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. 20
( 60 .)



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und S = (sij ) ∈ GL (m, K) fur die Transformation von W nach W :
¨
m
wj = sij wi .
i=1

Die Matrix der Basistransformation von W nach W ist dann einfach S ’1 =
(’1)
. Sei weiter f ∈ hom (V, W ) und A sei die darstellende Matrix bezuglich
sij ¨
der Basen V und W, w¨hrend B die darstellende Matrix bezuglich der Basen V
a ¨
und W sei. In welcher Beziehung stehen diese Matrizen? Hier die Antwort:

Satz 4.22
B = S ’1 AT. (4.13)



85
Beweis. Nach Bemerkung 4.4 ist die Matrix der Basistransformation von V
nach V durch φV —¦φ’1 : K n ’ K n gegeben und analog fur die Basistransformati-
¨
V
on von W nach W . Wir schreiben zur Verdeutlichung Af,V,W fur die darstellende
¨
Matrix bezuglich der Basen V und W. Dann gilt
¨
B = Af,V ,W = φW —¦ f —¦ φ’1 = φW —¦ φ’1 —¦ φW —¦ f —¦ φ’1 —¦ φV —¦ φ’1
W V
V V
’1
= φW —¦ φ’1 —¦ φW —¦ f —¦ φ’1 —¦ φV —¦ φ’1
V
W V
’1 ’1
= S Af,V,W T = S AT.


¨
Ubung 4.4 (dringend empfohlen): Beweisen sie die Gleichung (4.13) “zu Fuss”,
indem Sie die De¬nitionen der darstellenden Matrizen und der Basiswechsel aus-
schreiben, indem Sie also in
n
f (vi ) = bji wj ,
j=1

die Vektoren vi , wj durch die Basisvektoren der anderen Basen unter Verwendung
von S und T ausdrucken etc.
¨
Wir k¨nnen die obige Diskussion noch auf Endomophismen einschr¨nken. Ist
o a
V ein K-Vektorraum, f : V ’ V ein lineare Abbildung und V = (v1 , . . . , vn ) eine
Basis in V, so ist die darstellende Matrix A = (aij ) von f bezuglich dieser Basis
¨
durch n
f (vj ) = aij vi
i=1
de¬niert. Im Unterschied zu der fruheren Situation mit zwei Vektorr¨umen ar- a
¨
beiten wir hier naturlich nur mit einer Basis. Ist U = (u1 , . . . , un ) eine neue Basis
¨
mit einer regul¨ren Matrix S = (sij ) der Basistransformation:
a
n
uj = sij vi ,
i=1
so spezialisiert sich der Satz 4.22 wie folgt: Ist B die darstellende Matrix von f
bezuglich der Basis U, so gilt
¨
B = S ’1 AS. (4.14)
De¬nition 4.18 Zwei Matrizen A, B ∈ M (n, K) heissen ¨hnlich, wenn eine
a
regul¨re n — n-Matrix S existiert mit (4.14).
a
¨
Ahnliche Matrizen de¬nieren dieselbe Abbildung bezuglich verschiedenen Ba-
¨
sen.
¨
Ubung 4.5 Zeigen Sie dass
A ∼ B ⇐’ ∃S ∈ GL (n, K) mit B = S ’1 AS
¨
ein Aquivalenzrelation auf M (n, K) de¬niert.


