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Lineare Algebra und Geometrie I und II
Wintersemester 2000/2001
und Sommersemester 2001
Erwin Bolthausen
28. September 2001
Inhaltsverzeichnis
1 Mengen, Abbildungen, Relationen 5
1.1 Grundlegende Mengenbegri¬e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
¨
1.3 Relationen, Aquivalenzrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Abz¨hlbare Mengen . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Vollst¨ndige Induktion . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Algebraische Grundstrukturen:
Gruppen, Ringe, K¨rper
o 23
2.1 Zweistellige Verknupfungen, Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . 23
¨
2.2 Ringe und K¨rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 28

3 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen 33
3.1 Das Gaußsche Eliminationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Matrizenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 Vektorr¨ume und lineare Abbildungen
a 49
4.1 Vektorr¨ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a .... 49
4.2 Unterr¨ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a .... 53
4.3 Basis eines Vektorraums, Erzeugendensysteme,
lineare Unabh¨ngigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a . . . . 55
4.4 Basiswechsel, Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.5 Anwendungen auf Matrizen und lineare Gleichungssysteme . . . . 68
4.6 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.7 Darstellende Matrix einer linearen Abbildung . . . . . . . . . . . 83

5 Determinanten 87
5.1 Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2 Multilinearformen, alternierende Multilinearformen . . . . . . . . 91
5.3 Die Determinantenform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.4 Die Determinante eines Endomorphismus . . . . . . . . . . . . . . 98
5.5 Eigenschaften der Determinante einer quadratischen
Matrix, Cramersche Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6 Invariante Unterr¨ume,
a
Eigenwerte und Eigenvektoren 105
6.1 Direkte Summe von Unterraumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
¨
6.2 Invariante Unterraume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
¨
6.3 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.4 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.4.1 Teilbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.4.2 Nullstellen von Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

2
6.4.3 Ideale, grosster gemeinsamer Teiler, Euklidscher Algorithmus126
¨
6.4.4 Primfaktorzerlegung von Polynomen . . . . . . . . . . . . 130
6.5 Polynomiale Funktionen von Endomorphismen . . . . . . . . . . . 133

7 Die Jordansche Normalform:
Struktur der Endomorphismen 140
7.1 Nilpotente Endomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.2 Die Jordansche Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

8 Nicht negative reelle Matrizen,
Marko¬-Ketten 155
8.1 Einfuhrende Begri¬e, Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
¨
8.1.1 Irrfahrten auf Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.1.2 Irrfahrten auf Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.1.3 Gittermodelle der statistischen Physik . . . . . . . . . . . 159
8.2 Irreduzibilit¨t, Periodizit¨t . . . . . . . . . .
a a . . . . . . . . . . . 160
8.3 Der Perron-Frobenius Eigenwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

9 Lineare Di¬erentialgleichungen mit
konstanten Koe¬zienten 175
9.1 Das Exponential einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
9.2 Lineare Systeme von Di¬erentialgleichungen . . . . . . . . . . . . 178

10 Bilinearformen und Isometrien 186
10.1 Spezielle Typen von Bilinearformen,
Gramsche Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
10.2 Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
10.3 Das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungs-
verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
10.4 Positiv de¬nite Bilinearformen und Matrizen . . . . . . . . . . . . 206
10.5 Isometrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

11 Euklidsche und unit¨re Vektorr¨ume
a a 213
11.1 L¨ngen und Winkel . . . . . . . . . . .
a ....... ..... . . . 214
11.2 Orthogonale Projektion . . . . . . . . . ....... ..... . . . 215
11.3 Methode der kleinsten Quadrate . . . . ....... ..... . . . 220
11.4 Fourierkoe¬zienten . . . . . . . . . . . ....... ..... . . . 223
11.5 Orthogonale und unit¨re Matrizen . . .
a ....... ..... . . . 225
11.6 Selbstadjungierte Abbildungen . . . . . ....... ..... . . . 233
11.7 Eine Darstellung des dreidimensionalen Euklidschen Raumes . . . 240
11.8 Hamiltonsche Quaternionen . . . . . . ....... ..... . . . 249




3
12 Quadratische Funktionen
und a¬ne Quadriken 252
12.1 A¬ne Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
¨
12.2 Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
12.3 A¬ne Quadriken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256




4
1 Mengen, Abbildungen, Relationen
1.1 Grundlegende Mengenbegri¬e
Eine Menge ist eine beliebige Kollektion von Objekten, wie z.B. Zahlen, geome-
trischen Objekten, etc., den Elementen der Menge.

• a ∈ M bedeutet: a ist Element der Menge M.
Notation 1.1
• a ∈ M bedeutet: a ist nicht Element der Menge M .
/

Es gibt verschiedenen M¨glichkeiten, Mengen darzustellen; die einfachste ist,
o
die Elemente der Menge einfach aufzulisten. Man schreibt diese Elemente ubli-
¨
cherweise dann in geschweifte Klammern:

M = {1, 4, 7, 9} . (1.1)

