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so ist die durch (4.5) de¬nierte quadratische Matrix des Basiswechsels regul¨r.
a
Ist umgekehrt V eine Basis und ist eine regul¨re Matrix A = (aij ) gegeben, so
a
de¬niert (4.5) eine neue Basis U.

Beweis. Die Diskussion im Beweis des Satzes 4.5 zeigt, dass das homogene
Gleichungssystem (4.3) genau dann nur die triviale Losung hat, wenn die Vekto-
¨
ren u1 , . . . , un linear unabhangig sind, wenn sie also nach Korollar 4.2 eine Basis
¨
bilden.
Die Gleichung (4.5) druckt die Basis U durch die Basis V aus. Naturlich
¨ ¨
druckt sich dann die Basis V durch die Basis U mit der zu A inversen Matrix aus:
¨
n
(’1)
vj = aij ui ,
i=1

(’1) (’1)
= A’1 . (aij ist die ij-te Komponente der Matrix A’1 und naturlich
aij ¨
nicht 1/aij ).
Eine Basis V in einem Vektorraum V kann man auch als ein Koordina-
tensystem betrachten: Jeder Vektor v ∈ V hat ja eine eindeutige Darstellung
als n
v= x i vi .
i=1

De¬nition 4.10 Die xi ∈ K in der obigen Darstellung heissen die Koordina-
ten des Vektors v bezuglich der Basis V.
¨

Das n-Tupel der Koordinaten x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ist also ein Element von
K n . Man bezeichnet dieses n-Tupel als den Koordinatenvektor (in K n ) von v

64
bezuglich der Basis V. Wir erhalten also eine Abbildung φV : V ’ K n , die
¨
jedem Vektor seine Koordinaten zuweist. Diese Abbildung ist naturlich bijektiv:
¨
n
Jedem n-Tupel von Elementen in K kann man umgekehrt vermoge i=1 xi vi
¨
auch einen Vektor in V zuordnen, der gerade die Koordinaten (x1 , x2 , . . . , xn )
hat. Wir k¨nnen den “abstrakten” Vektorraum V also via die Bijektion φV
o
mit dem “konkreten” Vektorraum K n identi¬zieren. Es ist ¨usserst wichtig zu
a
bemerken, dass diese Abbildung von der Wahl der Basis abh¨ngig ist. Man soll
a
sich daher davor huten, sich jeden endlichdimensionalen Vektorraum gleich als
¨
n
K vorzustellen, denn diese Identi¬kation h¨ngt von der Wahl der Basis ab und
a
ist nicht ” wie man sagt ” naturlich gegeben.
¨
Man beachte, dass in der Matrix A fur den Basiswechsel von der Basis V
¨
nach der Basis U, die Spalten der Matrix genau die Koordinaten der Vektoren
der U-Basis bezuglich der V-Basis sind.
¨
Wir untersuchen nun, in welcher Beziehung die Koordinaten eines festen Vek-
tors bezuglich zweier verschiedener Basen stehen. Wir betrachten zwei Basen U
¨
und V wie oben, wobei sich die Basis U mit Hilfe der Matrix A und (4.5) durch
die Basis V ausdruckt. Wir nennen U die “neue” Basis und V die “alte” (diese
¨
Bezeichnung hat naturlich keinerlei mathematische Bedeutung). Sei v ein beliebi-
¨
ger Vektor in V mit Koordinaten xi bezuglich der alten Basis V und Koordinaten
¨
yi bezuglich der neuen Basis U. Es gilt also
¨
n n
v= xi vi = y j uj .
i=1 j=1

Nun ersetzen wir die neue Basis durch die alte gem¨ss (4.5) und erhalten
a
n n n n n
x i vi = yj aij vi = aij yj vi .
i=1 j=1 i=1 i=1 j=1

Wegen der Eindeutigkeit der Darstellung eines Vektors als Linearkombination
von Basisvektoren ergibt sich
n
xi = aij yj , i = 1, . . . , n. (4.6)
j=1

Die alten Koordinaten drucken sich also durch die neuen Koordinaten mit Hilfe
¨
der Matrix A aus. Wegen dieser Beziehung ist es ubrigens besser, man stellt die
¨
Koordinaten als Spaltenvektor dar:
«  « 
x1 y1
¬.· ¬.·
x =  .  ∈ K n, y =  .  ∈ K n.
. .
xn yn
Dann gilt in alter Matrizenschreibweise
x = Ay.

65
Satz 4.11 Druckt sich eine Basis U durch eine Basis V mit (4.5) aus, so trans-
¨
formieren sich die Koordinaten gem¨ss x = Ay, wobei x die Koordinaten eines
a
Vektors bezuglich der Basis V sind und y die bezuglich der Basis U.
¨ ¨

Will man die Koordinaten der neuen Basis U aus denen der alten Basis V
berechnen, so muss man die Matrix A invertieren: y = A’1 x.

Beispiel 4.12 V = K n und V die Standardbasis. Ein Vektor
« 
x1
¬.·
x =  .  ∈ Kn
.
xn

hat bezuglich der Standardbasis (De¬nition 4.5) naturlich die Koordinaten x1 , . . . ,
¨ ¨
xn . Bezuglich einer anderen Basis sind die Koordinaten jedoch ganz andere. Neh-
¨
men wir z.B. U = ((1, 1) , (2, 3)) in R2 . x = (2, 1) hat bezuglich der Standardbasis
¨
die Koordinaten 2 und 1. In unserer anderen Basis gilt jedoch die Darstellung

(2, 1) = 4 (1, 1) ’ (2, 3) .

