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. 12
( 60 .)



>>

= 0v
=0 nach a).


50
d) Ist ± = 0 so folgt
1 1 1
v = 1v = ± v = (±v) = 0 = 0.
± ± ±
Die erste Gleichung gilt nach (V2), die zweite ist die Eigenschaft eines Inversen
in K, die dritte folgt aus (V3), die vierte folgt aus der Voraussetzung und die
letzte folgt aus b).
Sind v1 , v2 , . . . , vn ∈ V und ±1 , ±2 , . . . , ±n ∈ K so ist rekursiv
n
±1 v1 + ±2 v2 + . . . + ±n vn = ±i vi
i=1

de¬niert. Man nennt dies eine Linearkombination der vi .
Beispiel 4.1 Der einfachste Vektorraum ist der sogenannte 0-dimensionale
Vektorraum. Er enth¨lt nur ein Element, den 0-Vektor: V = {0} .
a
Beispiel 4.2 Sei n ∈ N und K sei ein beliebiger K¨rper. Dann ist der Raum
o
der n-Tupel von Elementen von K :
K n := {x = (x1 , x2 , . . . , xn ) : xi ∈ K}
ein K-Vektorraum. Wir de¬nieren die Addition durch
(x1 , x2 , . . . , xn ) + (y1 , y2 , . . . , yn ) := (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn )
und die Multiplikation mit Skalaren durch
± (x1 , x2 , . . . , xn ) := (±x1 , ±x2 , . . . , ±xn ) .
Man pruft sofort nach, dass die Vektorraumaxiome erfullt sind.
¨ ¨
K selbst wird auf diese Weise zu einem K-Vektorraum.
Beispiel 4.3 Wir verallgemeinern das vorangegangene Beispiel: Sei M eine be-
liebige Menge. Dann de¬nieren wir K M als die Menge aller Funktionen M ’ K :
K M := {f : f : M ’ K} .
Wir de¬nieren die Addition zweier Funktionen f, g ∈ K M durch
(f + g) (m) := f (m) + g (m)
und die Multiplikation mit Skalaren durch
(±f ) (m) := ±f (m) .
Das Beispiel 4.2 ist der Spezialfall M = {1, . . . , m} . Ein weiterer Spezialfall ist
M := N. Eine Funktion N ’ K ist nichts anderes als eine Folge (±i )i∈N von
Elementen in K.

51
Beispiel 4.4 Wir k¨nnen uns auch auf spezielle Funktionen einschr¨nken:
o a

V := {f : f ist stetige Funktion R ’ R}

ist ebenfalls ein Vektorraum.

Beispiel 4.5 Seien K, L zwei K¨rper mit K ‚ L, wobei die Addition und die
o
Multiplikation in K von Elementen in K mit den entsprechenden in L uber- ¨
einstimmen. L heisst dann eine K¨rpererweiterung von K. Z.B. ist R eine
o
K¨rpererweiterung von Q und C ist eine K¨rpererweiterung von R (und von Q).
o o
In einem solchen Fall ist L ein K-Vektorraum: Die Addition ist die Addition in L
und die Multiplikation von Elementen x ∈ L mit “Skalaren” ± ∈ K ist naturlich ¨
einfach die Multiplikation in L. Man pruft sofort nach, dass die Vektorraumaxio-
¨
me gelten.
Man muss jedoch aufpassen: Z5 , das wir mit {0, 1, . . . , 4} identi¬zieren k¨n-
o
nen, ist keine K¨rpererweiterung von Z2 . 1 + 1 = 0 gilt in Z2 , aber nicht in
o
Z5 . Somit ist die obige Voraussetzung verletzt, dass die Verknupfungen auf der
¨
kleineren Menge ubereinstimmen.
¨

Beispiel 4.6 Sei M (m, n, K) die Menge der m — n-Matrizen mit Komponenten
in K. (Zur Erinnerung: Wir hatten mit M (n, K) die Menge der quadratischen
n — n-Matrizen bezeichnet). M (m, n, K) ist ein K-Vektorraum. Addition und
Multiplikation mit Skalaren sind auf die naturliche Weise de¬niert. Wir k¨nnen
o
¨
die Komponenten einer Matrix naturlich einfach “der Reihe nach” aufschreiben.
¨
Dann ist eine m — n-Matrix naturlich nichts anderes als ein Element in K nm .
¨
In dieser Schreibweise gehen jedoch alle Aspekte, die mit der Multiplikation von
Matrizen zusammenh¨ngen, unter.
a

