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. 16
( 60 .)



>>

b) folgt sofort aus a): A = B ’1 (BA) und Teil a).
Mit Hilfe des Satzes 4.7 k¨nnen wir den Rang einer Matrix noch etwas anders
o
interpretieren:

Proposition 4.4 Der Rang einer Matrix ist die maximale Anzahl linear un-
abh¨ngiger Zeilenvektoren der Matrix.
a



68
Beweis. Die Zeilen der Matrix A bilden naturlich ein Erzeugendensystem des
¨
Zeilenraums. Nach Satz 4.7 konnen wir durch eventuelles Weglassen von Zeilen
¨
zu einer Basis des Zeilenraums gelangen. Es gibt also r = rang (A) unabhangige
¨
Zeilen unter allen Zeilen der Matrix. Andererseits kann es auch nicht mehr geben,
sonst w¨re die Dimension des Zeilenraums > r.
a
Wir diskutieren nun einige Aspekte von linearen Gleichungssystemen unter
den oben entwickelten Gesichtspunkten. Wir kommen zun¨chst auf die Gauss-
a
Elimination aus dem letzten Kapitel zuruck. Wir haben dort mit Hilfe von ele-
¨
mentaren Zeilenoperationen eine beliebige m — n-Matrix A auf die folgende Form
gebracht:
« 
0 . . . 0 1 a1,n1 +1 . . . 0 a1,n2 +1 . . . 0 ... ...
¬ 0 ... 0 0 ... . . . 1 a2,n2 +1 . . . 0 ·
.
¬ ·
.
0 .
¬ ·
¬ ·
.
¬ ·
.
. 0
¬ ·
A=¬ ·.
¬ 0 ... 0 1 ak,nk +1 . . . ·
¬ ·
¬ 0 0 ... ... ... ... ... 0 ... 0·
¬ ·
¬. .·
. .
. .
0 0 ... 0

Die letzte von 0 verschiedene Zeile ist die k-te. Ich behaupte, dass die ersten
k Zeilen dieser Matrix linear unabh¨ngig sind. Um dies einzusehen, betrachten
a
wir eine Linearkombination des Nullvektors (als Zeilenvektor) durch die ersten k
Zeilen der obigen Matrix, nennen wir diese z 1 , . . . , z k :
k
±i z i = (0, 0, . . . , 0) .
i=1

Die erste Zeile z 1 hat die n1 -te Komponente 1. Alle anderen Zeilen haben diese
Komponente gleich 0. Deshalb ist die n1 -te Komponente von k ±i z i einfachi=1
k
±1 . Analog ist die nj -te Komponente von i=1 ±i z i der Skalar ±j . Die obige
Gleichung kann daher nur gelten, wenn ±1 = . . . = ±k = 0 ist. Wir haben somit
gezeigt, dass die Zeilen z 1 , . . . , z k linear unabh¨ngig sind. Mehr unabh¨ngige
a a
Zeilen kann es in der Matrix A jedoch nicht geben, denn die anderen Zeilen sind
alle der Nullvektor. Demzufolge ist rang A = k. Wir wissen jedoch, dass sich
A aus A durch Multiplikation von rechts mit einer regul¨ren m — m-Matrix B
a
ergibt: A = BA. Nach Proposition 4.3 folgt also:

Satz 4.13 Fur eine m — n-Matrix A ist rang (A) gleich der vom Nullvektor ver-
¨
schiedenen Zeilen der Stufenmatrix nach einer Gauss-Elimination.

Korollar 4.4 Eine quadratische n — n-Matrix A ist genau dann regul¨r, wenn
a
rang (A) = n gilt.

69
Bemerkung 4.3 Wie wir schon aus dem letzten Kapitel wissen, ist eine qua-
dratische Matrix genau dann regul¨r, wenn ihre Transponierte regul¨r ist. Das
a a
l¨sst sich verallgemeinern: Der Rang einer m — n-Matrix ist gleich dem Rang
a
ihrer Transponierten. Da Transponieren einfach Zeilen mit Spalten vertauscht
sagt man auch, dass der Zeilenrang gleich dem Spaltenrang ist. Man kann das
beweisen, indem man zeigt, dass die elementaren Zeilenoperationen den Spalten-
rang nicht ver¨ndern. Das Resultat ergibt sich aber auch ganz einfach aus einer
a
¨
Uberlegung im n¨chsten Abschnitt, sodass wir den Beweis besser noch etwas ver-
a
schieben.

Ein weiterer wichtiger Unterraum von K n ist die L¨sungsmenge eines homo-
o
genen Gleichungssystems

L = {x ∈ K n : Ax = 0} , (4.7)

wobei A = (aij ) wieder eine m — n-Matrix ist. Wir hatten im Beispiel 4.8 schon
gesehen, dass das ein Unterraum von K n ist. Wir wollen nun eine Basis dieses
Unterraums ¬nden. Dazu wenden wir wieder die Gauss-Elimination aus dem
letzten Kapitel an und bringen das Gleichungssystem auf die Stufenform mit der
obigen Matrix A:
L = x ∈ K n : Ax = 0
Die letzten m ’ k Zeilen von A sind alle gleich dem Nullvektor. Die entspre-
chenden Gleichungen entfallen deshalb. Wie wir schon wissen, existiert im Falle
k = n nur die triviale L¨sung. Der L¨sungsraum ist also L = {0} und die Dimen-
o o
sion des L¨sungsraums in 0. Ist k < n, so gibt es auch nichttriviale L¨sungen.
o o
Der notationellen Einfachheit halber nehmen wir an, dass die Matrix A nach
Durchfuhrung der Gauss-Elimination (und nach Weglassen der letzten m ’ k
¨
Zeilen, falls vorhanden) wie folgt aussieht:
« 
1 0 0 . . . 0 a1,k+1 . . . a1,n
.
. a2,k+1 . . . a2,n ·
¬0 1 0 .
¬
·
.
¬ ·
. ·.
¬0 0 1 .
¬ ·
.
.
¬ ·
.
 
