<<

. 17
( 60 .)



>>

lineare Abbildung f mit f (ui ) = wi , 1 ¤ i ¤ n. Durch (4.9) wird n¨mlich a
eindeutig eine Abbildung f : V ’ W festgelegt. Man zeigt dann sehr leicht, dass
diese Abbildung linear ist.

Beispiel 4.13 Die Abbildung f : R ’ R gegeben durch f (x) := ax, a ∈ R, ist
linear. Die Abbildung f de¬niert durch f (x) = ax + 1 ist jedoch nicht linear.

Beispiel 4.14 Lineare Abbildungen K n ’ K m : Sei A eine m — n-Matrix
mit Koe¬zienten in einem K¨rper K. Dann wird durch x ’ Ax eine lineare
o
n m
Abbildung K ’ K de¬niert (x als Spaltenvektor geschrieben). Jede lineare
Abbildung K n ’ K m entsteht auf diese Weise. Ist n¨mlich f : K n ’ K m
a
eine beliebige lineare Abbildung, so ist sie durch ihre Werte auf der Standardbasis
(e1 , . . . , en ) in K n vollst¨ndig bestimmt. De¬nieren wir die m — n-Matrix A nun
a


72
indem wir f (ej ) ∈ K m in die j-te Spalte schreiben, so erhalten wir fur einen
¨
n
beliebigen Vektor x ∈ K (als Spaltenvektor geschrieben):
n
n
f (x) = f xj ej = xj f (ej )
i=1
j=1
n
« 
a1j xj
j=1
n
a2j xj ·
¬
j=1
=¬ · = Ax.
¬ ·
.
.
.
 
n
j=1 amj xj

Beispiel 4.15 Sie V der R-Vektorraum der stetigen linearen Abbildungen φ :
R ’ R. Dann ist
1
φ’ φ(x) dx ∈ R
V
0
eine lineare Abbildung von V in den R-Vektorraum R.

Beispiel 4.16 Sei V eine beliebiger endlichdimensionaler Vektorraum und V =
(v1 , . . . , vn ) eine Basis in V. Wir de¬nieren die Abbildung φV : V ’ K n in-
dem wir jedem Vektor v seine Koordinaten bezuglich dieser Basis zuweisen (siehe
¨
die Diskussion nach der De¬nition 4.10). Diese Abbildung ist linear. Um dies
einzusehen, betrachten wir zwei Vektoren u, v ∈ V mit Koordinatenvektoren
«  « 
x1 y1
x =  .  , bzw. y =  .  ,
¬.· ¬.·
. .
xn yn

bezuglich dieser Basis. Dann ist fur ±, β ∈ K
¨ ¨
n n
±u + βv = ± x i ui +β y i ui
i=1 i=1
n
= (±xi + βyi ) ui .
i=1

Somit ist der Koordinatenvektor von ±u + βv gleich
« 
±x1 + βy1
.
.  = ±x + βy.
¬ ·
.

±xn + βyn

Dies beweist die Behauptung.

Satz 4.15 Sind f : V ’ W und g : W ’ X lineare Abbildungen zwischen den
K-Vektorr¨umen V, W, X, so ist auch g —¦ f : V ’ X eine lineare Abbildung.
a

73
Beweis. Seien ±, β ∈ K, u, v ∈ V. Dann gilt
(g —¦ f ) (±u + βv) = g (f (±u + βv)) = g (±f (u) + βf (v))
= ±g (f (u)) + βg (f (v))
= ± (g —¦ f ) (u) + β (g —¦ f ) (v) .


Wir betrachten den Spezialfall V = K n , W = K m , X = K r . Lineare Abbil-
dungen f : V ’ W und g : W ’ X werden durch Matrizen A, B beschrieben:
f (x) = Ax, g (y) = By (x, y als Spaltenvektoren geschrieben). Dann wird die
Komposition der Abbildungen einfach durch das Produkt der Matrizen beschrie-
ben:
(g —¦ f ) (x) = BAx.