Bemerkung 4.1 Die folgende Bemerkung ist im Moment nicht allzu wichtig:
Wie schon oben erw¨hnt, wird in einem K-Vektorraum nicht verlangt, dass Vek-
a
toren miteinander multipliziert werden k¨nnen. Dennoch gibt es naturlich Vek-
o ¨
torr¨ume, wo eine Multiplikation der Vektoren de¬niert und wichtig ist. Beispiele
a
sind etwa der R3 mit dem Ihnen wahrscheinlich bekannten Vektorprodukt, oder
M (n, K) mit dem Matrizenprodukt. Die Minimalforderung an ein solches Pro-
dukt, nennen wir es —, ist ublicherweise die sogenannte Bilinearit¨t: Fur ±, β ∈ K
a
¨ ¨
und u, v, w ∈ V soll

(±u + βv) — w = ± (u — w) + β (v — w)

gelten, und dasselbe im zweiten Argument des Produkts. Man pruft sofort nach,
¨
dass diese Eigenschaft in den beiden eben erw¨hnten Produkten erfullt sind. Man
a ¨
nennt einen K-Vektorraum mit einem Produkt, das diese Eigenschaft erfullt, eine
¨
K-Algebra.


52
Das Vektorprodukt in R3 ist jedoch nicht assoziativ, erfullt aber
¨
u—v+v—u=0
und die sogenannte Jacobi-Identit¨t:
a
u — (v — w) + v — (w — u) + w — (u — v) = 0.
Eine K-Algebra mit diesen Eigenschaften nennt man eine Lie-Algebra. Eine
K-Algebra, deren Verknupfung — assoziativ ist, bezeichnet man als assoziative
¨
K-Algebra. Da nicht assoziative Algebren sehr wichtig sind, betont man die
Assoziativit¨t, falls sie vorliegt. M (n, K) ist eine assoziative Algebra.
a
¨
Ubung 4.1 Zeigen Sie, dass M (n, K) mit der Verknupfung
¨
[A, B] := AB ’ BA
eine Lie-Algebra ist.

4.2 Unterr¨ume
a
De¬nition 4.2 V sei ein K-Vektorraum. Eine nichtleere Teilmenge U ‚ V
heisst Unterraum (oder linearer Teilraum, oder auch linearer Unterraum), wenn
die folgenden Axiome erfullt sind:
¨
U1 Fur u, v ∈ U gilt u + v ∈ U.
¨
U2 Fur u ∈ U und ± ∈ K gilt ±u ∈ U.
¨
Bemerkung 4.2 Wir k¨nnen die beiden Bedingungen in eine zusammenfassen:
o
±u + βv ∈ U, f¨r ∀±, β ∈ K, ∀u, v ∈ U.
u
Beispiel 4.7 Die beiden Koordinatenachsen {(x, 0) : x ∈ R} und {(0, y) : y ∈ R}
sind Unterr¨ume des R-Vektorraums R2 .
a
Wir konnen dieses Beispiel noch weitgehend verallgemeinern.
¨
Beispiel 4.8 Wir betrachten ein homogenes lineares Gleichungssystem
Ax = 0,
wobei A eine m — n-Matrix ist. Dann ist der L¨sungsraum
o
L := {x ∈ K n : Ax = 0}
ein Unterraum von K n . Das ist ganz einfach zu sehen: Sind x, y L¨sungen des
o
Systems und sind ±, β ∈ K, so ist ±x + βy wegen
A (±x + βy) = ±Ax + βAy = 0
ebenfalls eine L¨sung des Systems.
o

53
Es ist wichtig zu bemerken, dass die Losungsmenge eines inhomogenen Sy-
¨
stems kein Unterraum ist. Sind x, y Losungen des Systems
¨

Ax = b,

so gilt
A (±x + βy) = (± + β) b
und die rechte Seite ist naturlich im Allgemeinen ungleich b.
¨

Satz 4.1 Ist U ein Unterraum eines K-Vektorraums V, so ist U selbst ein K-
Vektorraum.

