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Sei < ·, · >2 das euklidische Skalarprodukt und sei · die euklidische Norm in IR n bzw.
2
IR m .


De¬nition 9.22
Ein x0 ∈ IR n,1 heißt Pseudolosung (Ausgleichslosung) von (9.1), falls gilt:
¨ ¨

Ax0 ’ y = inf{ Ax ’ y 2|x ∈ IRn,1 }.
2
2




Satz 9.23
(a) Eine Pseudolosung von (9.1) existiert.
¨

(b) x0 ∈ IRn,1 ist Pseudolosung genau dann, wenn
¨

AtAx0 = Aty

gilt.
Beweis:
Da fur eine Pseudol¨sung x0
o
¨

dist(y, Bild (A)) = inf{ Ax ’ y 2|x ∈ IRn } = Ax0 ’ y ,
2


gilt, folgt die Aussage aus Satz 9.17 und Folgerung 9.19.

Die Gleichung
AtAx0 = Aty (9.2)
nennt man Normalgleichung zu Gleichung (9.1). Die Eindeutigkeit einer Pseudol¨sung
o
ist im allgemeinen nicht gegeben, da die Normalgleichung nur dann eindeutig l¨sbar ist,
o
t
wenn det(A A) = 0 gilt.

Ein allgemeines Problem experimenteller Arbeit besteht darin, eine mathematische Bezie-
hung y = f(x) zwischen zwei Variablen x und y zu bestimmen, die die in unterschiedlichen,
in Versuchen ermittelten Wertepaare

(t1, y1 ), . . . , (tn , yn)

m¨glichst gut beschreibt. Setzt man f etwa als Polynom zweiten Grades an, so hat man
o
drei Konstanten (a, b, c) zu bestimmen. Dazu kann man die Ausgleichsl¨sung der Glei-
o
chung
f(a, b, c; ti) = yi , 1 ¤ i ¤ n,
heranziehen. Man nennt das so skizzierte Vorgehen Ausgleichsrechnung oder Methode
der kleinsten Quadrate.
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 234



Die Methode der kleinsten Quadrate wurde erstmals von C.F. Gauß (1777 “ 1855) im Rahmen
seiner Studien in der Geod¨sie dargelegt (1821). Nicht nur der Reichtum der Ideen, sondern auch
a
sein außergew¨hnlicher Fleiß in der Durchfuhrung von endlosen Zahlenrechnungen sind in die-
o ¨
sem Zusammenhang beeindruckend. In der mathematischen Statistik wird gezeigt, daß die Aus-
gleichsl¨sung besonders einfache statistische Eigenschaften besitzt.
o



De¬nition 9.24
Eine Pseudollosung x von Gleichung (9.1) heißt normal, falls gilt:
ˆ
¨

= inf{ x0 2 |x0 Pseudolosung von (9.1)}.
x
ˆ ¨
2
2




Da die Menge der Pseudol¨sungen von (9.1) konvex und abgeschlossen ist “ dies schließt
o
man aus Folgerung 9.23 “ , ist nach Satz 9.17 die normale Pseudol¨sung eindeutig be-
o
t⊥
stimmt. Man kann sie ¬nden als die Pseudol¨sung, die in Kern(A ) liegt. Verfahren wie
o
das QR-Verfahren “ A wird dargestellt als QR mit einer orthogonalen Matrix Q und einer
oberen Dreiecksmatrix R “ sind in der Lage diese normale L¨sung zu ¬nden.
o


9.3 Der Satz von Hahn “ Banach *
Wir kehren nun zum Abschnitt uber normierte R¨ume zuruck.
a
¨ ¨
Ist X ein IK “ Vektorraum, dann wissen wir aus Abschnitt 4.6, daß

X := {» : X ’’ IK |» linear}

wieder ein IK ’Vektorraum ist; wir hatten ihn als algebraischen Dualraum bezeichnet. Ist
nun X sogar ein normierter Vektorraum, so werden wir unter Einbeziehung der zus¨tzli-
a
chen Struktur (Normierung/Stetigkeit) zu

X — := {» : X ’’ IR |» ∈ X , » stetig}

gefuhrt. Klar, auch X — ist wieder ein IR ’Vektorraum; wir nennnen ihn den stetigen
¨
Dualraum von X und jedes » ∈ X — nennen wir eine stetige Linearform. X — ist sogar
wieder ein normierter Vektorraum, da o¬enbar

: X—
· » ’’ sup | < », x > | ∈ IR

x ¤1


dank Satz 8.16 eine Norm auf X — ist. Die Reichhaltigkeit von X haben wir im Folgerung
4.54 gezeigt. Hier wollen wir dies fur X — tun. Allerdings ist festzuhalten, daß wir schon
¨

wissen, daß X = X ist, wenn dim X < ∞ ist, da dann jede Linearform dank Satz 8.17
stetig ist.
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 235


De¬nition 9.25
Sei X ein IR ’Vektorraum. Ein sublineares Funktional ist eine Abbildung
p : X ’’ IR mit folgenden Eigenschaften:

1. p(ax) = ap(x) , a ∈ [0, ∞], x ∈ X.

