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. 18
( 60 .)



>>


v= vi (v)vi .
i=1

Damit ist fur jedes f ∈ V —
¨
n

f (v) = vi (v)f (vi ) ,
i=1

oder anders ausgedruckt:
¨
n

f= f (vi ) vi .
i=1

Somit ist gezeigt, dass sich jedes Element in V — als Linearkombination der vi —

ausdrucken lasst, d.h. (v1 , . . . , vn ) ist ein Erzeugendensystem von V — .
— —
¨ ¨
— —
Wir mussen nun noch nachweisen, dass die v1 , . . . , vn linear unabhangig sind.
¨ ¨
n
Sei also 0 = i=1 ±i vi , ±i ∈ K, wobei auf der linken Seite der Nullvektor in V — ,


also die Nullabbildung V ’ K steht. Insbesondere gilt fur jedes j ∈ {1, . . . , n} :
¨
n

0= ±i vi (vj ) = ±j .
i=1

— —
Damit ist die lineare Unabh¨ngigkeit gezeigt, und es folgt also, dass (v1 , . . . , vn )
a
eine Basis von V — ist.
Der Satz 4.16 impliziert, dass ein endlichdimensionaler Vektorraum V iso-
morph zu V — ist. Um einen Isomorphismus V ’ V — zu konstruieren, w¨hlen wir a
eine Basis V = (v1 , . . . , vn ) in V und die dazu duale Basis V = (v1 , . . . , vn ) in V — .
— — —

Die Festlegung f (vi ) = vi de¬niert dann einen Isomorphismus. Dieser Isomor-
phismus ist jedoch basisabh¨ngig konstruiert und nicht, wie man sagt, “naturlich”
a ¨
gegeben. Bei Wahl einer anderen Basis erh¨lt man einen anderen Isomorphismus,
a
wie man wie folgt sieht: Betrachten wir eine andere Basis U = (u1 , . . . , un ) von V
mit der dazugeh¨rigen Dualbasis U — = (u— , . . . , u— ) . Ferner sei dann ein Isomor-
o 1 n
— —
phismus g : V ’ V durch g (ui ) = ui festgelegt. Wir stellen uns nun die Frage,
ob f = g ist. Dazu betrachten wir die regul¨re Matrix der Basistransformation
a
n
ui = aji vj .
j=1


Wie transfomieren sich die Dualbasen? Aus der obigen Basistransformation er-
gibt sich
n
— —
vk (ui ) = aji vk (vj ) = aki
j=1


77
und somit folgt
n

aki u— .
vk = i
i=1

Kehren wir zur obigen Frage zuruck, ob f = g gilt, so sehen wir das folgende:
¨

f = g ⇐’ f (ui ) = g (ui ) ∀i
n n
aji vj = g (ui ) = u—

⇐’ ∀i
aji f (vj ) = i
j=1 j=1
n n n n
ajl u— = u— = u—
⇐’ ∀i
aji aji ajl
l l i
j=1 j=1
l=1 l=1
n
⇐’ ∀i, l
aji ajl = δil
j=1

⇐’ AT A = En .

Wir sehen also, dass f = g nur bei ganz speziellen Basistransformation gilt. Im
Allgemeinen gilt n¨mlich fur eine regul¨re Matrix AT A = En . Regul¨re Matrizen,
a a a
¨
fur die AT A = En gilt, sind sehr speziell. Wir sehen also, dass der oben konstru-
¨
ierte Isomorphismus zwischen V und V — von der gew¨hlten Basis abh¨ngt.
a a
Matrizen, die die Bedingung AT A = En erfullen, sind jedoch wichtig genug
¨
fur eine spezielle De¬nition. Die Bedeutung solcher Matrizen (und der Zusam-
¨
menhang mit der obigen Diskussion) wird erst viel sp¨ter klar werden.
a

De¬nition 4.15 Eine regul¨re Matrix A heisst orthogonal, wenn AT A = En
a
gilt. Die Menge aller orthogonalen n — n-Matrizen (mit Komponenten aus K)
bezeichnen wir mit O(n, K).

Bemerkung 4.5 Die Bedingung impliziert naturlich, dass A’1 = AT ist. Man
¨
beachte, dass das Produkt zweier orthogonaler Matrizen A und B wieder ortho-
gonal ist:
(AB)T (AB) = B T AT AB = B T En B = B T B = En .
Ferner ist mit A auch A’1 orthogonal und En ist selbstverst¨ndlich orthogonal.
a
O (n, K) ist somit mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe (wie man sagt,
eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe GL(n, K)).
Ein Beispiel einer orthogonalen 2 — 2-Matrix (mit K = R)

cos φ sin φ
φ ∈ [0, 2π] .
A= ,
’ sin φ cos φ




78
Dann ist
cos φ ’ sin φ cos φ sin φ
AT A =
’ sin φ cos φ
sin φ cos φ
cos2 φ + sin2 φ cos φ sin φ ’ cos φ sin φ
=
cos2 φ + sin2 φ
cos φ sin φ ’ cos φ sin φ
10
= .
01

