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. 14
( 60 .)



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linear unabh¨ngig.)
a
d) Ist v ∈ V nicht der Nullvektor, so ist die Menge bestehend aus diesem
einen Vektor linear unabh¨ngig.
a

¨
Beweis. a)-c) sind einfache Folgerungen aus der De¬nition. (Uberprufen Sie
¨
das!). d) folgt aus Proposition 4.1 d).

Satz 4.6 V = (v1 , . . . , vn ) ist genau dann eine Basis von V, wenn V ein Er-
zeugendensystem von V ist, und wenn die Vektoren v1 , . . . , vn linear unabh¨ngig
a
sind.

Beweis. Wir hatten schon gesehen, dass eine Basis ein Erzeugendensystem
ist. Die lineare Unabh¨ngigkeit folgt aus der geforderten Eindeutigkeit der Dar-
a
stellung, was insbesondere (4.4) impliziert.
Wir zeigen nun umgekehrt, dass ein linear unabh¨ngiges Erzeugendsystem V
a
eine Basis ist. Sei v ∈ V beliebig. Da V ein Erzeugendensystem ist, existieren
±1 , . . . , ±n ∈ K mit
n
±i vi = v.
i=1

Wir mussen noch zeigen, dass diese Darstellung eindeutig ist. Sei also
¨
n
±i vi = v
i=1

eine zweite derartige Darstellung. Dann folgt
n
(±i ’ ±i ) vi = 0.
i=1

Nach (4.4) ergibt sich ±i ’ ±i = 0, ∀i, also ±i = ±i ∀i. Das ist die gewunschte
¨
Eindeutigkeit.

Satz 4.7 Ist V = (v1 , . . . , vn ) ein Erzeugendensystem des K-Vektorraums V, so
ist V endlichdimensional und es existiert eine Basis von V , die aus einer Teil-
menge dieser Vektoren besteht.

Beweis. Sind v1 , . . . , vn linear unabh¨ngig, so ist V eine Basis und dim (V ) =
a
n. Sind diese Vektoren nicht linear unabh¨ngig, so existieren ±1 , . . . , ±n , nicht
a
n
alle Null, mit i=1 ±i vi = 0. Sei etwa ±n = 0. (Wir nehmen den n-ten nur




60
der notationellen Bequemlichkeit halber, mit allen anderen geht das Argument
genauso). Dann lasst sich vn aus den anderen kombinieren:
¨
n’1
vn = (’±i /±n ) vi .
i=1

Daraus folgt aber, dass auch v1 , . . . , vn’1 ein Erzeugendensystem von V ist: Ist w
ein beliebiger Vektor in V, so l¨sst er sich, da v1 , . . . , vn ein Erzeugendensystem
a
ist, als
n n’1 n’1
’βn ±i
w= βi vi = βi vi + vi
±n
i=1 i=1 i=1
n’1
βn ±i
βi ’
= vi
±n
i=1

darstellen. Das ist eine Darstellung von w als Linearkombination der v1 , . . . , vn’1 .
Wir k¨nnen in gleicher Weise mit dem Erzeugendensystem (v1 , . . . , vn’1 ) wei-
o
terfahren. Entweder ist dieser Satz von Vektoren linear unabh¨ngig und damit
a
eine Basis, oder wir k¨nnen einen weiteren Vektor wegstreichen. In dieser Weise
o
kann man weiterfahren, bis man zu einer Basis gelangt.