Beweis. Wir uberzeugen uns zun¨chst davon, dass der Nullvektor von V
a
¨
ebenfalls in U liegt: Wir haben vorausgesetzt, dass U mindestens ein Element
enth¨lt, nennen wir es u. Dann ist wegen (U2) und Proposition 4.1 a)
a

0 = 0v ∈ U.

Zu v ∈ U ist wegen (U2)
’v = (’1) v ∈ U,
die erste Gleichung nach 4.1 c).
Damit folgt nun, dass (U, +) eine abelsche Gruppe ist, mit der von V uber-
¨
nommenen Addition. Die anderen der Vektorraumaxiome folgen nun sofort aus
den entsprechenden in V.

Satz 4.2 Sind U1 und U2 zwei Unterr¨ume des Vektorraums V, so ist U1 © U2
a
ein Unterraum.

Beweis. Es gilt
0 ∈ U1 © U2 .
Somit ist U1 © U2 nicht leer.
Sind ±, β ∈ K und u, v ∈ U1 © U2 , so sind u, v sowohl aus U1 wie aus U2 .
Wegen der Unterraumeigenschaft dieser Mengen ist ±u + βv sowohl in U1 wie in
U2 , und damit auch in U1 © U2 . Damit ist der Satz bewiesen.
Im Gegensatz zum Durchschnitt ist die Vereinigung zweier Unterraume i.A. ¨
2
kein Unterraum. Ein einfaches Beispiel: Sei U1 := R— {0} ‚ R , U2 := {0}—R ‚
R2 . U1 und U2 sind naturlich Unterr¨ume von R2 , aber U1 ∪U2 ist kein Unterraum:
a
¨
(1, 0) und (0, 1) sind beide in U1 ∪ U2 , aber (1, 1) = (1, 0) + (0, 1) ist es nicht.

De¬nition 4.3 Seien U1 , U2 , . . . , Un Unterr¨ume des K-Vektorraums V. Dann
a
ist die Summe dieser Unterr¨ume de¬niert durch
a

U1 + U2 + . . . + Un := {u1 + u2 + . . . + un : ui ∈ Ui ∀i} .

54
Satz 4.3 Sind U1 , U2 , . . . , Un Unterr¨ume von V, so ist U1 + U2 + . . . + Un ein
a
Unterraum.
¨
Der ganz einfache Beweis sei dem Leser als Ubungsaufgabe uberlassen.
¨
¨
Ist U ein Unterraum von V, so k¨nnen wir auf V die folgende Aquivalenzre-
o
lation de¬nieren:
v1 ∼ v2 ⇐’ v2 ’ v1 ∈ U.
¨
Nach den Unterraumeigenschaften folgt sofort, dass dies eine Aquivalenzrelation
¨
ist. Wir k¨nnen daher die Quotientenmenge V / ∼, d.h. die Menge der Aqui-
o
¨ ¨
valenzklassen bezuglich dieser Aquivalenzrelation bilden. Die Aquivalenzrelation
¨
hat die folgende Eigenschaft: Sind v1 , v2 , v1 , v2 ∈ V mit v1 ∼ v2 , und v1 ∼ v2 ,
und sind ±, β ∈ K, so gilt

±v1 + βv2 ∼ ±v1 + βv2 .

In der Tat ist

(±v1 + βv2 ) ’ (±v1 + βv2 ) = ± (v1 ’ v1 ) + β (v2 ’ v2 ) ∈ U

nach den Unterraumeigenschaften (U1) und (U2). Damit wird mit

[v1 ] + [v2 ] := [v1 + v2 ]

eine zweistellige Verknupfung auf V / ∼ und mit
¨
± [v] := [±v]

eine Verknupfung von Skalaren mit Elementen von V / ∼ de¬niert.
¨
¨
Ubung 4.2 Prufen Sie nach, dass V / ∼ mit diesen Verknupfungen zu einem
¨ ¨
K-Vektorraum wird. Man nennt diesen K-Vektorraum den Quotientenraum und
bezeichnet ihn ublicherweise mit V /U.
¨

4.3 Basis eines Vektorraums, Erzeugendensysteme,
lineare Unabh¨ngigkeit
a
De¬nition 4.4 Sei V ein K-Vektorraum. Eine (endliche) Basis des Vektor-
raums ist ein n-Tupel V = (v1 , v2 , . . . , vn ) von Vektoren, das die Eigenschaft

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