<<

. 21
( 60 .)



>>

a
durch k
sign (π) = (’1)Σi=1 (ni ’1) . (5.1)
Ist sign (π) = 1, so bezeichnet man die Permutation als gerade, sonst als unge-
rade.

Man sollte bemerken, dass es in der obigen Darstellung egal ist, ob die trivialen
Einerzyklen fur die Fixpunkte mit in der Zyklenzerlegung verwendet werden, denn
¨
fur diese ist naturlich ni ’ 1 = 0.
¨ ¨
Ein Zyklus ist gerade, sofern die L¨nge des Zyklus ungerade ist, und ungerade,
a
sofern diese L¨nge gerade ist. Die Signatur einer Transposition ist also ’1. Die
a
Signatur einer Permutation ergibt sich dann als das Produkt der Signaturen ihrer
Zyklenzerlegung.

Lemma 5.2 Ist „i,j eine Transposition und π eine beliebige Permutation, so gilt

sign (π —¦ „i,j ) = ’ sign (π)

Beweis. Wir betrachten die Zerlegung von π in paarweise disjunkte Zyklen:

π = ζ1 —¦ . . . —¦ ζk ,

wobei fur jeden Fixpunkt ein Einerzyklus vorkommt. Wir untersuchen nun, wel-
¨
che Auswirkungen die Komposition mit einer Transposition „i,j auf die obigen
Zyklenzerlegung hat.
Fall I: i, j geh¨ren beide zu einer der Mengen Z (ζl ) . Dann ist
o

ζ1 —¦ . . . —¦ ζk —¦ „i,j = ζ1 —¦ . . . —¦ ζl’1 —¦ (ζl —¦ „i,j ) —¦ ζl+1 —¦ . . . —¦ ζk .

Wir mussen also nur untersuchen, wie die Permutation ζl —¦ „i,j aussieht, die
¨
naturlich auch eine Permutation der Elemente von Z (ζl ) ist. Die Durchnum-
¨
merierung der Elemente spielt o¬ensichtlich keine Rolle, sodass wir annehmen
k¨nnen, dass ζl = (1, . . . , m) und 1 ¤ i < j ¤ m gelten. Dann verschiebt ζl —¦ „i,j
o
die Elemente in {1, . . . , m} nach dem folgenden Schema:

i ’ j + 1 ’ j + 2 ’ ... ’ m ’ 1 ’ ... ’ i

90
und
j ’ i + 1 ’ . . . ’ j.
ζl —¦ „i,j ist also das Produkt zweier disjunkter Zyklen. Es ist daher klar, dass in
der De¬nition (5.1) sich die Summe Σk (ni ’ 1) um 1 vermindert. Damit ist
i=1
sign (π —¦ „i,j ) = ’ sign (π) in diesem Fall nachgewiesen.
Fall II. i und j geh¨ren zu verschiedenen der Mengen Z (ζl ) . Wieder spielt die
o
Durchnummerierung der Zyklen naturlich keine Rolle und wir k¨nnen deshalb o
¨
annehmen, dass die beiden relevanten Zyklen durch (1, . . . , m) und (m + 1, . . . ,
m + r) gegeben sind. Weiter k¨nnen wir annehmen, dass i = 1 und j = m + 1 ist.
o
Dann verschiebt (1, . . . , m) —¦ (m + 1, . . . , m + r) —¦ „1,m+1 die Elemente der Menge
{1, . . . , m + r} nach dem folgenden Schema:

1 ’ m + 2 ’ m + 3 ’ ... ’ m + r ’ m + 1 ’ 2
’ 3 ’ . . . ’ m ’ 1.

Wir sehen also, dass die vorher zwei Zyklen zu einem einzelnen zusammenge-
schweisst werden. Damit erh¨ht sich die Summe Σk (ni ’ 1) um 1 und wir
o i=1
erhalten auch in diesem Fall sign (π —¦ „i,j ) = ’ sign (π) . Damit ist die Aussage
des Satzes vollst¨ndig bewiesen.
a

Korollar 5.1 Ist sign (π) = 1, so ist die Anzahl der Transpositionen in jeder
Darstellung von π als Produkt von Transpositionen gerade. Ist sign (π) = ’1, so
ist diese Anzahl stets ungerade.

