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. 24
( 60 .)



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1
adj (A)T .
A’1 =
det (A)


103
Wir kommen nun nochmals auf das Gleichungssystem

Ax = b

zuruck, wobei A eine n — n-Matrix, und b ein Spaltenvektor aus K n ist. Ist A
¨
regul¨r, so ist die eindeutige L¨sung gegeben durch
a o

adj (A)T b
’1
x=A b= .
det (A)

Die k-te Komponente ist dann
n n
(’1)k+j det Ak,j bk
adj (A)k,j bk
j=1 j=1
xk = = .
det (A) det (A)

Nach dem Entwicklungssatz ist der Z¨hler die Determinante der Matrix, die man
a
erh¨lt, indem man in der Matrix A die k-te Spalte durch b ersetzt:
a

Satz 5.8 (Cramersche Regel) Sei A eine regul¨re n — n-Matrix und b ∈ K n
a
(als Spaltenvektor geschrieben). Dann ist die eindeutige L¨sung des Gleichungs-
o
systems
n
aij xj = bi , 1 ¤ i ¤ n
j=1

gegeben durch
det Ab,k
, 1 ¤ k ¤ n,
xk =
det (A)
wobei Ab,k die Matrix ist, die man aus A erh¨lt, indem man die k -te Spalte durch
a
den Spaltenvektor b ersetzt.




104
6 Invariante Unterr¨ume,
a
Eigenwerte und Eigenvektoren
6.1 Direkte Summe von Unterr¨umen
a
Wir haben schon den Begri¬ Summe von Unterr¨umen U1 , . . . , Um eines K-
a

Vektorraums V “ kennengelernt:
m m
ui : uj ∈ Uj f¨r 1 ¤ j ¤ m .
Ui = u
i=1 i=1

De¬nition 6.1 V heisst die direkte Summe der Unterr¨ume U1 , . . . , Um ,
a
wenn jeder Vektor v ∈ V sich eindeutig als Summe v = m ui mit uj ∈ Uj ,
i=1
1 ¤ j ¤ m, darstellen l¨sst. Es gelten also die folgenden zwei Eigenschaften:
a
a)
m
V= Ui .
i=1

b) Gilt
m m
ui mit uj , uj ∈ Uj fur 1 ¤ j ¤ m,
ui = ¨
i=1 i=1

so folgt uj = uj , 1 ¤ j ¤ m.
Wir schreiben dann
m
V = U1 • U2 • . . . • Um = Ui .
i=1

Bemerkung 6.1 Die Eindeutigkeit der Darstellung in der obigen De¬nition l¨sst
a
sich auch einfach durch die folgende Bedingung ersetzen: Gilt
m
ui mit uj ∈ Uj fur 1 ¤ j ¤ m,
0= ¨
i=1

so folgt u1 = . . . = um = 0. Man uberlegt sich sofort, dass daraus die Eigenschaft
¨
b) in der obigen De¬nition folgt.

Eine direkte Summe von Unterr¨umen ist immer eine Summe dieser Un-
a
terr¨ume. Die Notation ist leider nicht ganz glucklich, denn ob eine Summe
a ¨
eine direkte ist hangt nur von Eigenschaften der Familie der Unterraume ab. Wir
¨ ¨
formulieren diese Eigenschaft in dem folgenden Satz:




105
m
Satz 6.1 Es seien U1 , . . . , Um Unterr¨ume von V . Dann gilt V =
a Ui genau
i=1
m
dann, wenn V = i=1 Ui gilt und wenn fur jedes i
¨


Ui © = {0}
Uj (6.1)
j:j=i

ist.