2. p(x + y) ¤ p(x) + p(y) , x, y ∈ X.
2
O¬enbar ist jede Norm ein sublineares Funktional.

Lemma 9.26
Sei X ein IR ’Vektorraum, p : X ’’ IR sublineares Funktional, U ‚ X linearer
Teilraum und »1 : U ’’ IR linear. Es gelte

< »1 , u > ¤ p(u) ∀u ∈ U.

Ist dann z ∈ X\U, so gibt es

» : W ’’ IR , W := L({z} ∪ U)

mit
»|U = »1 , » linear , < », w > ¤ p(w) ∀w ∈ W.
Beweis:
Fur alle u, v ∈ U gilt:
¨
< »1 , u > + < »1 , v > = < »1 , u + v >
¤ p(u + v)
p((u + z) + (v ’ z))
=
¤ p(u + z) + p(v ’ z),

also
< »1 , v > ’p(v ’ z) ¤ p(u + z)’ < »1 , u > .
Hieraus folgt

m := sup(< »1 , v > ’p(v ’ z)) ¤ inf (p(u + z)’ < »1 , u >) =: M
u∈U
v∈U

Wir wahlen a ∈ [m, M] und de¬nieren fur x ∈ U und b ∈ IR
¨ ¨

< », x + bz > := < »1 , x > +ba.

Dann ist » : W ’’ IR linear und »|U = »1 . Fur b > 0 und x ∈ U folgt mit der Wahl
¨
von a

< », x + bz > ¤ < », x > +bM
¤ < », x > +b(p(b’1 x + z)’ < », b’1 x >)
= p(x + bz).
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 236


Entsprechend gilt fur b < 0 und x ∈ U
¨

< », x + bz > ¤ < », x > +bm
¤ < », x > +b(< », ’b’1 x > ’p(’b’1 x ’ z))
= p(x + bz)

Folglich gilt
< », w > ¤ p(w) fur alle w ∈ W.
¨


Satz 9.27
Sei X IR “ Vektorraum und sei p ein sublineares Funktional auf X. Sei U ‚ X ein
linearer Teilraum und sei µ : U ’’ IR linear. Es gelte

< µ, u > ¤ p(u) fur alle u ∈ U.
¨

Dann gibt es » ∈ X mit

»|U = µ, < », x > ¤ p(x) fur alle x ∈ X.
¨
Beweis:
Wir sagen, daß (W, ν) zur Menge Z gehort, wenn gilt:
¨

W ist linearer Teilraum von X mit U ‚ W ,

ν : W ’’ IR ist linear und ν|U = µ , < ν, w > ¤ p(w) ∀w ∈ W .
Wir erkl¨ren auf der so de¬nierten Menge Z eine Halbordnung durch
a

(W, ν) < (W , ν ) : ⇐’ W ‚ W , ν |W = ν.

Ist (Wi , νi )i∈I eine Kette, d.h. je zwei Elemente der Familie (Wi , νi )i∈I sind mit “<“ ver-
gleichbar, so de¬nieren wir
W := ∪i∈I Wi ,
µ : W ’’ IR, < µ, x >:=< µi , x >, falls x ∈ Wi .

Aus der Ketteneigenschaft erhalten wir, daß W ein linearer Teilraum von X ist und daß
µ eine wohlde¬nierte lineare Abbildung auf W ist. O¬ensichtlich ist also (W , µ) ∈ Z eine
obere Schranke der Kette, d.h.

(Wi , µi ) < (W , µ) fur alle i ∈ I.
¨
ˆ
Nach dem Zornschen Lemma hat Z ein maximales Element, d.h. es gibt (W , ») ∈ Z mit

(W, µ) ∈ Z, (W , ») < (W, µ) =’ W = W, » = µ.
ˆ ˆ

Daraus folgt mit Lemma 9.26 W = X.
Das lineare Funktional » hat also die gewunschte Eigenschaft.
¨
Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 237


Satz 9.28
Sei X ein normierter IR ’Vektorraum, sei U ‚ X ein linearer Teilraum und sei
µ : U ’’ IR linear und stetig. Dann gibt es » ∈ X — mit

= sup{| < µ, u > |u ∈ U}.
»|U = µ, » —

Beweis:
Sei ± := sup{| < µ, u > | | u ∈ U}. Setze p(x) := ± x , x ∈ X. Nach Satz 9.27 gibt es
» ∈ X mit
»|U = µ, < », x > ¤ p(x) ∀x ∈ X.
Es gilt
’ < », x >=< », ’x > ¤ p(’x) = p(x) , x ∈ X.
Also haben wir
| < », x > | ¤ ± x , x ∈ X.
Dies zeigt zusammen mit Satz 8.16 die Stetigkeit von » und schließlich auch

» = ±.




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