Diese Menge enth¨lt 4 Elemente, n¨mlich die Elemente 1, 4, 7 und 9. Die Anzahl
a a
der Elemente einer Menge nennt man die Kardinalit¨t der Menge. Die durch
a
(1.1) gegebene Menge hat also die Kardinalit¨t 4. Schwierig wird diese Darstel-
a
lungsweise dann, wenn die Menge sehr viele oder gar unendlich viele Elemente
enth¨lt. Man behilft sich dann oft mit “Punktchen”. Z.B. ist die Menge
a ¨
M = {1, 3, 5, 7, 9, . . .}

einfach die Menge der ungeraden naturlichen Zahlen. Diese Menge enth¨lt natur-
a
¨ ¨
lich unendlich viele Elemente. Man sagt dann auch, die Kardinalit¨t sei ∞.
a
Es ist ublich, Mengen mit grossen lateinischen Buchstaben wie A, B oder
¨
M zu bezeichnen, und die Elemente mit kleinen. Dies kann jedoch nicht streng
durchgehalten werden, denn oft sind die Elemente einer Menge auch selbst wieder
Mengen. Wir werden uns nach M¨glichkeit an diese Konvention halten; es wird
o
jedoch auch viele Ausnahmen geben.
Nachfolgend ist eine Au¬‚istung der fur uns wichtigsten Mengen von Zahlen.
¨
Es ist hier ublich, diese mit grossen lateinischen Buchstaben mit “Doppelstrichen”
¨
zu bezeichnen. Die entsprechenden Bezeichnungen sind ein fur allemal fur diese
¨ ¨
speziellen Mengen reserviert.

• N ist die Menge der naturlichen Zahlen, d.h.
¨
N := {1, 2, 3, 4, . . .} .

Mit N0 bezeichnen wir die Menge der naturlichen Zahlen inklusive der Null:
¨
N0 := {0, 1, 2, 3, 4, . . .} .
• Z ist die Menge der ganzen Zahlen, d.h.

Z := {0, 1, ’1, 2, ’2, 3, ’3, 4, ’4, . . .} .

5
• Q ist die Menge der rationalen Zahlen, d.h. der Zahlen, die sich als
Bruche von ganzen Zahlen (mit Nenner = 0) darstellen lassen. Also z.B.
¨
sind 3/4, 234/1875 rationale Zahlen, in unserer Sprechweise also Elemente
von Q.

• R ist die Menge der reellen Zahlen. Es macht schon sehr viel gr¨sse- o
re Schwierigkeiten, genau zu beschreiben, wie diese Menge de¬niert ist.
In der Vorlesung Di¬erential- und Integralrechnung I (im folgenden kurz
DI) wird dies genauer durchgefuhrt. Aus der Schule am besten bekannt
¨
ist wahrscheinlich die Beschreibung der reellen Zahlen als unendlich lange
Dezimalbruche.
¨
• C ist die Menge der komplexen Zahlen. Die komplexen Zahlen werden
ebenfalls in DI eingefuhrt. Wichtige Eigenschaften werden auch in dieser
¨
Vorlesung spater vorgestellt werden.
¨


Statt durch eine Aufz¨hlung beschreibt man Mengen auch oft einfach durch
a
die Angabe der Eigenschaften ihrer Elemente. Hier ein Beispiel:

M = {x : x ∈ N, x ist durch 5 teilbar} .

Dies bedarf einiger Erl¨uterungen. Die Menge M besteht hier aus denjenigen
a
Elementen x, deren Eigenschaften hinter dem Doppelpunkt aufgez¨hlt sind. Hier
a
sind es zwei Eigenschaften: x muss eine naturliche Zahl sein und x ist durch 5
¨
teilbar.
Eine aufzahlende Beschreibung fur diese Menge ist einfach
¨ ¨

M = {5, 10, 15, 20, . . .} .

Ein anderes Beispiel:
A = x : x ∈ R, x2 = 1 .
Das ist naturlich einfach die zweielementige Menge {’1, 1} .
¨
Nun zu weiteren De¬nitionen uber Mengen. Zwei Mengen A und B heissen
¨
gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Wir benutzen die Gelegenheit,
¨
eine “stenographische” Kurzschreibweise solcher Aussagen einzufuhren:
¨

A = B ” ∀x (x ∈ A ” x ∈ B) . (1.3)

Die Notationen sind vielleicht schon aus der Schule bekannt. ∀ ist einfach ein
Kurzel fur “fur alle”. ∀x bedeutet einfach “fur alle x gilt:”. Der Doppelpfeil
¨ ¨ ¨ ¨
” ist sicher aus der Schule bekannt. Es ist einfach eine Abkurzung fur “gilt
¨ ¨
dann und nur dann wenn” oder “gilt genau dann wenn”. Das Kryptogramm
(1.3) besagt also einfach: A und B sind genau dann gleich, wenn fur alle x gilt:
¨
x ist Element von A genau dann, wenn es Element von B ist. Etwas weniger

6
umstandlich ausgedruckt: A und B sind genau dann gleich, wenn sie dieselben
¨ ¨
Elemente enthalten.
Eine bestimmte Menge spielt eine besondere Rolle, die sogenannte leere
Menge …. Sie ist de¬niert als die Menge, die keine Elemente enthalt. Es gibt
¨
o¬enbar nur eine leere Menge, denn zwei Mengen sind gleich, wenn sie dieselben
Elemente enthalten. Da leere Mengen gar keine Elemente enthalten, sind o¬enbar
zwei leere Mengen gleich, d.h. es gibt nur eine leere Menge.
A ist eine Teilmenge von B, wenn jedes Element von A auch Element von
B ist. Man schreibt dann A ‚ B. Wieder “stenographisch”:
A ‚ B ” ∀x (x ∈ A ’ x ∈ B) .
Hier verwenden wir den einfachen Implikationspfeil ’, der sicher auch aus der
Schule bekannt ist. Naturlich ist B immer eine Teilmenge von B. Ferner ist die
¨
leere Menge … eine Teilmenge jeder Menge. Man beachte, dass zwei Mengen A
und B genau dann gleich sind, wenn A ‚ B und B ‚ A gelten. Mancherorts
wird fur die Teilmengenbeziehung auch noch die Schreibweise ⊆ verwendet, die

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