Demzufolge hat derselbe Vektor die Koordinaten 4 und ’1 bezuglich U.
¨
Sei U eine beliebige Basis in K n bestehend aus den (Spalten)Vektoren
« 
u1i
¬ u2i ·
ui = ¬ . · .
¬ ·
. .
uni

Die Koordinaten eines beliebigen Vektors x ∈ K n
« 
x1
¬.·
x= .  .
xn

bezuglich der Standardbasis, also die xi selbst, ergeben sich aus den “neuen”
¨
Koordinaten y1 , . . . , yn desselben Vektors x bezuglich der Basis U durch xi =
¨
n
j=1 uij yj . Will man die neuen Koordinaten aus den alten berechnen, so muss
man die Matrix U invertieren und erh¨lt die Darstellung:
a
n
(’1)
yi = uij xj .
j=1




66
Die Wahl einer speziellen Basis wird oft von konkreten Problemstellung ab-
hangig gemacht und ist in der Regel nicht “naturlich” gegeben. Als Beispiel
¨ ¨
betrachten wir die Menge der Polynome Kn’1 [x] vom Grad ¤ n ’ 1. Der Ein-
fachheit halber nehmen wir an, dass der Korper K unendlich ist. Kn’1 [x] ist
¨
ein K-Vektorraum der Dimension n, und eine Basis ist (1, x, x2 , . . . , xn’1 ) . Eine
fur viele Zwecke “naturlichere” Basis kann wie folgt konstruiert werden. Seien
¨ ¨
a1 , a2 , . . . , an ∈ K fest gew¨hlte und verschiedene Elemente. Man steht oft vor
a
dem Problem, ein Polynom vom Grade n ’ 1 zu ¬nden, das auf diesen K¨rper- o
elementen fest vorgegebene Werte annimmt. Um diese Aufgabe anzugehen, be-
trachten wir die sogenannten Interpolationspolynome
x ’ aj
qi (x) := .
ai ’ aj
j:j=i

Man beachte, dass diese Polynome alle vom Grad n ’ 1 sind, denn das Produkt
hat n ’ 1 Faktoren.

Satz 4.12 (q1 (x) , . . . , qn (x)) ist eine Basis von Kn’1 [x] . Ist p (x) ein beliebiges
Polynom in Kn’1 [x] , so hat es die eindeutige Darstellung
n
p (x) = p (ai ) qi (x) .
i=1

(Hier ist p (ai ) ∈ K der Wert des Polynoms an der Stelle ai ).

Beweis. Wir zeigen zunachst, dass die qi (x) linear unabh¨ngig sind. Sei
a
¨
n
±i qi (x) = 0, ±i ∈ K
i=1

eine Darstellung des Nullpolynoms als Linearkombination der qi (x) . Man beach-
te nun, dass qi (aj ) = δij gilt. Demzufolge gilt n ±i qi (aj ) = ±j . Die obige
i=1
Darstellung kann also nur gelten, wenn alle ±j gleich Null sind. Damit ist die
lineare Unabhangigkeit gezeigt. Andererseits wissen wir, dass Kn’1 [x] die Di-
¨
mension n hat. Aus Korollar 4.2 folgt also, dass (q1 (x) , . . . , qn (x)) eine Basis
ist. Wir wissen daher, dass jedes Polynom p (x) genau eine Darstellung als
n
yi qi (x) , yi ∈ K,
p (x) =
i=1

hat. Einsetzen der aj auf beiden Seiten ergibt yj = p (aj ) , j = 1, . . . , n.
Kn’1 [x] hat ubrigens noch viele andere “naturliche” Basen, von denen die
¨ ¨
meisten spezielle Namen tragen, wie z.B. “Hermite-Polynome”, “Tschebysche¬-
Polynome” etc. Einige dieser Basen werden Ihnen im Laufe Ihres Studiums noch
begegnen.

67
4.5 Anwendungen auf Matrizen und lineare Gleichungs-
systeme
Wir kommen nun zu einigen wichtigen Beispielen von Unterraumen von K n . Es
¨
sei A eine m—n-Matrix. Wir bezeichnen mit zi die m Zeilenvektoren ∈ K n dieser
Matrix:
zi = (ai1 , . . . , ain ) .
L [z1 , . . . , zm ] ist dann ein Unterraum von K n .

De¬nition 4.11 L [z1 , . . . , zm ] heisst der Zeilenraum der Matrix. Die Zahl
rang (A) := dim (L [z1 , . . . , zm ]) nennt man den Rang der Matrix A.

Proposition 4.3 a) Sei B eine m — m-Matrix. Dann ist der Zeilenraum von
BA ein Unterraum des Zeilenraumes von A. Insbesondere gilt

rang (BA) ¤ rang (A) .

b) Ist B regul¨r, so ist der Zeilenraum von A gleich dem Zeilenraum von BA.
a
Insbesondere gilt
rang (BA) = rang (A) .

Beweis. a) Wir bezeichnen mit zi , 1 ¤ i ¤ m, die Zeilen von BA. Diese
Zeilenvektoren ergeben sich wie folgt:
m
zi = bij zj .
j=1


Somit l¨sst sich jeder Vektor, der sich als Linearkombination der Zeilen von BA
a
schreiben l¨sst, m ±i zi , ±i ∈ K, auch als Linearkombination der Zeilen von A
a i=1
schreiben:
m m m m m
±i zi = ±i bij zj = ±i bij zj .
i=1 i=1 j=1 j=1 i=1

Somit folgt
L [z1 , . . . , zm ] ‚ L [z1 , . . . , zm ] ,
woraus sich auch rang (BA) ¤ rang (A) ergibt.

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