Beweis. Dies folgt sofort aus dem vorangegangen Lemma: Ist

π = „ (1) —¦ „ (2) —¦ . . . —¦ „ (k)

eine Darstellung von π als Produkt von Transpositionen, so ist

id = π —¦ „ (k) —¦ . . . —¦ „ (1) ,

also nach dem vorangegangenen Lemma:

1 = sign (id) = sign (π) (’1)k .

Daraus folgt sign (π) = (’1)k .

5.2 Multilinearformen, alternierende Multilinearformen
Sei V ein K-Vektorraum. Wir hatten schon den Dualraum V — kennengelernt:
Die Elemente von V — sind die linearen Abbildungen V ’ K. Wir betrachten nun
Erweiterungen dieser Situation:


91
De¬nition 5.2 Sei k ∈ N. Eine Abbildung • : V k ’ K heisst multilinear,
wenn fur jedes i ∈ {1, . . . , k} und v1 , . . . , vi’1 , vi+1 , . . . , vk ∈ V die Abbildung
¨

w ’ • (v1 , . . . , vi’1 , w, vi+1 , . . . , vk ) ∈ K
V

linear ist. Anders ausgedruckt: Bei festgehaltenen Argumenten 1, . . . , i ’ 1, i + 1,
¨
. . . , k ist die Abbildung im i-ten Argument linear. Dies muss fur jedes i gelten.
¨
Man nennt eine derartige multilineare Abbildung auch eine k-Form.
Im Spezialfall k = 2 nennt man eine derartige Abbildung bilinear.
Eine k-Form • heisst symmetrisch, wenn fur 1 ¤ i < j ¤ k und v1 , . . . , vk
¨
∈ V die Gleichung

• (v1 , . . . , vk ) = • (v1 , . . . , vi’1 , vj , vi+1 , . . . , vj’1 , vi , vj+1 , . . . , vk )

gilt, d.h. wenn die Form invariant unter Vertauschung von zwei Argumenten
ist. Eine k-Form • heisst antisymmetrisch, oder alternierend, wenn fur ¨
1 ¤ i < j ¤ k und v1 , . . . , vk ∈ V die Gleichung

• (v1 , . . . , vk ) = ’• (v1 , . . . , vi’1 , vj , vi+1 , . . . , vj’1 , vi , , vj+1 . . . , vk )

gilt.

Bemerkung 5.2 Ist eine k-Form symmetrisch, so gilt o¬ensichtlich, dass fur
¨
jede Permutation π von {1, . . . , k} die Gleichung

• (v1 , . . . , vk ) = • vπ(1) , . . . , vπ(k) .

Dies folgt einfach aus der im letzten Abschnitt bewiesenen Tatsache, dass sich
jede Permutation als Komposition von Transpositionen darstellen l¨sst.
a
Ist hingegen • alternierend, so gilt

• vπ(1) , . . . , vπ(k) = sign (π) • (v1 , . . . , vk ) ,

was ebenfalls unmittelbar aus der Diskussion der Signatur einer Permutation
folgt.

Wir bezeichnen mit Mk (V ) die Menge aller multilinearen k -Formen, mit
Sk (V ) die Teilmenge der symmetrischen k -Formen und mit Ak (V ) die Menge
der alternierenden k -Formen. O¬ensichtlich ist die 0-Abbildung V k ’ K sowohl
multilinear, wie symmetrisch und alternierend. Demzufolge sind Mk (V ) , Sk (V )
und Ak (V ) nicht leer. Auf Mk (V ) konnen wir die Struktur eines K-Vektorraums
¨
de¬nieren: Sind • und ψ ∈ Mk (V ) , so de¬nieren wir • + ψ durch

(• + ψ) (v1 , . . . , vk ) := • (v1 , . . . , vk ) + ψ (v1 , . . . , vk )


92
und fur ± ∈ K und • ∈ Mk (V ) die Abbildung ±• durch
¨

(±•) (v1 , . . . , vk ) := ±• (v1 , . . . , vk ) .

Man pruft ganz einfach nach, dass • + ψ und ±• wieder multilinear sind, und
¨
dass mit diesen Verknupfungen die Vektorraumaxiome erfullt sind. Sind ferner
¨ ¨
±, β ∈ K und •, ψ symmetrische [alternierende] k-Formen, so ist auch ±• + βψ
symmetrisch [bzw. alternierend], wie man ganz einfach nachrechnet. Wir haben
deshalb das folgende Resultat:

Lemma 5.3 Mk (V ) ist ein K-Vektorraum. Sk (V ) und Ak (V ) sind Unterr¨ume
a
von Mk (V ) .