Lemma 4.2 Seien u1 , . . . , um linear unabh¨ngige Vektoren in einem Vektorraum
a
V, die keine Basis bilden. Dann gibt es einen Vektor v ∈ V, sodass u1 , . . . , um , v
linear unabh¨ngig sind.
a

Beweis. Wir betrachten den Unterraum L [u1 , . . . , um ] ‚ V (L […] = {0} ,
falls m = 0). Da nach Voraussetzung, u1 , . . . , um keine Basis ist, folgt L[u1 ,
. . . , um ] = V . Demzufolge existiert v ∈ L [u1 , . . . , um ] . Wir zeigen, dass u1 , . . . ,
/
m
um , v linear unabh¨ngig sind. Sei i=1 ±i ui + ±m+1 v = 0. W¨re ±m+1 = 0, so
a a
liesse v sich als Linearkombination der u™s darstellen: um+1 = ’ m ±m+1 ui , ±i
i=1
was aber wegen v ∈ L [u1 , . . . , um ] nicht m¨glich ist. Somit folgt ±m+1 = 0 und
/ o
dann folgt wegen der angenommenen linearen Unabh¨ngigkeit von u1 , . . . , um ,
a
dass auch ±1 = . . . = ±m = 0 gilt. Somit ist gezeigt, dass die u1 , . . . , um , v linear
unabh¨ngig sind.
a

Satz 4.8 Seien u1 , . . . , um linear unabh¨ngige Vektoren in einem Vektorraum V.
a
Ist V endlichdimensional, so lassen sich diese Vektoren zu einer Basis erg¨nzen.
a
Ist V unendlichdimensional, so lassen sie sich zu einer unendlichen Folge u1 , . . . ,
um , um+1 , um+2 , . . . von linear unabh¨ngigen Vektoren erg¨nzen.
a a

Beweis. Nach dem vorangegangenen Lemma k¨nnen wir die Folge erg¨nzen.
o a
Entweder stossen wir nach einer endlichen Anzahl von Repetitionen der Konstruk-
tion des Lemmas auf eine Basis oder die Konstruktion fuhrt auf eine unendliche
¨

61
Folge (ui )i∈N von Vektoren, die die Eigenschaft hat, dass u1 , . . . , un fur jedes¨
n ∈ N unabhangig sind. Damit folgt aber auch, dass jede endliche Teilmenge
¨
ui1 , . . . , uim linear unabhangig ist, denn zu diesen i1 , . . . , im existiert n ∈ N mit
¨
i1 , . . . , im ¤ n. Da eine Teilmenge eines Satzes von linear unabhangigen Vektoren
¨
wieder linear unabh¨ngig ist (Proposition 4.2 c)), folgt, dass ui1 , . . . , uim linear
a
unabh¨ngig sind.
a
Als Folgerung aus den S¨tzen 4.7 und 4.8 ergeben sich die folgenden drei
a
Korollare:

Korollar 4.1 Sei V ein Vektorraum, sei V = (v1 , . . . , vn ) ein Erzeugendensystem
von V und seien u1 , . . . , um linear unabh¨ngig. Dann ist V endlichdimensional
a
und es gilt
n ≥ dim (V ) ≥ m.

Beweis. Die Aussage folgt unmittelbar aus den S¨tzen 4.7 und 4.8.
a

Korollar 4.2 Sei V ein K-Vektorraum mit dim V = n.
a) n linear unabh¨ngige Vektoren in V bilden eine Basis.
a
b) Ein Erzeugendensystem mit n Vektoren bildet eine Basis.

Beweis. a): W¨ren die n Vektoren keine Basis, so k¨nnten sie nach Satz
a o
4.8 zu einer Basis mit mehr als n Vektoren erg¨nzt werden, was dim V = n
a
widerspricht. b) folgt analog.

Korollar 4.3 Sei U ein Unterraum des endlichdimensionalen K-Vektorraums
V. Dann gilt:
a) U ist endlichdimensional und es gilt dim (U ) ¤ dim (V ) .
b) dim (U ) = dim (V ) gilt genau dann, wenn U = V ist.

