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. 13
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hat, dass sich jeder Vektor v ∈ V eindeutig als Linearkombination der vi dar-
stellen l¨sst, d.h. dass es zu jedem v ∈ V genau ein n-Tupel (±1 , ±2 , . . . , ±n ) ∈ K n
a
gibt mit
n
v= ±i vi .
i=1

Hat ein Vektorraum eine (endliche) Basis, so heisst er endlichdimensio-
nal.

55
Eine Spitz¬ndigkeit: Wir achten bei einer Basis V = (v1 , v2 , . . . , vn ) auf die
Reihenfolge der Basiselemente vi . Ist V eine Basis, so ist o¬ensichtlich auch
(v2 , v1 , v3 , . . . , vn ) eine Basis. Wir betrachten das aber als eine andere Basis.
Dennoch sprechen wir manchmal etwas salopp davon, dass die Vektoren v1 , v2 ,
. . . , vn “eine Basis bilden”. Das ist formal nicht ganz korrekt: Es ist das geordnete
n-Tupel, das eine Basis ist.
Die Vektoren einer Basis mussen immer ungleich dem Nullvektor sein, denn
¨
mit dem Nullvektor in dem Satz von Vektoren kann naturlich eine Darstellung
¨
nicht eindeutig sein. Der einfachste Vektorraum, n¨mlich der Vektorraum {0}
a
enth¨lt kein vom Nullvektor verschiedenes Element. Man sagt dann auch, dass
a
dieser Vektorraum die Basis … habe. Das ist aber nur eine (vernunftige) Konven-
¨
tion.
Im Rahmen dieser Vorlesung werden wir uns haupts¨chlich mit endlichdi-
a
mensionalen Vektorr¨umen besch¨ftigen. Zun¨chst ein wichtiges Beispiel: Wir
a a a
n
betrachten den K-Vektorraum V = K . Fur 1 ¤ i ¤ n betrachten wir die Vekto-
¨
ren ei := (δi1 , δi2 , . . . , δin ) . Dieser Vektor hat also genau eine 1 an der i-ten Stelle
und sonst Nullen. Dann ist E := (e1 , e2 , . . . , en ) eine Basis. In der Tat hat jeder
Vektor x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ V = K n die eindeutige Darstellung als
n
x= xi ei .
i=1


De¬nition 4.5 (e1 , e2 , . . . , en ) heisst die Standardbasis von K n .

Es ist sehr wichtig zu bemerken, dass K n nicht nur diese eine Basis hat,
sondern sehr viele andere. Betrachten wir den einfachsten nichttrivialen Fall R2 .
Die Standardbasis besteht aus den Vektoren (1, 0) und (0, 1) . Ich behaupte, dass
z.B. auch die Vektoren (1, 1) , (2, 3) eine Basis bilden. Um dies nachzuprufen,
¨
2
mussen wir nur nachweisen, dass jeder Vektor b = (b1 , b2 ) ∈ R eine eindeutige
¨
Darstellung als
b = ±1 (1, 1) + ±2 (2, 3)
hat. Das ist aber nichts anderes als ein Gleichungssystem fur ±1 , ±2 . In der uns
¨
aus dem vorletzten Kapitel vertrauten Form k¨nnen wir es sie folgt darstellen:
o
Wir nehmen die Vektoren (1, 1) , (2, 3) als Spaltenvektoren einer Matrix:

