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. 55
( 63 .)



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Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 229


Lemma 9.15
Sei (X, · ) normierter IR “ Vektorraum, sei dim X < ∞, und sei K = … eine
konvexe Teilmenge von X. Dann sind ¨quivalent:
a

(a) dim K = dim X

(b) K hat innere Punkte.
Beweis:
a) =’ b)
Seien x1 , . . . , xn+1 ∈ K a¬n linear unabh¨ngig. Dann ist
a
1
(x1 + . . . + xn )
n+1
ein innerer Punkt von K.
b) =’ a)
Sei x0 ∈ K innerer Punkt von K; sei Br (x0) ‚ K, r > 0. Sei x1, . . . , xn eine Basis von X.
O.E. xi < r, 1 ¤ i ¤ n. O¬enbar ist mit U := L({x1 , . . . , xn })

x0 + x1 , . . . , x0 + xn ∈ K, x0 + U ‚ A,

wobei A die a¬ne Hulle von K ist.
¨

Mit dem Konvexit¨tsbegri¬ fur Mengen k¨nnen wir schnell auch die Konvexit¨t von Funk-
a o a
¨
tionen erkl¨ren. Sei X ein IR “ Vektorraum und sei f : X ’’ IR eine Funktion. Wir
a
sagen f ist konvex, falls

epi(f) := {(x, r) ∈ X — IR |f(x) ¤ r}

konvex ist. Die Menge epi(f) heißt der Epigraph von X.

Beispiel 9.16
Sei A ∈ IR n,n symmetrisch. Die Funktion IRn x ’’ < x, Ax > ∈ IR ist konvex genau
2
dann, wenn A positiv semide¬nit ist.


9.2 Der Projektionssatz
Eine fundamentale Eigenschaft konvexer Mengen druckt sich in den Trennungssatzen
¨ ¨
aus. Diese Satze besagen anschaulich, daß man zwei disjunkte konvexe Mengen durch
¨
Hyperebenen trennen kann, d.h. es gibt eine Hyperebene H , so daß jede der beiden
Mengen auf jeweils einer anderen Seite von H“ liegt. Hier beschr¨nken wir uns auf
a

euklidische R¨ume, im n¨chsten Abschnitt besch¨ftigen wir uns damit dann in einem
a a a
allgemeineren Rahmen.
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Satz 9.17
Sei (X, σ) reeller Hilbertraum und sei C ‚ X konvex, abgeschlossen, = …, und sei
x ∈ X\C. Dann gibt es genau ein x0 ∈ C mit

dist(x, C) := inf{ u ’ x | u ∈ C} = x0 ’ x
σ σ


und es gilt

σ(x0 ’ x, u ’ x0 ) ≥ 0 , sup σ(u, x0 ’ x) > σ(x, x0 ’ x) .
u∈C

Beweis:
Sei a := inf{ u ’ x σ |u ∈ C}. Da C abgeschlossen ist, ist a > 0. Dazu gibt es eine Folge
(un )n∈IN mit un ∈ C, n ∈ IN , und lim un ’ x σ = a. Sei > 0. Aus der Identit¨t a
n∈IN

1n
un ’ um = 2 un ’ x + 2 um ’ x ’4 (u + um ) ’ x
2 2 2 2
σ σ σ σ
2
und 1 (un + um ) ∈ C fur alle n, m ∈ IN folgt die Existenz von N ∈ IN mit
¨
2

un ’ um ¤ 2(a2 + ) + 2(a2 + ) ’ 4a2 , n, m ≥ N.
2
σ

Dies zeigt, daß (un )n∈IN eine Cauchyfolge in (X, · σ ) ist. Also gibt es x0 ∈ X mit
x0 = lim un . Da C abgeschlossen ist, gilt x0 ∈ C. Aus der Stetigkeit der Normabbildung
n∈IN
folgt
a = lim un ’ x σ = x0 ’ x σ .
n∈IN

Zur Eindeutigkeit von x0. Sei x1 ∈ C mit

dist(x, C) = x0 ’ x = x1 ’ x = a.
σ σ


Dann folgt
10
x0 ’ x1 = 2 x0 ’ x + 2 x0 ’ x ’4 (x + x1) ’ x ¤ 2a2 + 2a2 ’ 4a2 = 0 .
2 2 2 2
σ σ σ σ
2
Dies zeigt x0 = x1 .
Sei u ∈ C. Fur t ∈ (0, 1] betrachte x0 + t(u ’ x0) = tu + (1 ’ t)x0 ∈ C. Damit gilt
¨

x0 + t(u ’ x0) ’ x ≥ x0 ’ x , t ∈ (0, 1],
2 2
σ σ

oder
2σ(x0 ’ x, u ’ x0) + t u ’ x0 ≥ 0, t ∈ (0, 1] .
2
σ

Grenzubergang t ’ 0 liefert die Behauptung σ(x0 ’ x, u ’ x0) ≥ 0 fur alle u ∈ C.
¨ ¨
Der Rest der Aussage folgt aus