0 ... . . . 1 ak,k+1 . . . ak,n

Die L¨sungsmenge des homogenen Gleichungssystems ist dann sehr einfach zu
o
bestimmen: Wir k¨nnen xk+1 , . . . , xn frei w¨hlen und x1 , . . . , xk daraus ausrech-
o a
nen: n
xi = (’aij ) xj .
j=k+1




70
≥ k + 2, so erhalten wir den
Wahlen wir z.B. xk+1 = 1 und xj = 0 fur j
¨ ¨
Losungsvektor
¨
’a1,k+1
« 
.
.
.
¬ ·
¬ ·
¬ ’ak,k+1
¬ ·
·
(k+1)
1
x := ¬ ·.
¬ ·
0
¬ ·
¬ ·
.
.
¬ ·
.
 
0
Analog erhalten wir fur jedes l ∈ {k + 1, . . . , n} L¨sungsvektoren mit genau einer
o
¨
Eins fur die Komponenten k + 1 bis n und sonst 0 (fur diese Komponenten).
¨ ¨
« 
’a1,l
¬.·
¬.· .
¬ ’ak,l ·
¬ ·
¬0·
¬ ·
x(l) := ¬ . · . (4.8)
¬.· .·
¬
¬ 1 · ←l
¬ ·
¬.·
. .
0

Aus der Diskussion des homogenen Gleichungssystems ergibt sich, dass der L¨- o
sungsraum L des Gleichungssystems die lineare Hulle der Vektoren x(k+1) , . . . ,
¨
x(n) ist:
L = L x(k+1) , . . . , x(n) .
Man sieht jedoch auch sehr leicht, dass die Vektoren x(k+1) , . . . , x(n) linear un-
abh¨ngig sind: Eine Linearkombination der Form
a
n
±i x(i) , ±k+1 , . . . , ±n ∈ K
i=k+1

hat namlich einfach ±k+1 , . . . , ±n als die Komponenten k + 1 bis n (die ande-
¨
ren Komponenten sind naturlich komplizierter, was uns nicht zu interessieren
¨
n
braucht). Gilt daher i=k+1 ±i x(i) = 0, so folgt ±k+1 = . . . = ±n = 0. Somit sind
die Vektoren x(k+1) , . . . , x(n) linear unabh¨ngig. Die Vektoren x(l) , k + 1 ¤ l ¤ n,
a
bilden eine Basis des L¨sungsraums (4.7) des homogenen Gleichungssystems. Da
o
wir im vorangegangen Satz schon gesehen haben, dass k der Rang der Matrix A
ist, erhalten wir:

Satz 4.14 Die Dimension des L¨sungsraums des homogenen Gleichungssystems
o
Ax = 0 mit der m — n-Matrix A ist n ’ rang (A) .

71
4.6 Lineare Abbildungen
De¬nition 4.12 V und W seien zwei K-Vektorr¨ume (es ist wichtig, dass der
a
Grundk¨rper bei beiden derselbe ist). Eine Abbildung f : V ’ W heisst linear,
o
wenn die folgende Eigenschaft gilt:
Fur alle Vektoren u, v ∈ V und beliebige Skalare ±, β ∈ K gilt
¨

f (±u + βv) = ±f (u) + βf (v) .

Jede lineare Abbildung bildet den Nullvektor auf den Nullvektor ab. Das folgt
sehr einfach:
f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0) .
Daraus folgt f (0) = 0.
Mit Induktion zeigt man auch sehr einfach, dass fur u1 , u2 , . . . , un ∈ V und
¨
±1 , ±2 , . . . , ±n ∈ K
n n
f ±i ui = ±i f (ui )
i=1 i=1

gilt.
Ist U = (u1 , . . . , un ) eine Basis von V so wird eine lineare Abbildung f : V ’
W durch die Funktionswerte f (ui ) ∈ W, 1 ¤ i ¤ n vollstandig festgelegt: Da
¨
jeder Vektor v ∈ V eine eindeutige Darstellung als Linearkombination der ui hat,
v = n ±i ui , so ergibt sich der Funktionswert f (v) einfach als
i=1

n
f (v) = ±i f (ui ) . (4.9)
i=1

Umgekehrt kann man eine lineare Abbildung f dadurch de¬nieren, dass man
die Funktionswerte auf einer Basis vorgibt. Sind namlich w1 , . . . , wn beliebige
¨
Vektoren in W (nicht notwendigerweise linear unabh¨ngig), so gibt es genau eine
a

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