86
5 Determinanten
5.1 Permutationen
Wir haben schon fruher Permutationen kennengelernt: Eine Permutation π ei-
¨
ner endlichen Menge M ist eine bijektive Abbildung M ’ M. Wir k¨nnen diese
o
endliche Menge durchnummerieren und deshalb ohne Einschr¨nkung der Allge-
a
meinheit annehmen, dass M = Mn := {1, . . . , n} gilt. Wir schreiben dann
1 2 3 ... n
π= .
π (1) π (2) π (3) . . . π (n)
Wir bezeichnen mit Σn die Menge aller Permutationen von n Elementen. Wie
wir schon in Kapitel 2 gesehen haben, ist Σn unter der zweistelligen Verknupfung
¨
der Komposition eine Gruppe. Das Neutralelement ist die identische Abbildung
idM . Ganz allgemein bezeichnet man ein Element i ∈ M mit π (i) = i als einen
Fixpunkt der Permutation π. Die identische Abbildung hat naturlich die ganze
¨
Menge M als Fixpunktmenge. Wir nennen eine Teilmenge A ‚ M invariant
unter der Permuation π, wenn π (i) ∈ A fur alle i ∈ A gilt.
¨
Spezielle Permutationen sind die sogenannte Zyklen. Seien m1 , . . . , mk ∈ M
verschiedene Elemente. Wir bezeichnen mit π = (m1 , . . . , mk ) die Permutation,
die die Elemente m1 , . . . , mk in dieser Reihenfolge zyklisch vertauscht und die
Elemente ausserhalb {m1 , . . . , mk } fest l¨sst. Anders ausgedruckt:
a ¨
π (mi ) = mi+1 , 1 ¤ i ¤ k ’ 1,
π (mk ) = m1 ,
π (i) = i, i ∈ {m1 , . . . , mk } .
/
Man beachte, dass (m2 , m3 , . . . , mk , m1 ) dieselbe Permutation wie (m1 , . . . , mk )
ist. Die Notation ist also nicht ganz eindeutig. Naturlich ist {m1 , . . . , mk } in-
¨
variant unter dem Zyklus. Wir bezeichnen mit k die L¨nge des Zyklus. Von
a
besonderer Bedeutung sind Zyklen der Lange 2. Man nennt sie Transpositio-
¨
nen, und wir schreiben sie ublicherweise als „i,j := (i, j) . Eine Transposition
¨
tauscht einfach die beiden bezeichneten Elemente der Menge M aus. Die Zyklen
der Lange 1 sind naturlich trivialerweise einfach die Identitat.
¨ ¨ ¨
Ist π eine Permutation, so de¬nieren wir die ganzzahligen Potenzen von π
rekursiv wie folgt:
π 0 := idM , π k+1 := π k —¦ π, k ≥ 0.
Man hat also einfach π 1 = π, π 2 = π —¦ π, π 3 = π —¦ π —¦ π etc.
Lemma 5.1 Jeder Zyklus (m1 , m2 , . . . , mk ) l¨sst sich als Produkt von Transpo-
a
sitionen wie folgt darstellen:
(m1 , m2 , . . . , mk ) = „m1 ,m2 —¦ „m2 ,m3 —¦ . . . —¦ „mk’1 ,mk .

87
Beweis. Nachrechnen.
Zwei Zyklen ζ1 , ζ2 kommutieren im allgemeinen nicht, d.h. es gilt im allge-
meinen ζ1 —¦ ζ2 = ζ2 —¦ ζ1 . So ist etwa
(1, 2) —¦ (2, 3) = (1, 2, 3) ,
und
(2, 3) —¦ (1, 2) = (1, 3, 2) = (1, 2, 3) .
Sind {m1 , . . . , mk } und {m1 , . . . , mk } jedoch disjunkte Teilmengen von M , so
gilt o¬ensichtlich
(m1 , . . . , mk ) —¦ (m1 , . . . , mk ) = (m1 , . . . , mk ) —¦ (m1 , . . . , mk ) ,
denn (m1 , . . . , mk ) verschiebt die Elemente nur innerhalb der Menge {m1 , . . . ,
mk } und l¨sst diejenigen ausserhalb als Fixpunkte und analog fur (m1 , . . . , mk ).
a ¨
Die Reihenfolge dieser Verschiebungen spielt o¬ensichtlich keine Rolle, wenn {m1 ,
. . . , mk } ©{m1 , . . . , mk } = … gilt. Wir nennen zwei Zyklen disjunkt, wenn diese
Situation vorliegt.
Satz 5.1 Jede Permutation π von M = {1, . . . , n} l¨sst sich als Komposition
a
paarweise disjunkter Zyklen der L¨nge ≥ 2 darstellen. Diese Darstellung ist bis
a
auf die Reihenfolge der Zyklen eindeutig.
¨
Beweis. Wir de¬nieren zun¨chst eine Aquivalenzrelation auf M : i ∼ j, falls
a
¨
n ∈ N0 existiert mit j = π n (i) . ∼ ist tats¨chlich eine Aquivalenzrelation:
a
• i ∼ i gilt wegen i = π 0 (i).
• Transitivitat: Ist i ∼ j und j ∼ l, so existieren m, n ∈ N0 mit j = π m (i)
¨
und l = π (j) . Dann ist l = π m+n (i), und es folgt somit i ∼ l.
n


