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. 23
( 60 .)



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¨
Determinante einer Matrix folgt daraus
det (f ) = •V (u1 , . . . , un ) = det (A) .



99
5.5 Eigenschaften der Determinante einer quadratischen
Matrix, Cramersche Regeln
Wir diskutieren in diesem Abschnitt einige wichtige Eigenschaften von Determi-
nanten von Matrizen. Eine n — n-Matrix A de¬niert, wie wir schon wissen, einen
Endomorphismus K n ’ K n . Die darstellende Matrix dieses Endomorphismus
bezuglich der Standardbasis E ist dann genau A. Damit ist nach der Diskussion
¨
im letzten Abschnitt det (A) auch genau die Determinante dieses Endomorphis-
mus. Als n-Form konnen wir det (A) als •E (s1 , . . . , sn ) au¬assen, wobei s1 , . . . , sn
¨
die Spaltenvektoren der Matrix sind. Sie hat damit auch alle Eigenschaften einer
alternierenden n-Form.

Satz 5.5 Sei A ein n — n-Matrix. Dann gilt
a) det (A) = det AT .
b) det (AB) = det (A) det (B) .
c) A ist genau dann regul¨r, wenn det (A) = 0 gilt. In diesem Fall ist
a
1
det A’1 = .
det (A)

d) Ist A eine obere Dreiecksmatrix, d.h. gilt aij = 0 fur i > j, so gilt
¨
n
det (A) = aii
i=1


Beweis. a) Die Abbildung Σn π ’ π ’1 ∈ Σn ist bijektiv. Man beachte
auch, dass sign (π) = sign (π ’1 ) gilt. Daraus folgt

sign (π) aπ(1),1 aπ(2),2 · . . . · aπ(n),n
det (A) :=
π∈Σn

sign (π) a1,π’1 (1) a2,π’1 (2) · . . . · an,π’1 (n)
=
π∈Σn

sign π ’1 a1,π’1 (1) a2,π’1 (2) · . . . · an,π’1 (n)
=
π∈Σn

sign (π) a1,π(1) a2,π(2) · . . . · an,π(n) = det AT .
=
π∈Σn

Die zweite Gleichung folgt aus einer Umstellung der Faktoren, die dritte wegen
sign (π) = sign (π ’1 ) und die vierte wegen der erwahnten Bijektion Σn π’
¨
π ’1 ∈ Σn , die einfach zu einer Umstellung der Summe fuhrt.
¨
b) folgt aus Lemma 5.5 und der Interpretation von det (A) als die Determi-
nante des durch A de¬nierten Endomorphismus K n ’ K n .
c) folgt aus Satz 5.4.

100
d) Ist eine Permutation π : {1, . . . , n} ’ {1, . . . , n} nicht die Identitat, so
¨
¨
gibt es ein i mit π (i) < i (Uberlegen Sie sich das selbst!). Demzufolge fallen fur ¨
eine obere Dreiecksmatrix bei der De¬nition der Permutation die Beitrage von ¨
allen Permutationen weg, ausser dem von π = id .
Bemerkung 5.3 Aus der Interpretation von det (A) als •E (s1 , . . . , sn ) , wobei
die si die Spaltenvektoren der Matrix sind, folgt die Multilinearit¨t der Deter-
a
minante einer Matrix in den Spaltenvektoren. Wegen Teil a) des obigen Satzes
folgt dann auch die Multilinearit¨t als Funktion der n Zeilenvektoren. Insbeson-
a
dere wissen wir genau, wie sich die Determinante bei elementaren Zeilenopera-
tionen verh¨lt: Beim Vertauschen von zwei Zeilen wechselt das Vorzeichen, bei
a
Multiplikation eine Zeile mit einem Skalar wird die Determinante entsprechend
multipliziert, und bei Z3 ver¨ndert sich die Determinante nicht. Die Determinan-
a
te einer Matrix l¨sst sich also dadurch berechnen, dass man die Matrix mittels
a
Zeilen- und Spaltenoperationen auf eine obere Dreiecksmatrix transformiert und
dann das Produkt der Diagonalkomponenten bildet.
Beispiel 5.2
«  « 
1 ’2 2 3 1 ’2 2 3
· = det ¬ 0 5 ’3 ’5 ·
¬2 1 1 1· ¬ ·
det ¬
2 ’1 4   0 6 ’5 ’2 
2
’1 3 31 01 5 4
«  « 
1 ’2 2 1 ’2 2
3 3
¬0 1 5 4· · = ’ det ¬ 0 1 5 4·
¬
= ’ det 
¬ ·
0 6 ’5 ’2   0 0 ’35 ’26 
0 5 ’3 ’5 0 0 ’28 ’25
«  « 
1 ’2 2 3 1 ’2 2 3
¬0 1 5 4 ·
· = ’ det ¬ 0 1 5 4 ·
¬ ·
= ’ det ¬
 0 0 35 26  0 0 7 1 
0 0 28 25 0 0 28 25
«  « 
1 ’2 3 2 1 ’2 3 2
¬0 1 4 5 ·
· = det ¬ 0 1 4 5·
¬
· = ’147.
= det 
¬
0 0 1 7 0 0 1 7
0 0 0 ’147
0 0 25 28
Als N¨chstes diskutieren wir den sogenannten Entwicklungssatz fur Determi-
a ¨
nanten. Wenn A eine n — n-Matrix ist, so k¨nnen wir fur jeden Zeilenindex i und
o ¨
jeden Spaltenindex j die (n ’ 1) — (n ’ 1)-Matrix Ai,j betrachten, die man aus A
erh¨lt, indem man die i-te Zeile und die j-te Spalte streicht.
a
Satz 5.6 Fur jede n — n-Matrix A = (aij ) und 1 ¤ i, j ¤ n gilt
¨
n n
i+k
(’1)j+k akj det Ak,j
i,k
det (A) = (’1) aik det A =
k=1 k=1


