<<

. 9
( 63 .)



>>

(A, B)

wobei A = (aij )i=1 (1 )m , j =1 (1 )n , B = (bij )i=1 (1 )m , j =1 (1 )n .

Multiplikation:
n
— IK ’’ aik · bkj ∈ IK m,l
m,n n,l
: IK (A, B) A B :=
k=1 i=1 (1 )m , j =1 (1 )l

wobei A = (aij )i=1 (1 )m , j =1 (1 )n , B = (bij )i=1 (1 )n , j =1 (1 )l .

Skalare Multiplikation:

• : IK — IK m,n ’’ r • A := (r · aij )i=1 (1 )m , j =1 (1 )n ∈ IK m,n
(r, A)

wobei A = (aij )i=1 (1 )m , j =1 (1 )n .

Das Wort “skalar“ wird seine Bedeutung im Kapitel uber Vektorr¨ume bekommen.
a
¨
Die eben eingefuhrte Bezeichnung wollen wir sofort wieder zugunsten der gebr¨uchlichen,
a
¨
kurzeren Notation ab¨ndern:
a
¨

IK m,n — IK m,n (A, B) ’’ A + B := A • B ∈ IK m,n
IK m,n — IK n,l (A, B) ’’ AB := A · B := A B ∈ IK m,l
IK — IK m,n (r, A) ’’ rA := r · A := r • A ∈ IK m,n
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 31


Die ursprungliche Verwendung von •, , • dient nur der Verdeutlichung, daß + , · unter-
¨
schiedliche Objekte verknupft. Aus der Addition ergibt sich in ublicher Weise die Sub-
¨ ¨
traktion:
A ’ B := A + (’B) , A, B ∈ IK m,n ,
wobei das Negative ’B von B durch

’B := (’bij )i=1 (1 )m , j =1 (1 )n mit B = (bij )i=1 (1 )m , j =1 (1 )n ,

de¬niert ist.


Beispiel 2.5
Betrachte in Q oder IR die Matrizen

0 ’1
01
A := , B := .
40 02

Wir haben
00 0r
A+B =B +A= , rA = ,
42 4r 0
’4 0
02
AB = , BA = .
0 ’4 80
2
Beachte die Tatsache, daß A + B = B + A, aber AB = BA ist.

Eine Sonderrolle nehmen die Matrizen in IK m,1 und IK 1,n ein. Wir nennen die Elemente
in IK m,1 Spaltenvektoren und die Elemente in IK 1,n Zeilenvektoren. Diese Bezeich-
nungsweise wird anschaulich, wenn wir die zugeh¨rigen Schemata betrachten:
o
m,1
In IK : « 
a11
¬ ·
¬ a21 ·
A = (aij )i=1 (1 )m , j =1 (1 )1 = ¬ . · .
¬.·
.
am1
In IK 1,n:
A = (aij )i=1 (1 )1 , j =1 (1 )n = a11 a12 . . . a1n .


Bemerkung 2.6
Die Bezeichnung Vektor fur ein Element in IK l bzw. IK m,1 bzw. IK 1,n ist aus der Physik
¨
ubernommen. Hier ist der physikalische Hintergrund, eine gerichtete Gr¨ße zu sein, nicht
o
¨
relevant, einzig und allein die Regeln, mit denen wir mit den n-Tupeln, den Spaltenvek-
toren oder den Zeilenvektoren umgehen, sind entscheidend. Die physikalische Sichtweise
“ die Bezeichnung Skalar fur die Elemente in IK kommt auch aus der Physik “ wird
¨
2
sp¨testens dann eine Rolle spielen, wenn wir uber a¬ne R¨ume reden werden.
a a
¨

Es ist o¬enbar ein enger Zusammenhang zwischen IK m,1 und IK m bzw. IK 1,n und IK n .
Meist identi¬zieren wir IK m,1 , IK 1,n mit IK m bzw. IK n und verwenden fur Spalten- bzw.
¨
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 32


Zeilenvektoren kleine Buchstaben. Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation uber-
¨
m,1 m
tragen sich sofort von IK auf IK gem¨ß
a

x + y := (x1 + y1, . . . , xm + ym )
x ’ y := (x1 ’ y1, . . . , xm ’ ym )
rx := (rx1 , . . . , rxm ) ,

wobei x = (x1, . . . , xm ) , y = (y1, . . . , ym ) ∈ IK m , r ∈ IK .

Die Schreibweise
Ax = b
fur das Gleichungssystem in n Unbekannten und m Gleichungen ist damit nun wohl
¨
erkl¨rt:
a
Es handelt sich bei der Schreibweise Ax um ein Produkt der Matrix A mit
dem Spaltenvektor x.


