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. 53
( 63 .)



>>

(c) semide¬nit auf M : ⇐’ q ist positiv semide¬nit oder q ist negativ semi-
de¬nit auf M.
2

De¬nition 8.56
Sei T eine Bilinearform auf dem IR ’Vektorraum X und sei x1 , . . . , xn ∈ X eine
Basis in X. Wir nennen x1, . . . , xn eine Orthogonalbasis, falls

T (xi, xj ) = 0, fur i = j,
¨

gilt.
2
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 220


Satz 8.57
Sei X IR “ Vektorraum mit dimX = n . Sei T eine symmetrische Bilinearform auf
X und sei q die zugeh¨rige quadratische Form. Dann gilt:
o

(a) Es gibt eine Orthogonalbasis x1 , . . . xr , xr+1 , . . . , xr+t , . . . , xn , sodaß gilt:

1. Kern (T ) = L({x1 , . . . , xr }).
2. q ist auf L({xr+1 , . . . , xr+t }) positiv de¬nit und auf L({xr+t+1 , . . . , xn })
negativ de¬nit.

(b) Man kann die Basis in (a) so festlegen, daß gilt
n n
2
a i xi ,
q(x) = i ai , wobei x =
i=1 i=1

= 0, 1 ¤ i ¤ r, = 1, r + 1 ¤ i ¤ r + t, = ’1, r + t + 1 ¤ i ¤ n.
mit i i i

Die Zahlen t und n ’ r hangen nur von T ab.
¨
Beweis:
Sei w1 , . . . , wn eine Basis von X. Wir beweisen mit vollstandiger Induktion nach n und
¨
konnen dann dazu q = θ annehmen.
¨
Ist dim X = 1, so ist die Aussage des Satzes klar.
Sei also nun dim X > 1.
Betrachte zunachst den Fall, daß T (wk , wk ) = 0, 1 ¤ k ¤ n, gilt. Da q nicht verschwindet,
¨
gibt es ein Paar (i, k) mit T (wi, wk ) = 0. Ersetze nun in der Basis wi durch wi := wi + wk
˜
und w durch w := w ’ w . Dies liefert
k k i k
˜

T (wi, wi ) = 2T (wi , wk ) = 0.
˜˜
Also k¨nnen wir nun nach Umnummerierung T (w1, w1 ) =: µ1 = 0 annehmen. Ersetze nun
o
in der Basis wk , k ≥ 2, durch

wk := wk ’ T (w1 , w1)’1 T (w1, wk )w1 .
˜
Dies liefert T (w1, wk ) = 0, k ≥ 2. Also k¨nnen wir
˜ o
T (w1, wk ) = 0, k ≥ 2,
n
ai wi . Es gilt
annehmen. Sei nun x =
i=1
n n
µ1 a2 i k
µ1 a2 ai w i .
q(x) = + ai ak T (w , w ) = + q1(˜) mit x =
x ˜
1 1
i=2
i,k=2

Hierbei ist q1 die quadratische Form auf X1 := L({w2 , . . . , wn }), die zu T |X1 —X1 geh¨rt.
o
Mit der Induktionsannahme gelten in X1 die Aussagen (a) und (b) des Satzes. Also ist
bezuglich einer geeigneten Basis x1 := w1 , x2, . . . , xn .
¨
n n
µi a2 i i
a i xi .
q(x) = mit µi = T (x , x ) und x =
i
i=1 i=1
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 221