12
.
13

Dann erhalten wir das Gleichungssystem fur ±1 , ±2 :
¨

12 ±1 b1
= .
13 ±2 b2


56
12
Nun ist aber die Matrix regular, wie man sofort mit Gauss-Elimination
¨
13
nachpruft. Daher hat das obige Gleichungssystem fur jede Wahl von b1 , b2 genau
¨ ¨
eine L¨sung. Dies ist aber nichts anderes als die Basiseigenschaft des Paars von
o
1 2
Vektoren (als Spaltenvektoren geschrieben): , .
1 3
Es ist nun ziemlich o¬ensichtlich, wie sich das verallgemeinert:
Satz 4.4 Es seien u1 , u2 , . . . , un Vektoren in K n . Wir schreiben sie als Spalten-
vektoren « 
u1j
¬ u2j ·
uj = ¬ . · .
¬ ·
. .
unj
(u1 , u2 , . . . , un ) ist genau dann eine Basis von K n wenn die Matrix U := (uij )
regul¨r ist.
a
Beweis. (u1 , u2 , . . . , un ) ist per De¬nition genau dann eine Basis von K n ,
wenn jeder Vektor b ∈ K n (den wir als Spaltenvektor schreiben), eine eindeutige
Darstellung als
n
b= ±j uj
j=1

hat. Dies ist aber nichts anderes, als das folgende Gleichungssystem fur die
¨
“Unbekannten” ±i « 
±1
U  .  = b.
¬.·
.
±n
Dieses Gleichungssystem hat nach Satz 3.3 genau dann eine eindeutige L¨sung,
o
wenn die Matrix regul¨r ist.
a
Wir zeigen nun ganz allgemein, dass jede Basis eines Vektorraums V gleich
viele Vektoren enth¨lt:
a
Satz 4.5 Sei V ein K-Vektorraum. Besitzt V eine Basis mit n Vektoren, so hat
jede Basis von V n Vektoren.
Beweis. Es seien V = (v1 , v2 , . . . , vm ) und U = (u1 , u2 , . . . , un ) Basen von V.
Wir zeigen zun¨chst m ≥ n. Da wir die Rollen der Basen im untenstehenden
a
Beweis vertauschen k¨nnen, folgt dann auch n ≥ m, was m = n impliziert.
o
Aus der Basiseigenschaft von V folgt, dass jeder der Vektoren uj eine Darstel-
lung durch die v™s hat:
m
1 ¤ j ¤ n, aij ∈ K
uj = aij vi , (4.1)
i=1


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Sei (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ K n . Dann gilt
n n m m n
x j uj = xj aij vi = aij xj vi . (4.2)
j=1 j=1 i=1 i=1 j=1

Nach der Basiseigenschaft von U ist die einzige M¨glichkeit, wie die linke Seite
o
gleich dem Nullvektor ist, die Wahl x1 = x2 = . . . = xn = 0. Andererseits wurde
¨
aus m < n und Korollar 3.2 folgen, dass das homogene lineare Gleichungssystem
n
∀i.
aij xj = 0, (4.3)
j=1

eine nichttriviale L¨sung hat, was implizieren wurde, dass die rechte Seite von
o ¨
(4.2) mit einer nichttrivialen Wahl der xi (d.h. nicht alle gleich Null) zu Null
gemacht werden konnte. Da dies nicht moglich ist folgt m ≥ n.
¨ ¨
Ein endlichdimensionaler Vektorraum hat zwar keine eindeutige Basis; der
Satz besagt jedoch, dass die Anzahl der Vektoren in einer Basis unabhangig ¨
von der speziellen Basis ist. Diese Anzahl ist also eine Grosse, die nur vom
¨
Vektorraum selbst abhangt.
¨

De¬nition 4.6 Fur einen endlichdimensionalen Vektorraum V ist die Anzahl
¨
der fur eine Basis ben¨tigten Vektoren die Dimension dim (V ) des Vektorraums.
o
¨
Ist der Vektorraum nicht endlichdimensional, so setzt man dim (V ) := ∞. Die
Dimension des trivialen Vektorraum {0} (der die Basis … hat) ist 0.

Beispiel 4.9 Der K-Vektorraum K n hat die Dimension n.

