<<

. 8
( 63 .)



>>

meist jedoch lassen wir · auch weg.

Betrachte eine Gleichung
ax = b (a, b ∈ IK )
in einer “Unbekannten“. Als Losung suchen wir x ∈ IK , sodaß die Gleichung, wenn wir x
¨
einsetzen, erfullt ist. Die Gleichung hat
¨
“ keine Losung, falls a = 0, aber b = 0 ist;
¨
“ jedes x als Losung, falls a = 0 und b = 0 ist;
¨
“ genau eine Losung x = a’1 b , falls a = 0 ist.
¨
Die Gleichung
a 1 x1 + a 2 x2 = b (2.1)
in zwei Unbekannten mit a1, a2 , b ∈ IK hat
“ keine Losung, falls a1 = a2 = 0, aber b = 0 ist;
¨
“ alle (x1 , x2) ∈ IK 2 als Losung, falls a1 = a2 = b = 0 ist;
¨
“ alle Paare (x1, x2 ) in

{(z1 , z2)|z2 = a’1 (b ’ a1 z1) , z1 ∈ IK } , falls a2 = 0 ,
2

d.h. alle Punkte der Geraden

y = ’a’1 a1 x + b
2


26
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 27


mit Steigung ’a1a’1 , bzw.
2

{(z1 , z2)|z1 = a’1 (b ’ a2 z2) , z2 ∈ IK } , falls a1 = 0 ,
1

als Losung.
¨

Wir nennen die Gleichung (2.1) eine lineare Gleichung, da in ihr nur Summanden der
Form ai xi auftreten; eine algebraische De¬nition des Begri¬s “linear“ in allgemeinerem
Rahmen folgt sp¨ter. Keine linearen Gleichungen sind demnach:
a

x1 + 3x2 = 7 , x1 + 2x2 = ’1 , x1 x2 + x2 = 1 .
2


Fur das System linearer Gleichungen
¨
a11x1 + a12x2 = b1 (2.2)
a21x1 + a22x2 = b2 (2.3)
mit a11, a12, a21, a22, b1, b2 ∈ IK sucht man “simultane“ L¨sungen, d.h. Paare (x1, x2) ∈
o
2
IK , sodaß beim Einsetzen beide Gleichungen erfullt sind. Wir machen eine Fallunter-
¨
scheidung:
Fall 1: a11 = a12 = a21 = a22 = 0.
Ist b1 = 0 oder b2 = 0, so gibt es keine L¨sung.
o
Sind b1 = b2 = 0, so sind alle Paare (x1, x2) L¨sungen.
o
Fall 2: a11 = 0.
Addiere das (’a’1 a21) “ fache der ersten Gleichung (2.2) zur zweiten Gleichung (2.3).
11
Dies ergibt
0 · x1 + (a22 ’ a’1 a21 a12)x2 = b2 ’ a’1 a21 b1 . (2.4)
11 11

Multiplikation mit a11 fuhrt auf
¨
(a11a22 ’ a12a21)x2 = a11b2 ’ a21b1 . (2.5)
Die Losungsmengen von (2.2),(2.3) bzw. (2.2),(2.4) bzw. (2.2),(2.5) sind identisch.
¨
Fall 2a: ∆ := a11a22 ’ a12a21 = 0 .
Man rechnet aus (2.5) x2 aus:
x2 = ∆’1 (a12b2 ’ a21b1) ,
¨
setzt in (2.2) ein und “l¨st“ nach x1 auf (siehe Uberlegungen zur Gleichung mit einer
o
Unbekannten):
x1 = ∆’1 (a22b1 ’ a12b2) .
Man veri¬ziert, daß nun das Paar (x1 , x2) den Gleichungen (2.2),(2.3) genugt. Es gibt also
¨
genau eine L¨sung.
o
Fall 2b: ∆ = 0 .
Nun existiert fur a11b2 ’ a21b1 = 0 keine L¨sung. Fur a11b2 ’ a21b1 = 0 ist x2 in (2.5) frei
o
¨ ¨
w¨hlbar und als L¨sungsmenge zum Gleichungssystem (2.2),(2.3) erhalten wir die Menge
a o
{(x1, x2 )|x1 = a’1 (b1 ’ a12x2) , x2 ∈ IK } .
11
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 28


Fall 3: Tritt Fall 1 nicht ein, so kann o.E. Fall 2 erreicht werden, denn:
Ist a11 = 0, ist Fall 2 gegeben.
Ist a21 = 0, mache Gleichung (2.2) zur Gleichung (2.3) und Gleichung (2.3) zur Gleichung
(2.2) durch Umnummerierung (“Zeilenvertauschung“).
Ist a12 = 0, mache Unbekannte x1 zur Unbekannten x2 und Unbekannte x2 zur Unbe-
kannten x1 (“Spaltenvertauschung“).
Ist a22 = 0, kombiniere die Schritte “Zeilenvertauschung“ und “Spaltenvertauschung“.


Bemerkung 2.1
Die L¨sung des Gleichungssystems (2.2),(2.3) bedeutet o¬enbar, den Schnittpunkt der
o
beiden Geraden
a11x1 + a12x2 = b1 , a21x1 + a22x2 = b2
2
im “Anschaungsraum“ IK 2 zu suchen.