Eine Matrix A ∈ IK m,n k¨nnen wir uns, je nach Interesse, aus Spaltenvektoren
o

, aj ∈ IK m,1 , 1 ¤ j ¤ n ,
a1 . . . an
A=

oder aus Zeilenvektoren
« 
b1
A = ¬ . · , bi ∈ IK 1,n , 1 ¤ i ¤ m ,
.
.
bm

aufgebaut denken.

Jede Matrix A ∈ IK m,n vermittelt durch

x ’’ Ax ∈ IK m,1
IK n,1

eine Abbildung TA. Es gilt o¬enbar:

TA(x + y) = TA(x) + TA(y) , TA(rx) = rTA (x) , x, y ∈ IK m,1, r ∈ IK . (2.8)
Auf Grund der Eigenschaften (2.8) nennen wir die Abbildung TA linear. Aus der Besch¨fti-
a
gung mit fast ausschließlich linearen Abbildungen leitet sich das Wort linear in der Be-
zeichnung “Lineare Algebra“ ab.

Die Identitat idIK n,1 wird induziert durch die Einheitsmatrix
¨

E := (δij )i=1 (1 )n , j =1 (1 )n ,

wobei δij das sogenannte Kronecker“Symbol

1 , falls i = j
δij =
0 , sonst
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 33


ist.

Bezeichnung: Die Spaltenvektoren
«  «  « 
1 0 0
¬ · ¬ · ¬ ·
¬ · ¬ · ¬ ·
0 1 0
¬ · ¬ · ¬ ·
¬ · ¬ · ¬ ·
0 0 0
e := ¬ · ¬ · ¬ ·
· , · · · , e := ¬
1 2 l
¬ · , e := ¬ ·,
. . .
¬ · ¬ · ¬ ·
. . .
. . .
¬ · ¬ · ¬ ·
¬ · ¬ · ¬ ·
0  0  0 
0 0 1

in IK l,1 heißen Einheitsvektoren. Die Einheitsmatrix E ∈ IK n,n schreibt sich damit als

E = (e1| · · · |en ) .

Die Zahl n bei IK n bezeichnen wir als Dimension und IK n nennen wir einen n “ di-
mensionalen Raum. Hier ist es einfach eine Sprechweise, sp¨ter werden wir dies genauer
a
begrunden. Soviel l¨ßt sich jedoch sofort sehen: Ein Vektor in IK n steht fur n Freiheits-
a
¨ ¨
grade, da wir in in n Komponenten die Freiheit haben, zu operieren, unabh¨ngig von den
a
anderen Komponenten.




2.3 Losungsraum
¨
Betrachte ein Gleichungssystem
Ax = b (2.9)
Die Daten des Gleichungssystems sind A ∈ IK m,n (Systemmatrix), b ∈ IK m,1 (rechte
Seite); x ∈ IK n,1 steht fur den L¨sungsvektor.
o
¨

Bezeichnung:
Mit θ schreiben wir den Nullvektor in einem Raum IK n , also θ = (0, . . . , 0). Diese Be-
zeichnung verwenden wir sinngemaß auch fur θ als Spalten“ bzw. Zeilenvektor.
¨ ¨
m,n
Mit ˜ schreiben wir die Nullmatrix in IK , d.h. ˜ = (aij )i=1 (1 )m , j =1 (1 )n mit Eintragen
¨
aij = 0 , i = 1(1)m , j = 1(1)n .


De¬nition 2.7
Das System
Ax = b
heißt homogen, falls b = θ ist, anderenfalls inhomogen.
2
Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 34


Satz 2.8
(a) Ist das System (2.9) homogen, so hat es die triviale L¨sung x = θ.
o

(b) Lθ := {x ∈ IK n,1 |Ax = θ} ist abgeschlossen bzgl. der Addition und skalaren
Multiplikation, d.h.

u + v ∈ Lθ , ru ∈ Lθ , , falls u, v ∈ Lθ , r ∈ IK .

(c) Ist Lb := {x ∈ IK n,1 |Ax = b} = …, dann ist

Lb = x + Lθ := {¯ + u|u ∈ Lθ } ,
¯ x

wobei x (irgendeine spezielle) L¨sung von (2.9) ist.
¯ o
Beweis:
Zu (a). Trivial.
Zu (b). Folgt aus (2.8).
Zu (c).
Sei x ∈ Lb . Dann gilt A(x ’ x) = θ, d.h. x ’ x ∈ Lθ .
¯ ¯
Sei x = x + u mit u ∈ Lθ . Dann ist o¬enbar Ax = A¯ = b , d.h. x ∈ Lb .
¯ x

Beispiel 2.9
01
Sei A := .
00

0 1 x1

<<

. 9
( 63 .)



>>