Beispiel 4.10 Polynome: In Verallgemeinerung der (formalen) Polynome, die
in Kapitel 2 eingefuhrt wurden, k¨nnen wir Polynome
o
¨

p(x) = a0 + a1 x + . . . + an xn

betrachten ai ∈ K, mit der Konvention, dass an = 0 ist, falls n ≥ 1 ist. n bezeich-
net man dann als den Grad grad (p (x)) des Polynoms. Mit K [x] bezeichnen wir
die Menge aller Polynome, und mit Kn [x] die Menge der Polynome vom Grad
¤ n. K [x] und Kn [x] sind mit der ublichen Addition und Multiplikation durch
¨
Skalare beides K-Vektorr¨ume. Eine Basis von Kn [x] ist (1, x, x2 , x3 , . . . , xn ).
a
Deshalb gilt dim (Kn [x]) = n + 1.

Zur weiteren Diskussion ben¨tigen wir einige neue Begri¬sbildungen.
o

De¬nition 4.7 Sei V ein Vektorraum und v1 , . . . , vn ∈ V . Dann ist
n
±i vi : ±1 , . . . , ±n ∈ K
L [v1 , . . . , vn ] :=
i=1


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die lineare Hulle der v1 , . . . , vn . Die lineare Hulle ist also einfach die Menge
¨
¨
der Vektoren, die sich als Linearkombinationen der vi ™s darstellen lassen. Per
Konvention setzt man L […] := {0} .

Lemma 4.1 L [v1 , . . . , vn ] ist ein Unterraum von V.
n n
Beweis. Seien v = ±i vi und u = βi vi zwei beliebige Elemente in
i=1 i=1
L [v1 , . . . , vn ] . Dann ist
n
(±i + βi ) vi ∈ L [v1 , . . . , vn ]
v+u=
i=1

und fur » ∈ K ist
¨ n
(»±i ) vi ∈ L [v1 , . . . , vn ] .
»v =
i=1




De¬nition 4.8 V = (v1 , . . . , vn ) heisst ein Erzeugendensystem von V, wenn
V = L [v1 , . . . , vn ] gilt.

v1 , . . . , vn ist per De¬nition stets ein Erzeugendensystem von L [v1 , . . . , vn ] .
Jede Basis von V ist ein Erzeugendensystem von V . Fur ein Erzeugendensystem
¨
wird jedoch nicht verlangt, dass die Darstellung als Linearkombination eindeutig
ist. So ist z.B. ((1, 0) , (0, 1) , (1, 1)) ein Erzeugendensystem von R2 , aber naturlich
¨
keine Basis. Die andere “H¨lfte” der Basiseigenschaft wird mit dem folgenden
a
wichtigen Begri¬ ausgedruckt: ¨

De¬nition 4.9 n Vektoren v1 , . . . , vn ∈ V heissen linear unabh¨ngig, wenn
a
der Nullvektor 0 ∈ V keine nichttriviale Darstellung als Linearkombination der
vi hat, d.h. wenn
n
±i vi = 0 =’ ±i = 0 fur alle i (4.4)
¨
i=1

gilt. Sind die Vektoren nicht linear unabh¨ngig, so heissen sie linear abh¨ngig.
a a
Eine unendliche Teilmenge (vi )i∈I von V heisst linear unabh¨ngig, wenn jede
a
endliche Teilmenge linear unabh¨ngig ist, d.h. wenn fur jedes n ∈ N und jede
a ¨
Auswahl i1 , . . . , in ∈ I, die Vektoren vi1 , . . . , vin linear unabh¨ngig sind.
a

Hier einige ganz einfache Folgerungen aus der De¬nition:

Proposition 4.2 a) Ist einer der Vektoren vi der Nullvektor, so sind v1 , . . . , vn
linear abh¨ngig.
a
b) Sind in v1 , . . . , vn zwei Vektoren gleich, so sind v1 , . . . , vn linear abh¨ngig.
a


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c) Jede Teilmenge einer linear unabh¨ngigen Menge von Vektoren ist wieder
a
linear unabh¨ngig. (Per Konvention deklariert man auch die leere Menge als
a

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