σ(u, x0 ’ x) ≥ σ(x0 ’ x, x0)
= σ(x0 ’ x, x0 ’ x) + σ(x0 ’ x, x)
= a2 + σ(x0 ’ x, x).
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Folgerung 9.18
Sei (X, σ) reeller Hilbertraum und sei C ‚ X konvex, abgeschlossen, = …. Dann gibt
es zu jedem x ∈ X\C ein z 0 ∈ X mit

sup σ(z 0, u) < σ(z 0, x) , z 0 = 1.
σ
u∈C

Beweis:
’1
Folgt aus Satz 9.17 durch Normierung von ’(x0 ’ x) zu z 0 := ’(x0 ’ x) x0 ’ x .
σ

Die Interpretation von Folgerung 9.18 ist, daß mit a ∈ (sup σ(z 0, u) , σ(z 0, x)) gilt:
u∈C


C ‚ Hz0 ,a := {v ∈ X|σ(v, z 0) < a} , x ∈ Hz0 ,a := {v ∈ X|σ(v, z 0) > a}.
+


Man sagt C und x werden strikt durch die Hyperebene

Hz0 ,a := {v ∈ X | σ(v, z 0) = a}

getrennt.


Folgerung 9.19
Sei (X, σ) reeller Hilbertraum und sei U ‚ X abgeschlossener linearer Teilraum von
X. Dann gilt
X = U • U⊥
Beweis:
Es ist nur die Zerlegbarkeit von x ∈ X in x = u + v mit u ∈ U, v ∈ U ⊥ zu zeigen. Sei also
x ∈ X\U. Anwendung von Satz 9.17 liefert x0 ∈ U mit

σ(u ’ x0, x0 ’ x) ≥ 0 fur alle u ∈ U.
¨

Da U linearer Teilraum ist und x0 ∈ U gilt, folgt sogar

σ(u, x0 ’ x) = 0 fur alle u ∈ U.
¨

Also ist x ’ x0 ∈ U ⊥ und wir haben

x = x0 + (x ’ x0) ∈ U + U ⊥ .



Wir erinnern an den Abschluß A einer Menge A in einem normierten Raum (X, · ) :

A := {x ∈ X|∀ > 0 ∃ y ∈ A ( x ’ y < )}.
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Folgerung 9.20
Sei (X, σ) reeller Hilbertraum und sei dimX < ∞. Sei A ‚ X o¬en und konvex,
x ∈ A. Dann gibt es z 0 ∈ X mit
/

sup σ(z 0, u) ¤ (z 0 , x).
u∈A

Beweis.
W¨hle eine Folge (y n)n∈IN in X mit lim y n = x, y n ∈ X\A, n ∈ IN . Dazu gibt es nach
a
n∈IN
n
Folgerung 9.18 eine Folge (z )n∈IN mit:

= 1, n ∈ IN .
sup σ(z n, u) < σ(z n, y n), z n σ
u∈A

Da (z n )n∈IN eine beschr¨nkte Folge ist, besitzt sie eine konvergente Teilfolge (z nk )k∈IN .
a
0 n
Sei z := lim zk . Es folgt dann aus der Stetigkeit des Skalarprodukts
k∈IN


sup σ(z 0, u) ¤ sup σ(z 0, u) ¤ σ(z 0, x).
u∈A u∈A




Bemerkung 9.21
Auf die Voraussetzung dim X < ∞“in der Folgerung 9.20 kann verzichtet werden. Dazu

muß man wissen, daß in einem Hilbertraum eine beschrankte Folge (z n )n∈IN stets eine
¨
Teilfolge (z )k∈IN und ein z ∈ X existiert mit
nk 0


lim σ(zk , v) = σ(z 0, v) fur alle v ∈ X.
n
¨
k

2
(Schwache Kompaktheit der Einheitskugel).

Als Anwendung der eben bewiesenen Resultate werfen wir noch einen Blick auf lineare
Gleichungssysteme. Betrachte die lineare Gleichung

Ax = y (9.1)

mit A ∈ IRm,n und y ∈ IR m,1 . Die L¨sbarkeit dieser Gleichung ist im allgemeinen nicht
o
gesichert. Diese Tatsache ist dann besonders “l¨stig“, wenn y aus y 0 durch St¨rung (Meß-
a o
0
fehler,. . . ) entstanden ist und Gleichung (9.1) fur y := y l¨sbar ist.
o
¨

. . . sie hat keine L¨sung!
o
Wir wissen selbst, daß sie keine L¨sung hat. Wir wollen wissen, wie sie zu l¨sen ist.
o o
Du redest aber sonderbar. . . . Wie kann man eine L¨sung suchen, wenn es sie nicht gibt. Es ist
o
Unsinn.
Entschuldige, du redest Unsinn. Es hat ja keinen Sinn, eine Losung zu suchen, wenn es sie sowieso
¨
gibt. Es geht um die Frage, was mit einer Aufgabe anzufangen ist, die keine L¨sung hat. Das ist
o
eine sehr prinzipielle Frage. . .
(Frei zitiert aus [44])
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 233


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