Bemerkung 4.6 Im Gegensatz zu der Situation mit V und V — sind die V und
der doppelduale Raum V —— in naturlicher Weise isomorph (sofern V endlichdi-
¨
mensional ist). Die Elemente von V —— sind die linearen Abbildungen V — ’ K.
Wir k¨nnen n¨mlich basisunabh¨ngig eine Abbildung ¦ : V ’ V —— wie folgt
o a a
de¬nieren:
¦ (v) (f ) := f (v) ,
fur v ∈ V und f ∈ V — . ¦ (v) ist o¬ensichtlich eine Abbildung V — ’ K. Man muss
¨
¨
jedoch einige Dinge nachweisen, was dem Leser als Ubungsaufgabe uberlassen sei:
¨

• Fur jedes v ∈ V ist ¦ (v) eine lineare Abbildung V — ’ K. Ist dies gezeigt,
¨
so ist nachgewiesen, dass ¦ (v) fur jedes v ∈ V ein Element in V —— ist. D.h.
¨
es ist nachgewiesen, dass ¦ uberhaupt eine Abbildung V ’ V —— de¬niert.
¨

• ¦ ist ein lineare Abbildung V ’ V ——

• ¦ ist bijektiv.

De¬nition 4.16 Sei f : V ’ W eine lineare Abbildung des K-Vektorraums V
nach dem K-Vektorraum W.
a) Der Kern von f ist de¬niert durch

ker (f ) := {v ∈ V : f (v) = 0} .

b) Das Bild von f ist de¬niert durch

im (f ) := {f (v) : v ∈ V } ‚ W.

c) dim (im (f )) bezeichnet man als den Rang von f.

Beispiel 4.17 Wir betrachten die Abbildung f : K n ’ K m aus Beispiel 4.14.
Dann ist ker (f ) einfach die L¨sungsmenge des homogenen Gleichungssystems
o
Ax = 0.

Lemma 4.5 a) ker (f ) ist ein Unterraum von V.
b) im (f ) ist ein Unterraum von W.

79
Beweis. a) Seien u, v ∈ ker (f ) und ±, β ∈ K. Dann gilt

f (±u + βv) = ±f (u) + βf (v) = ±0 + β0 = 0.

b) Seien w1 , w2 ∈ im (f ) . Dann existieren v1 , v2 ∈ V mit wi = f (vi ) , i = 1, 2.
Dann ist fur ±, β ∈ K
¨

±w1 + βw2 = ±f (v1 ) + βf (w2 )
= f (±v1 + βv2 ) ∈ im (f ) .



Lemma 4.6 Ein lineare Abbildung f : V ’ W ist genau dann injektiv, wenn
ker (f ) = {0} gilt. f ist genau dann surjektiv, wenn im (f ) = W ist.

Beweis. Die zweite Aussage ist trivial. Wir beweisen die erste: Ist f injektiv,
so gilt naturlich ker (f ) = {0} . Wir beweisen die Umkehrung. Sei ker (f ) = {0} .
¨
Sind u, v ∈ V mit f (u) = f (v) , so folgt wegen der Linearitat
¨

f (u ’ v) = f (u) ’ f (v) = 0,

und wegen ker (f ) = {0} folgt dann u = v. Damit ist gezeigt, dass f injektiv ist.


Korollar 4.5 Ein lineare Abbildung f : V ’ W ist genau dann ein Isomorphis-
mus, wenn ker (f ) = {0} und im (f ) = W gelten.

Satz 4.18 Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum, dim V = n, und f :
V ’ W sei eine lineare Abbildung. Dann gilt

n = dim (ker (f )) + dim (im (f )) .

Beweis. Sei d := dim (ker (f )) , und (u1 , . . . , ud ) eine Basis von ker (f ) . Nach
dem Basiserg¨nzungssatz 4.8 k¨nnen wir dies zu einer Basis in V erg¨nzen: (u1 ,
a o a
. . . , ud , ud+1 , . . . , un ). Wir betrachten die n ’ d Vektoren f (ud+1 ), . . ., f (un ) .
1. Schritt: (f (ud+1 ) , . . . , f (un )) ist ein Erzeugendensystem von im (f ): Jeder
Vektor w ∈ im (f ) hat eine Darstellung w = f (u) , u ∈ V. Jeder Vektor u ∈ V
l¨sst sich aber als Linearkombination der ui darstellen: u = n ±i ui . Damit
a i=1
folgt
n n
w=f ±i ui = ±i f (ui )
i=1 i=1
n
= ±i f (ui ) .
i=d+1



80
2. Schritt: Die Vektoren f (ud+1 ) , . . . , f (un ) sind linear unabhangig: Sei
¨
n n
±i ui = 0. Somit ist n
±i f (ui ) = 0. Daraus folgt f i=d+1 ±i ui
i=d+1 i=d+1
∈ ker f. Wegen der Basiseigenschaft von (u1 , . . . , ud , ud+1 , . . . , un ) und der Vor-
aussetzung, dass (u1 , . . . , ud ) eine Basis von ker f ist, folgt ±d+1 = . . . = ±n = 0.


Wir kommen nun nochmals auf Matrizen und ihren Rang zuruck, den wir mit
¨
Hilfe des obigen Satzes neu interpretieren k¨nnen. Sei also A eine m — n-Matrix.
o

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