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j:j=i

In der letzten Ungleichung haben wir verwendet, dass die Dimension einer Summe
von Unterraumen immer kleiner oder gleich der Summe der Dimensionen dieser
¨
¨
Unterraume ist. Das ergibt sich sofort aus der Uberlegung, dass die Vereinigung
¨
von Basen dieser Unterraume ein Erzeugendensystem der Summe ist.
¨

Korollar 6.1 V sei ein endlichdimensionaler Vektorraum und U1 , . . . , Um seien
m
i=1 Ui . Ui = (ui1 , ui2 , . . . , ui,ki ) seien Basen der Un-
Unterr¨ume mit V =
a
terr¨ume Ui . Dann gilt V = m Ui genau dann, wenn (u11 , u12 , . . . , u1k1 , u21 ,
a i=1
. . . , um,km ) eine Basis von V ist.

Beweis. (u11 , u12 , . . . , u1k1 , u21 , . . . , um,km ) ist auf jeden Fall ein Erzeugenden-
system von V, wenn V = m Ui gilt, wie wir voraussetzen. Dieses System von
i=1
Vektoren ist daher genau dann eine Basis, wenn
m m
dim (V ) = ki = dim (Ui )
i=1 i=1

gilt. Das ist aber nach dem vorangegangenen Satz ¨quivalent damit, dass V die
a
direkte Summe der Unterr¨ume Ui ist.
a
Wir diskutieren noch kurz einen Zusammenhang mit sogenannten Projek-
tionsoperatoren.

De¬nition 6.2 Sei V ein Vektorraum. Ein Endomorphismus p : V ’ V heisst
Projektion, wenn
p2 := p —¦ p = p
gilt.

108
Ist V die direkte Summe von zwei Unterraumen:
¨

V =U •W

so konnen wir eine Projektion p wie folgt de¬nieren: Jedes Element v ∈ V hat eine
¨
eindeutige Darstellung als v = u + w, u ∈ U, w ∈ W. Wir de¬nieren p (v) := u.
Der Leser prufe die folgenden einfachen Eigenschaften selbst nach:
¨

• p ist eine lineare Abbildung V ’ V, d.h. ein Endomorphismus.
• p ist eine Projektion.
• ker (p) = W .
• im (p) = U.

Ist V die direkte Summe von mehreren Unterraumen
¨
m
V= Ui
i=1

so k¨nnen wir fur 1 ¤ i ¤ m Projektionen pi auf die einzelnen Ui de¬nieren: Ist
o ¨
m
v = i=1 ui die eindeutige Darstellung eines Vektors v als Summe von Vektoren
aus den ui , so de¬nieren wir
pi (v) := ui .

Lemma 6.1 Unter den obigen Voraussetzungen haben die pi die folgenden Ei-
genschaften:
a) Die pi sind Projektionen.
b) Fur i = j gilt
¨
pi —¦ pj = 0, (6.3)
wobei 0 hier die Nullabbildung V ’ V ist, die alle Vektoren auf den Vektor 0
abbildet.
c)
m
pi = idV . (6.4)
i=1

(Wir hatten schon fruher gesehen, dass hom (V ) ein K-Vektorraum ist: Fur
¨ ¨
•, ψ ∈ hom (V ) ist • + ψ ∈ hom (V ) de¬niert durch (• + ψ) (v) := • (v) + ψ (v))

Beweis. a) hatten wir schon oben dem Leser uberlassen. Wir beweisen b)
¨
m
und c). Ist v ∈ V mit der eindeutigen Darstellung v = i=1 ui , ui ∈ Ui , so
erhalten wir wegen ui = pi (v)
m
v= pi (v) .
i=1


109
Dies beweist c). Um b) zu beweisen, beachten wir, dass pi (v) stets in Ui liegt.
Nun gilt aber fur jedes Element u ∈ Ui und j = i die Gleichung pj (u) = 0, denn
¨
in der eindeutigen Darstellung von u als Summe
m
wj , wj ∈ Uj ,
u=
j=1

ist naturlich einfach wi = u und wj = 0 fur j = i.
¨ ¨
Eine Familie von Projektionen, die (6.3) und (6.4) erfullt, nennt man auch
¨
Au¬‚osung der Einheit. In Umkehrung des obigen Lemmas konnen wir den
¨
¨
folgenden Satz beweisen:
Satz 6.3 Seien p1 , . . . , pm Projektionen des Vektorraums V, die die Gleichungen
(6.3) und (6.4) erfullen. Dann gilt
¨
m
V= im (pi ) .
i=1

Beweis. V = m im (pi ) folgt sofort aus (6.4). Um nachzuweisen, dass die
i=1
Summe direkt ist, weisen wir (6.1) nach. Sei

v ∈ im (pi ) © im (pj ) .
j:j=i

Wegen v ∈ im (pi ) l¨sst sich v als v = pi (w) schreiben mit w ∈ V, und wegen v
a
∈ j:j=i im (pj ) aber auch als v = j:j=i pj (wj ) , wj ∈ V. Dann erhalten wir

v = p2 (w) = pi (pj (wj )) = 0,
i
j:j=i

die letzte Gleichung wegen (6.3) und die erste, weil pi eine Projektion ist.