Beweis. a) Dass U endlichdimensional ist, folgt sofort aus Satz 4.8, denn
sonst wurde eine unendliche Folge von linear unabh¨ngigen Vektoren in U exi-
a
¨
stieren, die auch linear unabh¨ngig in V w¨ren. Jede Basis in U ist auch linear
a a
unabh¨ngig als Menge von Vektoren in V und l¨sst sich daher nach Satz 4.8 zu
a a
einer Basis in V erg¨nzen. Daraus folgt dim (U ) ¤ dim (V ) .
a
b) Gilt dim (U ) = dim (V ) , so ist nach dem vorangegangen Korollar jede
Basis in U auch eine Basis in V.
Als weitere Anwendung von Satz 4.8 erhalten wir den folgenden Satz uber die
¨
Dimension von Unterr¨umen:
a

Satz 4.9 Seien U1 und U2 zwei Unterr¨ume des endlichdimensionalen
a
K-Vektorraums V. Dann gilt

dim U1 + dim U2 = dim (U1 © U2 ) + dim (U1 + U2 ) .


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Beweis. Sei k := dim (U1 © U2 ) und mi := dim Ui . Naturlich gilt m1 , m2 ≥ k.
¨
Wir beginnen mit einer Basis von U1 © U2 , bestehend aus Vektoren v1 , . . . , vk .
Nach Satz 4.8 konnen wir diese Basis zu einer Basis in U1 erganzen: v1 , . . . , vk ,
¨ ¨
vk+1 , . . . , vm1 , und naturlich genausogut zu einer Basis in U2 : v1 , . . . , vk , wk+1 ,
¨
. . . , wm2 .
Wir zeigen nun, dass v1 , . . . , vk , vk+1 , . . . , vm1 , wk+1 , . . . , wm2 eine Basis von
U1 + U2 ist. O¬ensichtlich ist es ein Erzeugendensystem dieses Vektorraums. Wir
mussen nur noch zeigen, dass diese Vektoren linear unabh¨ngig sind. Betrachten
a
¨
wir also eine Linearkombination des Nullvektors mit diesen Vektoren:
m1 m2
0= ±i vi + βi wi .
i=1 i=k+1

Anders geschrieben ist das
m2 m1
βi wi = ’ ±i vi .
i=1
i=k+1

Die linke Seite ist somit ein Vektor in U1 . Andererseits ist es aber auch ein Vektor
in U2 und somit ist es ein Vektor in U1 © U2 . Er l¨sst sich also als Linearkombi-
a
nation der Vektoren v1 , . . . , vk darstellen. Damit folgt ±k+1 = . . . = ±m1 = 0 und
somit gilt
m2
k
0= ±i vi + βi wi
i=1 i=k+1

und wegen der linearen Unabh¨ngigkeit von v1 , . . . , vk , wk+1 , . . . , wm2 folgt, das
a
auch die restlichen ±™s und die β™s alle gleich 0 sind.

4.4 Basiswechsel, Koordinaten
Wir schauen uns den Beweis des Satzes 4.5 noch unter einem etwas anderen
Gesichtspunkt an. Es seien zwei Basen V und U eines Vektorraums V gegeben.
Nach dem Beweis dieses Satzes l¨sst sich eine der Basen, sagen wir U, durch die
a
andere V wie folgt ausdrucken: Nach (4.1) mit m = n ist
¨
n
1 ¤ j ¤ n.
uj = aij vi , (4.5)
i=1

Die Matrix A = (aij ) , eine quadratische Matrix, nennt man die Matrix des
Basiswechsels von V nach U . Etwas Vorsicht ist mit der Notation geboten:
Die vi und uj sind hier Vektoren.




63
Beispiel 4.11 Betrachten wir die Standardbasis V = (e1 , . . . , en ) in K n und eine
“neue” Basis U = (u1 , . . . , un ) , mit den Vektoren
« 
u1i
¬ u2i ·
ui = ¬ . · ,
¬ ·
. .
uni

wie in Satz 4.4. Dann ist die (nach diesem Satz regul¨re) Matrix U , die die ui
a
als Spalten hat, die Matrix des Basiswechsels von der Standardbasis V nach der
Basis U.

Der folgende Satz ist eine leichte Verallgemeinerung von Satz 4.4 in einer
etwas abstrakteren Situation.

Satz 4.10 Sind zwei Basen eines endlichdimensionalen Vektorraums gegeben,

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