Lemma 4.3 Sei f : V ’ W eine lineare Abbildung.
a) Ist U ein Unterraum von V , so ist
f (U ) := {f (u) : u ∈ U }
ein Unterraum von W.
b) Ist X ein Unterraum von W, so ist
f ’1 (X) := {v ∈ V : f (v) ∈ X}
ein Unterraum von V. (Vorsicht: Wir setzen nicht voraus, dass eine Abbildung
f ’1 existiert. f ’1 (X) ist bloss eine Notation.)

Beweis. Wir beweisen b); a) geht genauso.
Seien u, v ∈ f ’1 (X) und ±, β ∈ K. Dann gilt
f (±u + βv) = ±f (u) + βf (v) ∈ X,
weil f (u) , f (v) in X sind und X ein Unterraum ist.

De¬nition 4.13 Eine bijektive lineare Abbildung von V nach W heisst (linea-
rer) Isomorphismus. Zwei Vektorr¨ume heissen isomorph, wenn ein Iso-
a
morphismus zwischen ihnen existiert.

Lemma 4.4 a) Ist f : V ’ W ein Isomorphismus, so ist auch die Umkehrab-
bildung f ’1 linear (und damit ebenfalls ein Isomorphismus).
b) Sind f : V ’ W und g : W ’ X Isomorphismen, so ist auch g —¦ f ein
Isomorphismus.
c) Ist f : V ’ W ein Isomorphismus und ist U ein Unterraum von V, so sind
U und f (U ) isomorph. (Fur die De¬nition von f (U ) siehe Lemma 4.3.)
¨
d) Sei f : V ’ W eine lineare Abbildung und V = (v1 , . . . , vn ) eine Basis
von V. Ferner sei wi := f (vi ) . f ist genau dann ein Isomorphismus, wenn W =
(w1 , . . . , wn ) eine Basis von W ist.

74
Beweis. a) Seien u, w ∈ W und ±, β ∈ K. Dann ist

f ±f ’1 (u) + βf ’1 (w) = ±f f ’1 (u) + βf f ’1 (w)
= ±u + βw.

Daraus folgt
±f ’1 (u) + βf ’1 (w) = f ’1 (±u + βw) .
b) g —¦ f ist eine Bijektion und linear und damit ein Isomorphismus.
c) Wir de¬nieren die Restriktion f |U : U ’ f (U ) durch die Festsetzung
f |U (u) := f (u) fur u ∈ U. (f |U ist formal eine andere Abbildung als f, da sie
¨
auf einem anderen Vektorraum de¬niert ist, n¨mlich einem Unterraum von V ).
a
f |U ist o¬ensichtlich linear und bildet U bijektiv auf f (U ) ab. Damit ist diese
Abbildung ein Isomorphismus.
d) Ist W eine Basis, so de¬nieren wir eine lineare Abbildung g : W ’ V durch
g (wi ) = vi . Dann ist g —¦ f eine lineare Abbildung V ’ V mit (g —¦ f ) (vi ) = vi fur
¨
1 ¤ i ¤ n. Daraus folgt g —¦ f = idV . Analog folgt f —¦ g = idW .
Ist umgekehrt f ein Isomorphismus, so muss W ein Erzeugendensystem sein,
denn jeder Vektor w ∈ W l¨sst sich als w = f ( n ±i vi ) = n ±i wi darstel-
a i=1 i=1
len. Ferner sind die Vektoren in W linear unabh¨ngig, denn aus n ±i wi =
a i=1
n n
i=1 ±i f (vi ) = f ( i=1 ±i vi ) = 0 folgt aus der Bijektivit¨t von f die Gleichung
a
n
i=1 ±i vi = 0 und daraus wegen der Unabh¨ngigkeit der vi : ±1 = . . . = ±n = 0.
a
Damit ist gezeigt, dass W eine Basis ist.

Satz 4.16 a) Ist V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum mit Basis V, so ist
die Koordinatenabbildung φV ein Isomorphismus.
b) Zwei endlichdimensionale Vektorr¨ume V, W derselben Dimension sind
a
isomorph.