101
Die Darstellung in der ersten Zeile nennt man aus naheliegenden Grunden
¨
die Entwicklung nach der i-ten Zeile der Matrix, und die zweite die Entwicklung
nach der j-ten Spalte.
Beweis. Wegen det (A) = det AT brauchen wir nur die Entwicklung nach
den Spalten zu betrachten. Wir schreiben die j-te Spalte wie folgt:
« 
a1j
¬ a2j ·
n
¬.·
¬.·
¬ . ·= akj ek ,
¬.·
 .  k=1
.
anj

wobei wie ublich ek der k-te Vektor der Standardbasis ist (als Spaltenvektor
¨
geschrieben). Unter Benutzung der Multilinearit¨t der Determinate erhalten wir
a
¨
also n
akj det B k,j ,
det (A) =
k=1

wobei B k,j die Matrix ist, bei der die j-te Spalte durch ek ersetzt wird:

a11 · · · a1,j’1 0 a1,j+1 · · ·
« 
a1n
¬. .
¬. .
. .
·
·
¬ ak’1,1 · · · ··· 0 ··· · · · ak’1,n ·
¬ ·
k,j
B = ¬ ak,1 · · · ak,j’1 1 ak,j+1 · · · ak,n · .
¬ ·
¬ ak+1,1 · · · ··· 0 ··· · · · ak+1,n ·
¬ ·
¬. . .
. . .
·
. . . 
an1 · · · an,j’1 0 an,j+1 · · · ann

Nun vertauschen wir die j-te Spalte mit der (j ’ 1)-ten, dann die (j ’ 1)-te mit
der (j ’ 2)-ten etc, bis ek die erste Spalte ist. Mit diesen Operationen haben
wir j ’ 1 mal das Vorzeichen gewechselt. Nun wollen wir noch die 1 in die erste
Zeile bringen. Dazu vertauschen wir die k-te Zeile mit der (k ’ 1) -ten, dann
die (k ’ 1)-te mit der (k ’ 2)-ten etc. Insgesamt haben wir mit diesen Spalten-
vertauschungen k ’ 1 mal das Vorzeichen gewechselt. Nach diesen Zeilen- und
Spaltenvertauschungen sind wir ausgehend von der Matrix B k,j bei der Matrix

1—
0 Ak,j

angelangt, wobei Ak,j die oben eingefuhrte (n ’ 1) — (n ’ 1)-Matrix ist, 0 fur den
¨ ¨
Spaltenvektor der Lange n ’ 1 mit alles Nullen steht, und — ein Zeilenvektor der
¨
Lange n ’ 1 ist, der uns nicht weiter zu interessieren braucht. Wir erinnern uns,
¨
dass wir ausgehend von B k,j insgesamt k + j ’ 2 mal das Vorzeichen geandert¨

102
haben, was auf dasselbe hinauslauft, wie k + j mal das Vorzeichen zu andern.
¨ ¨
Wir erhalten also
1—
det B k,j = (’1)k+j det .
0 Ak,j

Nun gehen wir zuruck zur De¬nition der Determinante in De¬nition 5.4 um
¨
1—
zu berechnen. O¬enbar geben nur diejenigen Permutation π ∈
det
0 Ak,j
Σn einen Beitrag, fur die π (1) = 1 gilt, fur die also 1 ein Fixpunkt ist. Die
¨ ¨
Menge der Permutationen π ∈ Σn , welche 1 als Fixpunkt haben kann bijektiv auf
die Menge der Permutationen der Menge {2, . . . , n} abgebildet werden: einfach
durch die Einschr¨nkung π von π auf diese Menge. Ferner ist o¬ensichtlich die
a
Signatur dieser Einschr¨nkung dieselbe wie die von π. Demzufolge ist
a
n’1
1—
Ak,j = det Ak,j .
det = sign (π )
0 Ak,j π(t),t
t=1
π∈Σn’1


Dabei ist Ak,j die s, t-te Komponente der (n ’ 1) — (n ’ 1)-Matrix Ak,j .
s,t


De¬nition 5.6 Sei A eine n — n-Matrix. Die adjungierte Matrix adj (A) ist
de¬niert durch

(adj (A))i,j = (’1)i+j det Ai,j , 1 ¤ i, j ¤ n.

Satz 5.7
adj (A)T A = A adj (A)T = det (A) En .

Beweis. Die i, j-te Komponente von adj (A)T A ist
n n
(’1)i+k det Ak,i akj .
(adj (A))k,i akj =
k=1 k=1

Nach dem Entwicklungssatz ist das einfach die Determinante der Matrix, die
man aus A erh¨lt, indem man die i-te Spalte durch die j-te ersetzt. Ist i = j,
a
so hat diese Matrix zwei gleiche Spalten und ihre Determinante ist somit 0. Ist
i = j, so ist es einfach det (A) . Damit ist adj (A)T A = det (A) En bewiesen.
A adj (A)T = det (A) En geht analog.

Korollar 5.2 Ist A regul¨r so gilt
a

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