• Symmetrie: Es gelte i ∼ j. Wir k¨nnen voraussetzen, dass i = j gilt, denn
o
sonst w¨re j ∼ i trivial. Dann existiert m ∈ N mit j = π m (i) . m sei die
a
kleinste Zahl, fur die diese Gleichung gilt. Wir untersuchen die Folge von
¨
Elementen i0 := i, i1 := π (i0 ) , i2 := π (i1 ) , . . . . O¬enbar ist j = im . Da M
eine endliche Menge ist, k¨nnen nicht alle Elemente dieser Folge verschieden
o
sein. Wir setzen
k := min {l ≥ 2 : il ∈ {i0 , . . . , il’1 }} .
Ich behaupte, dass ik = i0 (= i) gilt. W¨re dem nicht so und ik = il , 1 ¤
a
l ¤ k ’ 1, so wurde wegen der Injektivit¨t von π ik’1 = il’1 folgen, was der
a
¨
De¬nition von k widerspricht. Die obige Folge i0 , i1 , i2 , . . . ist also einfach die
endliche Folge i0 , i1 , i2 , . . . , ik’1 , die danach einfach wieder neu durchlaufen
wird. Es folgt auch sofort, dass 1 ¤ m ¤ k ’ 1 gelten muss, denn sonst
w¨re im nicht in dieser Liste enthalten. Damit folgt nun i = π k’m (j) , d.h.
a
j ∼ i.

88
¨
Betrachten wir nun die Aquivalenzklassen dieser Relation. Die Klassen mit
einem Element sind einfach die Fixpunkte. Sei A ‚ M eine Klasse, die mehr als
¨
ein Element enthalt. Nach der eben gefuhrten Uberlegung im Beweis der Sym-
¨ ¨
metrie werden die Elemente von A einfach zyklisch vertauscht: Wir beginnen mit
einem beliebigen Element i ∈ A und de¬nieren wie oben die Folge i0 , i1 , . . . , ik’1 .
Dann ist A = {i0 , i1 , . . . , ik’1 } und π (ij ) = ij+1 , 0 ¤ j ¤ k ’2, π (ik’1 ) = i0 . Dies
fuhrt o¬ensichtlich zu einer Zerlegung von π in eine Komposition von paarweise
¨
disjunkten Zyklen.
Die Eindeutigkeit ist klar: Sei π = ζ1 —¦. . .—¦ζm eine Darstellung der Permutation
π als Komposition von paarweise disjunkter Zyklen, und sei Z (ζj ) ‚ M die
Menge der Elemente, die unter ζj zyklisch vertauscht werden. Dann sind diese
¨
Z (ζj ) naturlich einfach die Klassen der oben eingefuhrten Aquivalenzrelation und
¨ ¨
π = ζ1 —¦ . . . —¦ ζm ist genau die Zerlegung von π wie sie oben konstruiert wurde
(bis m¨glicherweise auf die Reihenfolge).
o

Bemerkung 5.1 Ist π = ζ1 —¦ . . . —¦ ζm eine derartige Zerlegung in paarweise
disjunkte Zyklen, so ist
k
F := M Z (ζj )
j=1

einfach die Fixpunktmenge der Permutation. Es ist weiter unten praktisch, in
die Zyklenzerlegung noch fur jeden Fixpunkt f ∈ F einen Einerzyklus (f ) hinzu-
¨
schreiben, der naturlich einfach die Identit¨t ist, und daher nur “kosmetischen”
a
¨
Ein¬‚uss hat. Der Vorteil dieser Darstellung besteht darin, dass nach Hinzunahme
diser trivialen Einerzyklen die Z (ζj ) eine vollst¨ndige Zerlegung der Menge M
a
¨
bilden und man nicht in allen Uberlegungen die Fixpunkte gesondert betrachten
muss.

Beispiel 5.1 n = 10 und
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
π=
3 2 5 6 8 4 10 1 7 9
= (1, 3, 5, 8) —¦ (4, 6) —¦ (7, 10, 9) .

Die Fixpunktmenge ist {2} , sodass wir π auch als

π = (1, 3, 5, 8) —¦ (4, 6) —¦ (7, 10, 9) —¦ (2)

schreiben k¨nnen, sodass nun die zu den einzelnen Zyklen geh¨renden Teilmengen
o o
die Menge {1, . . . , 10} zerlegen. Die Reihenfolge in dieser Komposition spielt
o¬ensichtlich keine Rolle.

Als Korollar des obigen Satzes und Lemma 5.1 erhalten wir

Satz 5.2 Jede Permutation l¨sst sich als Produkt von Transpositionen darstellen.
a

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Es muss hier betont werden, dass diese Darstellung keinesfalls eindeutig ist.
Die Transpositionen, d.h. die Zweierzyklen, sind naturlich im allgemeinen auch
¨
nicht disjunkt.
Wir kommen nun zu einer wichtigen De¬nition:

De¬nition 5.1 Sei π eine Permutation mit Zyklenzerlegung

π = ζ1 —¦ ζ2 —¦ . . . —¦ ζk .

Die L¨ngen der Zyklen seien n1 , . . . , nk ≥ 2. Die Signatur von π ist de¬niert

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