Beweis. a) φV ist linear und bijektiv, wie wir schon gesehen haben, und
damit ein Isomorphismus.
b) folgt aus Lemma 4.4 d): Ist V = (v1 , . . . , vn ) eine Basis in V und W =
(w1 , . . . , wn ) eine Basis in W, so de¬nieren wir die lineare Abbildung f : V ’ W
durch f (vi ) = wi . Nach Lemma 4.4 ist f ein Isomorphismus.
Es muss jedoch betont werden, dass dieser Isomorphismus basisabh¨ngig de-a
¬niert ist und nicht naturlich gegeben ist.
¨

Bemerkung 4.4 Wir k¨nnen die Matrix einer Basistransformation, die wir in
o
Abschnitt 4.4 eingefuhrt hatten, noch etwas anders interpretieren. Sind V und
¨
U zwei Basen desselben Vektorraums V der Dimension n, so de¬niert φV —¦ φ’1 U
n n
einen Isomorphismus K ’ K , der gem¨ss Beispiel 4.16 durch eine Matrix A
a
beschrieben ist. Diese Matrix ist als darstellende Matrix eines Isomorphismus
regul¨r ” und naturlich nichts anderes als die Matrix der Basistransformation
a ¨
von V nach U. Um dies einzusehen betrachten wir den i-ten Vektor ei der Stan-
dardbasis von K n . Aei ist dann einfach die i-te Spalte der Matrix A. Ferner ist

75
φ’1 (ei ) = ui , der i-te Vektor der Basis U. Demzufolge ist φV —¦ φ’1 (ei ) = φV (ui )
U U
der Koordinatenvektor von ui bezuglich der V-Basis. Somit ist der i-te Spalten-
¨
vektor von A der Koordinatenvektor von ui bezuglich der V-Basis, was nichts
¨
anderes bedeutet als n
ui = aji vj .
j=1

Sind V und W zwei K-Vektorr¨ume, so bezeichnet wir mit hom (V, W ) die
a
Menge aller linearen Abbildungen f : V ’ W . hom (V, W ) ist dann selbst ein
K-Vektorraum: Sind f und g ∈ hom (V, W ) , so de¬nieren wir die Abbildung
f + g : V ’ W durch (f + g) (v) := f (v) + g (v) . Um nachzuweisen, dass
f + g ∈ hom (V, W ) gilt, mussen wir die Linearit¨t nachweisen: Seien u, v ∈ V
a
¨
und ±, β ∈ K. Dann gilt

(f + g) (±u + βv) = f (±u + βv) + g (±u + βv)
= ±f (u) + βf (v) + ±g(u) + βg (v)
= ± (f + g) (u) + β (f + g) (v) .

Somit ist ±f + βg tats¨chlich linear und damit in hom (V, W ) . Der Nullvektor
a
in hom (V, W ) ist einfach die Nullabbildung V ’ W, die jeden Vektor aus V auf
den Nullvektor in W abbildet.
Lineare Abbildungen eines K-Vektorraums V auf sich selbst bezeichnet man
manchmal auch als Endomorphismen. Wir schreiben hom (V ) fur den Vektor-
¨
raum der Endomorphismen f : V ’ V.
Ein anderer Spezialfall verdient besondere Beachtung, n¨mlich der Fall W =
a
K.

De¬nition 4.14 V — := hom (V, K) ist der Dualraum des Vektorraums V.

Der Dualraum von V ist also einfach der Vektorraum aller linearen Abbildun-
gen V ’ K. Ist V endlichdimensional mit einer Basis V = (v1 , . . . , vn ) , so k¨nnen
o
wir sehr einfach eine Basis von V — ¬nden: Wir de¬nieren fur jedes i, 1 ¤ i ¤ n
¨
das Element vi ∈ V — durch die Festlegung



vi (vj ) = δij .

Vermittels n n
n
— —
vi ±j vj = ±j vi (vj ) = ±j δij = ±i
j=1
j=1 j=1

wird dadurch eine lineare Abbildung V ’ K de¬niert. Anders ausgedruckt: vi
¨
ordnet jedem Vektor seine i-te Koordinate bezuglich der Basis V zu.
¨

Satz 4.17 V — = (v1 , . . . , vn ) ist eine Basis von V — . Insbesondere gilt dim (V — ) =
— —

dim (V ) .

76
Beweis. Wir schreiben einen beliebigen Vektor v ∈ V in seinen Koordinaten
bezuglich V :
¨
n

<<

. 17
( 60 .)



>>