6.2 Invariante Unterr¨ume
a
f : V ’ V sei ein Endomorphismus des K-Vektorraums V.
De¬nition 6.3 Ein Unterraum U ‚ V heisst invariant unter f , wenn f (u) ∈
U fur alle u ∈ U gilt.
¨
Die beiden trivialen Unterr¨ume {0} und V sind naturlich immer invariant.
a ¨
Andere invariante Unterr¨ume nennen wir nicht trivial. Ein Endomorphismus
a
braucht keine nicht trivialen Unterr¨ume zu besitzen. Ein Beispiel ist etwa die
a
—¦
2
Drehung von R um 45 , die gegeben ist durch die Matrix
1 1
’ √2

2
.
1 1
√ √
2 2


110
Wir werden spater sehen, dass ein C-Vektorraum der Dimension ≥ 2 stets nicht
¨
triviale Unterraume besitzt.
¨
Es seien Ui , 1 ¤ i ¤ m, Unterraume von V und V = m Ui . Ferner seien fur
¨ ¨
i=1
jedes i Endomorphismen fi ∈ hom (Ui ) gegeben. Wir konstruieren damit einen
Endomorphismus f : V ’ V, den wir mit f = m fi bezeichnen. Zu v ∈ V
i=1
m
geh¨rt eine eindeutige Darstellung v = i=1 ui , mit ui ∈ Ui . Wir de¬nieren
o
m
f (v) := fi (ui ) .
i=1

Man uberzeugt sich leicht, dass f linear ist: Sind v, v ∈ V mit den eindeutigen
¨
Darstellungen
m m
ui , ui , ui ∈ Ui
v= ui , v =
i=1 i=1
und sind ±, ± ∈ K, so hat ±v + ± v die eindeutige Darstellung
m
±v + ± v = (±ui + ± ui ) .
i=1

Demzufolge ist
m
f (±v + ± v ) = fi (±ui + ± ui )
i=1
m m
=± fi (ui ) + ± fi (ui ) = ±f (v) + ± f (v ) .
i=1 i=1

Man beachte, dass die Unterr¨ume Ui invariante Unterr¨ume von f sind (wieso?).
a a
In den nachfolgenden Kapiteln werden wir an Situationen interessiert sein, wo
ein Endomorphismus invariante Unterr¨ume hat, die den ganzen Vektorraum als
a
direkte Summe aufspalten. Dazu der folgende einfache Satz:
Satz 6.4 Sei f ∈ hom (V ) und Ui , 1 ¤ i ¤ m, seien invariante Unterr¨ume von
a
m
f. Ferner setzen wir voraus, dass V = i=1 Ui gilt. Dann gilt
m
f= fi ,
i=1

wobei fi die Einschr¨nkungen von f auf Ui sind: Fur u ∈ Ui ist fi (u) := f (u) ∈
a ¨
Ui .
Beweis. Da die Ui invariant sind, gilt fi ∈ hom (Ui ) . Hat v ∈ V die eindeutige
Darstellung v = m ui , ui ∈ Ui , so gilt wegen der Linearit¨t von f :
a
i=1
m m
f (v) = f (ui ) = fi (ui ) .
i=1 i=1


111
Falls die Situation von Satz 6.4 vorliegt, vereinfacht sich die darstellende Ma-
trix von f, falls man eine Basis verwendet, die sich aus Basen der Ui zusammen-
setzt. Seien also Ui = (ui,1 , . . . , ui,ki ) Basen der Unterraume Ui . Nach Korollar
¨
6.1 ist U := (u11 , u12 , . . . , um,km ) eine Basis von V, falls V = m Ui gilt. Wir
i=1
k¨nnen nun die darstellende Matrix von f bezuglich dieser Basis sehr einfach aus
o ¨
den darstellenden Matrizen fur die Restriktionen fi zusammenstellen. Seien Ai
¨
die darstellenden Matrizen der fi bezuglich Ui . Die Ai sind ki —ki -Matrizen. Die j-
¨
te Spalte von Ai enth¨lt die Komponenten von fi (uij ) bezuglich der Basis Ui . Nun
a ¨
gilt aber f (uij ) = fi (uij ) . Demzufolge erh¨lt man die Komponenten von f (uij )
a
bezuglich der Basis U einfach wie folgt: Zun¨chst kommen k1 + . . . + ki’1 Nullen,
a
¨
darauf folgt die j-te Spalte von Ai und danach kommen wieder ki+1 + . . . + km
Nullen. Die darstellende Matrix A von f bezuglich der Basis U hat also die
¨
folgende Blockstruktur:
0 ··· 0
« 
A1 0
¬ 0 A2 0 · · · 0 ·

..
¬
. ·.
.
A=¬ 0 0 .·
¬
¬. . ...
. .
·
. . 0
0 0 · · · 0 Am
Die Nulleintr¨ge sind dabei Nullmatrizen der entsprechenden Gr¨sse, z.B. die
a o

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