Wir werden sp¨ter sehr ausfuhrlich Bilinearformen diskutieren. Determinan-
a ¨
ten sind jedoch alternierende Formen.

Lemma 5.4 Sei char (K) = 2, und sei • eine alternierende k-Form. Dann
gelten die folgenden Eigenschaften:
a) Sind zwei der Vektoren v1 , . . . , vk gleich, so gilt

• (v1 , . . . , vk ) = 0.

b) Sind die Vektoren v1 , . . . , vk linear abh¨ngig, so gilt
a

• (v1 , . . . , vk ) = 0.

c) Ist i = j und ± ∈ K so gilt

• (v1 , . . . , vi , . . . , vj + ±vi , . . . , vk ) = • (v1 , . . . , vk ) ,

d.h. addiert man das ±-fache des i-ten Arguments zum j-ten, so ver¨ndert sich
a
die Form nicht.

Beweis. a) Sei i = j. Austausch des i-ten mit den j-ten Argument wechselt
in der Form nach Voraussetzung das Vorzeichen. Ist vi = vj so folgt somit

• (v1 , . . . , vk ) + • (v1 , . . . , vk ) = 0,

was wegen char (K) = 2 die Gleichung

• (v1 , . . . , vk ) = 0

impliziert.
b) Sind v1 , . . . , vk linear abh¨ngig, so l¨sst sich einer der Vektoren, sagen wir
a a
der i-te, als Linearkombination der anderen darstellen:

vi = ±j vj .
j:j=i


93
Wegen der Multilinearitat folgt dann
¨
• (v1 , . . . , vk ) = ±j • (v1 , . . . , vj , . . . , vj , . . . , vk ) = 0,
j:j=i

nach a).
c)
• (v1 , . . . , vi , . . . , vj + ±vi , . . . , vk )
= • (v1 , . . . , vk ) + ±• (v1 , . . . , vi , . . . , vi , . . . , vk ) = • (v1 , . . . , vk )
nach a).

5.3 Die Determinantenform
Im Laufe der nachfolgenden Diskussion werden wir den folgenden Satz beweisen:
Satz 5.3 Sei K ein K¨rper mit char (K) = 2, und sei V ein K-Vektorraum der
o
Dimension n. Dann gilt
dim (An (V )) = 1
Die Aussage dim (An (V )) = 1 bedeutet erstens, dass es eine alternierende
n-Form gibt, die nicht die Nullform ist, und zweitens, dass je zwei n-Formen
•, ψ = 0 proportional sind. Das bedeutet, dass es bis auf eine Normierung nur
eine alternierende n -Form gibt.
De¬nition 5.3 Eine von der 0-Form verschiedene alternierende n-Form heisst
Determinantenform.
Generalvoraussetzung fur den Rest des Kapitels:
¨
char (K) = 2

Es ist im obigen Satz wichtig, dass alternierende k-Formen mit k = dim V
betrachtet werden. Fur k > dim V ist dim (Ak (V )) = 0, was weiter unten klar
¨
werden wird. Fur k < dim V ist Ak (V ) ein komplizierteres Objekt, das wir erst
¨
sp¨ter etwas ausfuhrlicher diskutieren werden (insbesondere fur k = 2).
a ¨ ¨
Die fur den Beweis ben¨tigten Notationen sind etwas aufwendig. Um die
o
¨
einfache Grundidee zu erkl¨ren, betrachten wir erst einen engen Spezialfall und
a
diskutieren den obigen Satz im Fall R2 . Wir bezeichnen wie ublich mit (e1 , e2 )
¨
2
die Standardbasis. Fur x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ R gilt x = x1 e1 + x2 e2
¨
und y = y1 e1 + y2 e2 . Ist • eine beliebige alternierende 2-Form, so gilt wegen der
Bilinearit¨t
a
• (x, y) = • (x1 e1 + x2 e2 , y1 e1 + y2 e2 )
= x1 y1 • (e1 , e1 ) + x1 y2 • (e1 , e2 )
+ x2 y1 • (e2 , e1 ) + x2 y2 • (e2 , e2 ) .

94
Wenn • alternierend ist, mussen die folgenden Gleichungen gelten:
¨

• (e2 , e1 ) = ’ • (e1 , e2 ) ,
• (e1 , e1 ) = ’ • (e1 , e1 ) ,
• (e2 , e2 ) = ’ • (e2 , e2 ) .

<<

. 21
( 60 .)



>>