Um (a) zu erreichen, mussen wir eventuell nur noch die Reihenfolge in der Basis ¨ndern. a
¨
’2 i
i
Fur (b) ersetze x durch µi x , falls µi = 0 ist. Damit sind (a) und (b) bewiesen, es bleibt
¨
nur noch der Zusatz uber die Unabh¨ngigkeit von t und n ’ r von der gew¨hlten Basis
a a
¨
1 ρ ρ+„ n
zu zeigen. Sei v , . . . , v , . . . , v , . . . , v eine zweite Basis, die (a) und (b) erfullt.
¨
Setze:
U+ := L({xr+1 , . . . , xr+t }), U’ := L({xr+t+1 , . . . , xn }),
V+ := L({v ρ+1 , . . . , v ρ+„ }), V’ := L({v ρ+t+1 , . . . , xn }).
Dann ist U+ © V’ = {θ}, da T auf U+ positiv de¬nit und auf V’ negativ de¬nit ist.
Genauso gilt U’ © V+ = {θ}. Also dim V+ ¤ dim U+ , dim U+ ¤ dim V+ , d.h. r = ρ, t = „.


Der obige Satz heißt Tr¨gheitssatz von Sylvester. Die im Satz de¬nierten Zahlen t
a
und n ’ r nennen wir den Tr¨gheitsindex bzw. den Rang der Bilinearform.
a

Etwa um 1850 bewiesen C.G.J. Jakobi (1804 “ 1851) und J.J. Sylvester (1814 “ 1897) unabh¨ngig
a
voneinander die Existenz der Tr¨gheitsindizes als Invarianten gegenuber linearen Transformatio-
a ¨
nen. Damit nahm das Problem der Klassi¬kation von Quadriken eine betr¨chtliche Entwicklung.
a

Die Klassi¬kation von quadratischen Formen illustrieren wir am einfachsten Fall:


Beispiel 8.58
Sei X IR ’Vektorraum der Dimension 2. Der Tragheitssatz liefert folgende Falle.
¨ ¨
1. r = 1, t = 1 : q(a1x1 + a2 x2) = a2.
1

2. r = 0, t = 1 : q(a1x1 + a2 x2) = a2 ’ a2.
1 2

3. r = 0, t = 2 : q(a1x1 + a2 x2) = a2 + a2 .
1 2

2

Bemerkung 8.59
Ist (X, σ) ein euklidischer Raum, dann de¬niert jede symmetrische Matrix A ∈ IRn,n
durch T (x, x) := σ(x, Ax) , x ∈ X, eine symmetrische Bilinearform; davon gilt auch die
Umkehrung (siehe Satz 8.20. Also kann man daher den Satz 8.57 auch als Resultat uber
¨
die Normalform einer symmetrischen Matrix verstehen: Ist A ∈ IR eine symmetrische
n,n

Matrix,dann gibt es eine orthogonale Matrix M ∈ IR n,n mit M t AM = diag(˜, E, ’E).
¨
Damit wird auf dem raum der symmetrischen Matrizen eine Aquivalenzrelation erzeugt.
¨
Rang und Tr¨gheitsindex (der zugeh¨rigen quadratischen Form) bestimmen die Aquiva-
a o
lenzklassen.
2
Ein entsprechendes Ergebnis gilt auch im Fall eines unit ¨ren Raumes.
a

Der Vollstandigkeit halber fuhren wir noch an:
¨ ¨
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 222


Satz 8.60
Sei q eine semide¬nite quadratische Form auf X mit Bilinearfrom T . Dann gilt

T (x, y) ¤ q(x)q(y), x, y ∈ X.
Beweis:
Siehe Beweis zur Cauchy-Schwarzschen Ungleichung.

Beachte, daß der Zusatz uber die Gleichheit hier fehlt, da ja die De¬nitheit im allgemeinen
¨
nicht gegeben ist.


De¬nition 8.61
Sei X IK ’Vektorraum. Eine Teilmenge Q = X von X heißt Quadrik, wenn es
eine symmetrische Bilinearform T ∈ T2(X)\{θ}, » ∈ X und c ∈ IK gibt mit

Q = {x ∈ X|T (x, x)+ < », x > +c = 0} .

