
0. Dies zeigt S —¦ L(x) = x. Daraus folgt nun S —¦ L(L({x})⊥) = L({x})⊥ so:
Sei u ∈ L({x})⊥) und S —¦ L(u) = ax + v, a ∈ IK , v ∈ L({x})⊥). Es folgt mit Folgerung
8.40
u = (S —¦ L)— —¦ (S —¦ L)(u)
und daher

0= σ(u, x)
σ((S —¦ L)— —¦ (S —¦ L)(u), x)
=
σ((S —¦ L)(ax + v), (S —¦ L)(x))
=
= σ(ax + v, x)
= aσ(x, x) + σ(v, x)
= aσ(x, x) .

Da o¬enbar S —¦ L auch injektiv ist, ist S —¦ L sogar bijektiv.
Mit der Induktionsvoraussetzung folgt die Existenz von Spiegelungen S1 , . . . , Sk’1 , k’1 ¤
n ’ 1, mit S —¦ L|L({x})⊥ = Sk’1 —¦ · · · —¦ S1 . Seien Si Spiegelungen an zi , 1 ¤ i ¤ k ’ 1. Seien
Si := spzi , 1 ¤ i ¤ k ’ 1, die zugeh¨rigen Spiegelungen im Raum X. Es folgt
o

S —¦ L(x) = x = Sk’1 —¦ · · · —¦ S1(x),

da zi ∈ L({x})⊥ , 1 ¤ i ¤ k ’ 1. Daraus folgt S —¦ L = Sk’1 —¦ · · · —¦ S1. Wegen S —¦ S = id
folgt nun
L = S —¦ Sk’1 —¦ · · · —¦ S1 .



Beispiel 8.42
Als ein Beispiel fur Satz 8.41 betrachten wir etwa die lineare Isometrie A ∈ SO(2), die
¨
eine Drehung um den Winkel π/2 bewirkt:

0 ’1
A=
10

Der Satz 8.41 besagt, daß es Spiegelungen S1, S2 gibt, die hintereinanderausgefuhrt die-
¨
selbe Wirkung haben.
Eine Analyse des Beweises zu Satz 8.41 zeigt, daß etwa mit z := Ax ’ x, x := e1, eine erste
Spiegelungsachse gefunden ist (Spiegelung an der Geraden {u ∈ IR 2 | < z, u >2= 0}). Eine
weitere Spiegelungsachse ist die Koordinatenachse zu e2, da sie gerade L({x})⊥ darstellt.
2
Damit haben wir nun alle l¨ngentreuen Transformationen kennengelernt:
a

Translation, Drehung, Spiegelung
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 213


Der Bequemlichkeit halber de¬niert man ublicherweise noch als vierte l¨ngentreue Trans-
a
¨
formation die Gleitspiegelung. Sie ist das Ergebnis einer Achsenspiegelung bei gleich-
zeitiger Translation entlang dieser Achse (Fußspuren im Sand sind ein Beispiel dafur). Bei
¨
unendlichen Bandornamenten kann man diese Transformationen als Symmetrieoperatio-
nen erkennen. Betrachte etwa das Bandornament
...... H H H H H ......
Es bleibt invariant unter drei Spiegelungen, wahrend das Bandornament
¨
...... E E E E E ......
invariant unter einer Translation und einer Spiegelung bleibt. (Es gibt ubrigens sieben
¨
solche Symmetrieoperationen bei unendlichen Bandornamenten.)
Wenn man statt der eindimensionalen Bandornaments die zweidimensionale “Ornamentebene“
betrachtet, so nimmt die Anzahl der m¨glichen Symmetrien zu; wir haben ja etwa schon zwei
o
unabh¨ngige Translationen. Vom russischen Kristallographen E.S. Fedorov (1853 “ 1919) wurde
a
1891 gezeigt, daß es genau 17 verschiedene Symmetrietypen gibt. (Man hat zu unterscheiden zwi-
schen diesen 17 Symmetrietypen und der unendlichen Vielfalt der m¨glichen Ornamente mit der
o
man die Ebene uberdecken kann.) Beispiele fur jeden Ornamenttyp sind in der Ornamentkunst des
¨ ¨
Altertums vertreten.