Bemerkung 2.2
Die Gr¨ße ∆, welche im Fall 1 gleich Null ist, bestimmt o¬enbar, ob es genau eine L¨sung
o o
des Gleichungssystems (2.2),(2.3) gibt oder nicht. Diese Zahl heißt Determinante be-
trachtet in Abh¨ngigkeit von den Gr¨ßen aij im Gleichungssystem, heißt sie Determi-
a o
nantenfunktion. Wir widmen dieser Gr¨ße das Kapitel 7.
o
Die Bezeichnung “Spaltenvertauschung“ wird am Ende dieses Abschnitts noch einsichtig
2
werden.


Beispiel 2.3
Wir betrachten eine spezielle Interpolationsaufgabe, eine allgemeinere Betrachtung
folgt in Kapitel 4.
Finde eine Parabel y = ax2 + bx + c durch die Punkte (0, 0), (1, 1), (’1, 2) .

Als Gleichungssystem erhalten wir in naheliegenderweise:

0 = a · 0 + b · 0 + c , 1 = a · 12 + b · 1 + c , 2 = a · (’1)2 + b · (’1) + c .

Also c = 0 und
a + b = 1, a ’ b = 2,
d.h.
a = 3/2 , b = ’1/2 , c = 0 .
2
Damit ist die Parabel nun (eindeutig) bestimmt.

Ein lineares Gleichungssystem in n Unbekannten und m Gleichungen ist gegeben
durch ein Schema
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
. . . .
. . . .
. . . .
am1x1 + am2x2 + . . . + amn xn = bm
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 29


Die Gr¨ßen aij nennen wir Koe¬zienten des Gleichungssystems. Jede Zeile dieses Sche-
o
mas k¨nnen wir mit dem Summenzeichen aufschreiben. Dann erhalten wir:
o
n
aij xj = bi , 1 ¤ i ¤ m . (2.6)
j=1




De¬nition 2.4
Ein x ∈ IK n mit x = (x1, . . . , xn ) heißt L¨sung von (2.6), falls
o
n
aij xj = bi , 1 ¤ i ¤ m .
2
j=1




Bezeichnung: Mit dem Symbol k = n1 (n2 )n3 bezeichnen wir die Aufz¨hlung
a
k = n1 , n1 + n2, n1 + 2 n2 , . . . , n3 .
Nun fassen wir die Zeilen noch zu einem noch kompakterem Schema zusammen, indem
wir einfuhren:
¨
« 
a11 a12 . . . a1n
¬ ·
¬ ·
a21 a22 . . . a2n
A := ¬ · := (aij )
. . .
¬ ·
. . . i=1 (1 )m , j =1 (1 )n
 
. . .
am1 am2 . . . amn


Wir nennen A eine Matrix, genauer eine (m — n) “ Matrix mit Eintr¨gen aus dem
a
Zahlbereich IK .
Das aus dem Lateinischen kommende Wort “Matrix“ bedeutete ursprunglich “Mutterleib“ oder
¨
“Uterus“, also etwas, worin oder woraus sich etwas entwickelt. Im Vergleich dazu ist die ma-
thematische De¬nition steril. Die Tensoren, die wir im Kapitel 11 besprechen wollen, sind eine
Verallgemeinerung des Matrixbegri¬s. Sp¨testens aber nach diesen Betrachtungen wird klar sein,
a
daß die Etymologie des Wortes “Matrix“ nicht so unangebracht ist. Als “Er¬nder“ der Matrizen
ist A. Cayley (1821 “ 1895) anzusehen.
Wir fassen nun noch die rechte Seite des obigen Gleichungssystems zusammen zu
« 
b1
¬ ·
¬ ·
b2
b := ¬ ·
.
¬ ·
.
 
.
bm
und die gesuchte Losung oder die Unbekannten zu
¨
« 
x1
¬ ·
¬ ·
x2
x := ¬ ·.
.
¬ ·
.
 
.
xn
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 30


Das Gleichungssystem schreiben wir dann als

Ax = b (2.7)

Wir wollen nun dieser Schreibweise und dem Wort “linear“ Gehalt geben. Dazu haben
wir noch zus¨tzliche Strukturen auszumachen.
a


2.2 Matrizen und Vektoren
Wir setzen

IK m,n := A | A = (aij )i=1 (1 )m , j =1 (1 )n , i = 1(1)m, j = 1(1)n

jedes Element von IK m,n heißt eine (m — n) “ Matrix. Wir nennen IK m,n den Ring der
(m — n) “ Matrizen uber IK , falls m = n gilt. Die Bezeichnung “Ring“ verdeutlichen wir
¨
sp¨ter. Jedes Element A = (aij )i=1 (1 )m , j =1 (1 )n ∈ IK m,n ist also ein Schema, wie wir es im
a
Zusammenhang mit dem Gleichungssystem eingefuhrt haben. ¨

Nun fuhren wir Verknupfungen ein:
¨ ¨
Addition:

• : IK m,n — IK m,n ’’ A • B := (aij + bij )i=1 (1 )m , j =1 (1 )n ∈ IK m,n

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. 8
( 63 .)



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