Die Abbildung X x ’’ T (x, x)+ < », x > +c ∈ IK heißt Quadrikform und
die Forderung T (x, x)+ < », x > +c = 0 heißt Quadrikgleichung.
2

Die Forderung Q = X schließt lediglich gewisse l¨stige Sonderf¨lle von der Betrachtung
a a
aus.


Beispiel 8.62
Wir betrachten IR 2 und w¨hlen die Standardbasis in IR 2 . Dann k¨nnen wir die Koordi-
a o
natenform einer Quadrikgleichung so hinschreiben:

a11x2 + 2a12xy + a22y 2 + 2b1x + 2b2 y + c = 0

Darin sind nun u.a. die aus der Elementarmathematik bekannten Standardgleichungen
der Kegelschnitte enthalten (vergleiche mit Beispiel 8.58):
2
x2 + y ’ 1 = 0 .
Ellipse :
a2 b2
y 2 ’ 2px = 0 .
Parabel :
2
x2 ’ y ’ 1 = 0 .
Hyperbel :
a2 b2
2
x2 ’ y = 0
Sich schneidendes Geradenpaar : 2
b2
a
x2 ’ a 2 = 0
Paar paralleler Geraden :
Mit Ausnahme der Parabel sind alle Quadriken Mittelpunktsquadriken. (Ein Punkt x ∈ X
heißt Mittelpunkt von Q ‚ X genau dann, wenn aus x + q ∈ Q , q ∈ Q, stets x ’ q ∈ Q
2
folgt.
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 223



Von A. Durer (1471 “ 1528) gibt es Aufzeichnungen uber eine “Unterweisung“ uber den Umgang
¨ ¨ ¨
mit Zirkel und Lineal zur Konstruktion von Figuren, die fur Steinmetze,. . . von einigem Interesse
¨
sein k¨nnten. Dabei beschreibt er u.a. auch die Konstruktion der Kegelschnitte. Dabei st¨ßt er auch
o o
auf das Problem der Quadratur des Kreises und gibt ein Verfahren an, das dies naherungsweise
¨
1
leistet; die N¨herung 3 8 fur π, die schon den Babyloniern bekannt war, wird dabei benutzt.
a ¨
Obwohl P. Fermat (1602 “ 1665) noch keine analytische Geometrie zur Verfugung stand, gelingt
¨
¨
es ihm doch, die Kegelschnitte als geometrische Orter durch Gleichungen zu beschreiben. Die
geometrischen Grundtatsachen tauchen bei ihm als de¬nierende Eigenschaften auf, w¨hrend sie in
a
der Antike als Konsequenz der Konstruktion abgelesen werden konnten.

Abschließend bemerken wir noch, daß quadratische Formen in IR 2 zur Klassi¬kation von
partiellen Di¬erentialoperatoren (zweiter Ordnung) herangezogen werden. Den Typen ent-
sprechend gibt es elliptische Di¬erentialgleichungen (r = 0, t = 1/ Laplacegleichung),
hyperbolische Di¬erentialgleichungen (r = 0, t = 1/ Wellengleichung) und parabolische
Di¬erentialgleichungen (r = 1, t = 1/ W¨rmeleitungsgleichung).
a
Kapitel 9

Konvexit¨t und lineare Optimierung
a

Konvexe Mengen tauchen ganz naturlich auf in der Geometrie, spielen eine fundamentale
¨
Rolle in der Analysis und gestatten es, Probleme in Anwendungen zu beschreiben und
zu klassi¬zieren. Wir stellen die Ergebnisse bereit, die uns helfen, lineare Ungleichungs-
systeme zu studieren und zu losen. Einen großen Raum nimmt das Simplexverfahren ein.
¨


9.1 Konvexit¨t
a
De¬nition 9.1
Sei X ein IR ’Vektorraum, sei M ‚ X, x, y ∈ X.

(a) Jeder Vektor z ∈ X mit z = y + a(x ’ y) = ax + (1 ’ a)y, a ∈ [0, 1], heißt
Konvexkombination von x, y.

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( 63 .)



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