Folgerung 8.43
Sei (X, σ) ein euklidischer Vektorraum mit dim X = n und sei L ∈ O(X, σ).

(a) Ist det(L) = 1 und ist n ungerade, dann hat L einen Eigenwert 1.

(b) Ist det(L) = ’1 und ist n gerade, dann hat L einen Eigenwert 1.
Beweis:
Sei L = Sk —¦ · · · —¦ S1 , k ¤ n, gem¨ß Satz 8.41. Da det(Si ) = ’1, 1 ¤ i ¤ k, ist, haben wir
a
det(L) = (’1)k und daher k < n in beiden F¨llen. Sei Si = spwi , 1 ¤ i ¤ k. Dann l¨ßt L
a a
den Raum
k
L({wi })⊥ = L({w1 , . . . , wk })⊥
i=1
invariant. Da

dim L({w1, . . . , wk })⊥ = n ’ dim L({w1 , . . . , wk }) ≥ n ’ k > 0

gilt, folgt L({w1 , . . . , wk })⊥ = {θ}.

De¬nition 8.44
Sei (X, σ) ein euklidischer (unit¨rer) Vektorraum und seien x1, . . . , xn ∈ X. Die
a
Matrix
(σ(xi, xj ))i=1 (1 )n , j =1 (1 )n
heißt Gramsche Matrix zu x1 , . . . , xn ; wir schreiben dafur “(x1 , . . . , xn ) .
¨
2
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 214


Satz 8.45
Sei (X, σ) ein euklidischer (unit¨rer) Vektorraum und seien x1, . . . , xn ∈ X. Dann
a
sind x1, . . . , xn linear unabh¨ngig genau dann, wenn det “(x1 , . . . , xn ) = 0 ist.
a
Beweis: n n
Seien x1, . . . , xn ∈ X linear abhangig. Sei |ai|2 = 0. Dann gilt mit dem
ai xi = θ,
¨
i=1 i=1
Vektor « 
a1
¬.·
a := ¬ . · ∈ IK n,1
.
an
“(x1 , . . . , xn )a = θ und daher det “(x1 , . . . , xn) = 0.
Sei det “(x1 , . . . , xn ) = 0. Dann sind die Spalten von “(x1 , . . . , xn ) linear abh¨ngig, etwa
a
n’1
bi σ(xj , xi ) , 1 ¤ j ¤ n.
j n
σ(x , x ) =
i=1

n’1
Der Vektor x := x ’ n
bj xj ist orthogonal zu jedem der Vektoren x1, . . . , xn und folglich
j=1
zu jedem Vektor aus L({x1 , . . . , xn }), also auch zu x ∈ L({x1 , . . . , xn }). Dies zeigt x = θ,
n’1
d.h. xn = bj xj .
j=1




8.4 Symmetrische Endomorphismen

De¬nition 8.46
Sei (X, σ) euklidischer Vektorraum und sei L : X ’’ X linear. Der Ausdruck

σ(x, L(x))
RL (x) :=
σ(x, x)

heißt Raleigh“Quotient von x ∈ X\{θ}.
2

Die Bedeutung ist sehr schnell einzusehen. Fur einen Eigenwert » ∈ IR mit Eigenvektor
¨
x gilt namlich RL (x) = ».
¨
Wir wollen den Spieß umdrehen und Eigenwerte und Eigenvektoren mit Hilfe von RL
konstruieren.
Wir benotigen dazu hier, daß der zugrundeliegende euklidische Raum endlichdimensional
¨
ist in zweifacher Hinsicht: Die Menge S(X) := {x ∈ X| x σ = 1} ist dann kompakt und
L ist stetig.
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 215


De¬nition 8.47

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