Beweis. I) Wir setzen zun¨chst voraus, dass V = m Ui gilt. Per De¬nition
a i=1
m
gilt dann naturlich V = i=1 Ui . Wir mussen also nur noch die Eigenschaft (6.1)
¨ ¨
nachweisen.
Ist u ∈ Ui © j:j=i Uj , so gilt


u= uj
j:j=i

mit uj ∈ Uj . Dann ist
0=u’ uj ,
j:j=i

wobei nach Voraussetzung u ∈ Ui gilt. Demzufolge liegt eine Darstellung des
Nullvektors als Linearkombination von Vektoren aus den Uj vor, also gilt u = 0.
II) Wir setzen V = m Ui und (6.1) voraus, und wir wollen zeigen, dass die
i=1
Summe eine direkte Summe ist. Nach Bemerkung 6.1 genugt es zu zeigen, dass
¨
der Nullvektor nur eine triviale Darstellung als Summe von Vektoren aus den Uj
hat. Sei also m
u j , u j ∈ Uj .
0=
j=1

Dann gilt fur jedes i :
¨
ui = ’ uj .
j:j=i

Die rechte Seite ist in Uj und die linke Seite in Ui . Demzufolge gilt
j:j=i



ui ∈ Ui © Uj ,
j:j=i


und ist daher nach der Voraussetzung (6.1) gleich 0. Dies gilt fur alle i.
¨
m
Sind U1 , . . . , Um Unterraume von V, so ist U := i=1 Ui naturlich immer
¨ ¨
ein Unterraum von V, gleichgultig ob U = V gilt oder nicht. Die Ui sind dann
¨
Unterr¨ume von U. Gilt die Eigenschaft (6.1), so schreiben wir U = m Ui . In
a i=1
diesem Fall hat dann jeder Vektor u ∈ U eine eindeutige Darstellung als Summe
von Vektoren aus den Ui .

106
Beispiel 6.1 Ist V ein endlichdimensionaler Vektorraum mit einer Basis U =
(u1 , . . . , un ) , und sind die Unterr¨ume Ui de¬niert durch
a

Ui := {±ui : ± ∈ K} ,
n
Ui . In der Tat hat ja jeder Vektor v ∈ V die eindeutige Dar-
so gilt V = i=1
stellung
n
v= ±i ui ,
i=1

und die ±j uj sind in Uj .

Beispiel 6.2 V = R3 .
®« «  ®« « 
1 0 0 0
U1 := L ° 0  ,  1 » , U2 = L ° 1  ,  0 » .
0 0 0 1

Dann gilt zwar R3 = U1 + U2 , aber nicht R3 = U1 • U2 .

Fur endlichdimensionale Vektorr¨ume kann die Direktheit einer Summe von
a
¨
Unterr¨umen auch einfach uber die Dimension charakterisiert werden:
a ¨

Satz 6.2 Es seien U1 , . . . , Um Unterr¨ume des endlichdimensionalen Vektor-
a
raums V. Dann gilt V = i=1 Ui genau dann wenn V = m Ui gilt und wenn
m
i=1

m
dim (V ) = dim (Ui ) (6.2)
i=1

ist.

Beweis. I) Wir setzen V = m Ui voraus und beweisen (6.2) mit Induktion
i=1
nach m. Fur m = 1 ist das trivial. Nach Teil a) gilt
¨
m’1
Um © = {0} .
Ui
i=1

Nach der Dimensionsformel (Satz 4.9) gilt
m m’1 m
dim Ui = dim (Um ) + dim Ui = dim (Ui ) ,
i=1 i=1 i=1

die letzte Gleichung nach Induktionsvoraussetzung.



107
II) Wir setzen V = m Ui und (6.2) voraus und beweisen, dass die Summe
i=1
eine direkte Summe ist. Dazu weisen wir nach, dass (6.1) gilt. Ware diese
¨
Gleichung fur ein i falsch, so ware
¨ ¨

1 ¤ dim Ui © Uj .
j:j=i

Daraus ergibt sich der folgende Widerspruch:
m
dim (Uj ) = dim (V )
j=1


’ dim Ui ©
= dim (Ui ) + dim Uj Uj
j:j=i j:j=i
m
¤
< dim (Ui ) + dim Uj dim (Uj ) .
j=1

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